數學分析中定積分的求解方法

羅睿 貴州民族大學

幾何定義：可以理解為在Oxy坐標平面上，由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。

一、提出背景

在生活中，很多與我們日常生活息息相關的問題需要用數學來解決，以面積為例，比如買房子時需要計算面積，而面積怎么計算就是數學的知識。而通常，能夠通過具體的公式來計算的都是規則的平面或立體圖形，而那些不規則的圖形面積又怎么計算呢？基于此，為了解決就提出了定積分的概念。簡單來說，就是利用極限的思想，將曲邊梯形分解成若干小矩形，那么曲邊梯形的面積就近似等于這些小矩形面積之和，分割越精細，近似程度越高。故為了得到更加精確的接近曲邊梯形面積的近似值，必須用到極限這個工具，即小矩形的個數n要趨于無窮。

二、定積分的定義及線性性質

設f(x)是定義在[a,b]上的函數，在(a,b)中任意插入若干分點（這里插入n-1個），a=x0＜x1＜…＜x(n-1)＜xn=b來劃分[a,b],在每一個部分區間[x(i-1),xi]中任取一點ξi，作和式，其中，Δxi=xi-x(i-1)，設λ為Δxi(i=1,2......n)中的最大數，即λ=max{Δxi}，(i=1,2......n)，當λ→0時，如果和式σ的極限存在，即，且此極限不依賴于ξi的選擇，也不依賴于對[a,b]的分法，就稱此極限值為f(x)在[a,b]上的定積分，

三、定積分的求解方法

（一）湊微分法

這種換元法就稱為湊微分法。

（二）換元積分法

換元公式：f(x)是[a,b]上的連續函數，作代換x=φ(t),其中φ(t)在閉區間[α,β]上有連續導數φ,(t)，當α≤t≤β時，a≤φ(t)≤b，換元積分通常分為代數換元與三角換元。對于換元積分，其實和湊微分的基本思想是一致的。

換元積分的思想就是通過一些簡單的代換來計算一些復雜的積分，通常大部分的積分是不能直接計算的，都需要通過一些特殊的技巧來求，有些甚至不止作一次代換。

（三）分部積分法

不定積分中，對于可微函數u(x)和v(x)，有（u v）,=u,v+u v,，則有u v,=（uv）,-u,v，兩端作不定積分的運算，得，即，我們就把（1）式稱為分部積分公式。而對于定積分來說，如果u,(x) ,v,(x)在[a,b]上連續，則。這就是定積分的分部積分公式。

定積分的應用不僅僅是求解題目，更得和現實生活聯系起來，當然，前提是求解出結果。對于任意給定的定積分，求解思路萬變不離其宗，注意觀察選取合適的方法求解，因為很多的求解方法并不唯一[3]。

四、結語

本文主要通過湊微分法、換元積分法、分部積分公式及其他例子介紹如何求解定積分。定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函數，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。