一些智力游戲問題的數(shù)學(xué)模型及其計算機(jī)求解

顧晨熙 于潔 袁浩銘 王梓璇 靳昊蓬

摘要：國內(nèi)只有相關(guān)智力游戲問題的數(shù)學(xué)模型相關(guān)論文，數(shù)學(xué)模型作為當(dāng)代社會大學(xué)生把數(shù)學(xué)與社會問題完美結(jié)合的載體，利用計算機(jī)求解，做出編程，讓智力游戲有規(guī)律可循。并可以將復(fù)雜的游戲，快速的求解出來，并可以培養(yǎng)大家的創(chuàng)新思維。因此對于智力問題的數(shù)學(xué)模型以及計算機(jī)求解的研究是十分必要的，是具有社會意義的。我們在此將闡述智力游戲的數(shù)學(xué)模型及計算機(jī)求解的聯(lián)系與優(yōu)點(diǎn)，也給出一個例子為了證實(shí)這個項(xiàng)目可存在的必要性，也期待著大家不斷的進(jìn)行探索求解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;智力游戲;Matlab;加權(quán)函數(shù)

1 引言

智力游戲是指那些可以通過進(jìn)行一定的邏輯或是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)專業(yè)知識，甚至是自己設(shè)定的原理來完成我們一定工作任務(wù)的小游戲。現(xiàn)在的游戲發(fā)展成為知識的多樣性，品種繁多。

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)教學(xué)工具解決企業(yè)實(shí)際發(fā)展問題的重要手段。也就是說，這意味著我們要掌握數(shù)學(xué)的基本原理，數(shù)學(xué)將整理為一定的數(shù)學(xué)模型的一些規(guī)則，并嘗試使用這個模型的建立解決問題的方法和規(guī)則的概念來解決一些生活問題。

智力游戲，顧名思義會以游戲的形式來進(jìn)行，使游戲者能夠在游戲的進(jìn)行中獲得思維上的鍛煉，進(jìn)而提高自身的邏輯分析能力。一些優(yōu)秀的智力游戲，其娛樂性質(zhì)也十分可觀。在今天，智力游戲愈加紛繁復(fù)雜，為了探索智力游戲的內(nèi)在規(guī)律，我們可以試圖利用數(shù)學(xué)知識建立游戲的模型，從而讓游戲有規(guī)律可循，并且能求解出來，而不是只是單單的靠邏輯思維去思考。即探索出智力游戲與數(shù)學(xué)建模之間的內(nèi)在聯(lián)系，并使用數(shù)學(xué)建模方法解決一些智力游戲問題，嘗試使用計算機(jī)建模工具來計算出智力游戲的結(jié)果。這樣就可以在面對更為復(fù)雜的智力游戲時，將它視為是一種模型，從而可以利用找到的規(guī)律來將其化為統(tǒng)一的模式進(jìn)行求解。甚至我們可以把一些智力游戲當(dāng)做是一類問題去思考，從而建立出游戲模型，并把這一類智力游戲的模型應(yīng)用在其他類似問題上進(jìn)行求解。這便是我們本次的研究期望解決的課題。

2 智力游戲問題的數(shù)學(xué)建模與計算機(jī)求解優(yōu)點(diǎn)

柏拉圖曾經(jīng)最早提出游戲?qū)τ趦和砷L的重要性。福祿培爾也曾經(jīng)提出游戲?qū)和逃闹匾裕ㄟ^游戲可以培養(yǎng)兒童理解認(rèn)識世界并且表達(dá)客觀規(guī)律的能力，恰當(dāng)?shù)挠螒蜻€可以讓兒童去了解整體與部分的關(guān)系與秩序。由此可見，先哲們曾經(jīng)很早就意識到游戲?qū)τ趦和砷L的重要性，那么在科學(xué)知識日益豐富的今天，逐漸演變而成的智力游戲，除了具有更高的娛樂性質(zhì)外，對于兒童思維能力的鍛煉和邏輯分析能力的提高，也能夠做出巨大的貢獻(xiàn)。所以說，我們試圖研究一些智力游戲的內(nèi)在邏輯，然后來嘗試用數(shù)學(xué)建模，將智力游戲模型化來解決其他類似的問題。

通過模型可以為所要考慮的問題提供一個參考輪廓，指出不能直接看出的結(jié)果。花節(jié)省時間和費(fèi)用.模型使人們可以根據(jù)過去和現(xiàn)在的信息進(jìn)行預(yù)測，可用于教育訓(xùn)練，訓(xùn)練者們可以通過模型來計算出他們決策的最終結(jié)果，而不需要經(jīng)過實(shí)際的一系列流程才能得到最后的結(jié)論。數(shù)學(xué)模型能夠?qū)⒁粋€問題的概念抽象概括出來，也就是直接表明和揭示問題的本質(zhì)，因此可以利用數(shù)學(xué)建模的方法來使用計算機(jī)解決一個問題中由于主要變量和因素原因而導(dǎo)致的改變，并清晰地了解到這個變量對于其他問題的影響。

數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)了我們對于不同學(xué)科方向的深入思考，由于數(shù)學(xué)建模的賽題往往涉及多個學(xué)科或者交叉學(xué)科，我們會對新的專業(yè)產(chǎn)生初步的理解，在主動查閱大量文獻(xiàn)并完成解題后，我們就能對當(dāng)前專業(yè)方向有十分全面的理解，隱約中促進(jìn)我們對不同專業(yè)方向的理解，對我們未來的抉擇產(chǎn)生至關(guān)重要的影響。

3 智力游戲的數(shù)學(xué)模型舉例

對于前期準(zhǔn)備，我組論文采用撲克牌的問題，然后通過計算機(jī)求解，借此建立智力游戲與數(shù)學(xué)模型的聯(lián)系。之所以采用撲克牌問題，理由如下：1。由于撲克牌共有52張，因?yàn)榇藬?shù)組基數(shù)夠多，所以可以產(chǎn)生多組數(shù)據(jù)。2。該問題因?yàn)榛鶖?shù)多的原因，使得問題變得比一般的智力游戲更復(fù)雜，更能凸顯出復(fù)雜問題同樣具有規(guī)律這一觀點(diǎn)，從而建立其與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系。

問題重塑：

我們首先將一副撲克牌去掉兩個王一共是52張，我們將其排成一列，然后我們把所有的牌放在一摞并且正面朝下。左手拿起26張，右手拿剩余的部分。接著我們要進(jìn)行左手一張右手一張相交插入變成一摞。這樣我們反復(fù)洗牌4次。排列結(jié)果是：紅桃A，黑桃A，方片A，梅花A，紅桃2，黑桃2，方片2，梅花2，…，紅桃K，黑桃K，方片K，梅花K。請問原先排列的花色和序號是什么？排列結(jié)果與原排列之間有什么樣的關(guān)系？

解題思路：

把52張撲克看成一維數(shù)組，運(yùn)用逆向思維的方法排除原先的序號。設(shè)數(shù)組a=[1，2，3，4，…，52]，對數(shù)組進(jìn)行從新排列。例;i/4=k.......p，i=1，2，…，52。k為牌上數(shù)字，p為1，2，3，4分別對應(yīng)圖案：紅桃，黑桃，方片，梅花 。設(shè)加權(quán)函數(shù)2108914.png，數(shù)組b和數(shù)組c，2108921.png獲得的撲克牌原始非零右手的陣列，并且在數(shù)組b其他部分是零，以指示卡的左手，從而使后的再結(jié)合放進(jìn)去恢復(fù)一個數(shù)組，那么此過程重復(fù)4次，得到原來的排列，所以序列可以推斷出引入的原始陣列的顏色。

解題過程與結(jié)論：

將52張撲克牌看成一個一維數(shù)組，1，2，3，4分別對應(yīng)紅A，黑A，方A，梅A，依次類推。這樣我們就可以用數(shù)學(xué)方法建立洗牌前后的關(guān)系了。設(shè)數(shù)組a=[1，2，3，4，…，52]，加權(quán)函數(shù)f（n）=（（-1）^n+1）/2。

如果a*f（n）==0，我們就把這些數(shù)拿出來放到數(shù)組b中;

如果a*f（n）！=0，我們就把這些數(shù)拿出來放到數(shù)組c中;

然后把數(shù)組b和c重新組成一組新的排列，b中的數(shù)在前，c中的數(shù)在后;

重復(fù)上述過程4次，就可得到最初的排列。

最后按照思路的想法，我們不斷運(yùn)用逆向思維，還原成撲克牌的排列和花色。

按照上面的方法我們就可以運(yùn)用Matlab把洗牌后的撲克牌的交叉的牌分離開，分別放到數(shù)組b和c中，然后在組成一個新的一維數(shù)組，經(jīng)過Matlab程序求解可以快速的直接結(jié)論。結(jié)論為：設(shè)n次洗牌后排列結(jié)果為 [1，2，3，4，…，52]，則第n次洗牌前的j張牌為q=2^（j-1）*n（mod 52）

我們之所以采用這個問題，也是因?yàn)樯鲜鰞蓷l理由，普通的智力問題不足以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)模型的實(shí)用性，而較為高端復(fù)雜的智力問題又不太貼近實(shí)際，而撲克牌是人們生活中隨處可見的事物，又因?yàn)槠浔旧淼奶刭|(zhì)，更貼近本組所研究的問題，因此，我們選擇了撲克牌問題。

我們之所以研究智力游戲與數(shù)學(xué)建模的聯(lián)系，是因?yàn)闃?gòu)件數(shù)學(xué)模型雖然聽起來十分復(fù)雜，但實(shí)際應(yīng)用上卻極為廣泛，同一種模型可以應(yīng)用到許多問題上，而常見的智力游戲，其中所蘊(yùn)含的規(guī)律性，十分適合構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，而這些智力問題大多數(shù)也十分貼近生活，因此借由智力游戲與數(shù)學(xué)模型的聯(lián)系，更是能深入研究數(shù)學(xué)模型與生活的聯(lián)系。

計算機(jī)時代正在不斷推進(jìn)，在現(xiàn)代生活中數(shù)學(xué)建模也是不可缺少的一部分。因此我們項(xiàng)目把數(shù)學(xué)建模和計算機(jī)求解問題結(jié)合一起可以讓智力游戲有著更完美的解釋方法以及在此過程中快樂的體驗(yàn)。與傳統(tǒng)的智力游戲或數(shù)學(xué)游戲不同，我們用計算機(jī)數(shù)學(xué)建模工具matlab，Lingo，Maple等，將其模擬，并在一些傳統(tǒng)的智力游戲中加入數(shù)學(xué)模型，使其更具邏輯性，計算性與隨機(jī)性。從而達(dá)到探索出使用數(shù)學(xué)建模方法來解決一些智力游戲的途徑的目的。提供更多的結(jié)果可行性，并找到此過程中的最優(yōu)解決辦法，這將在未來的智力游戲或者數(shù)學(xué)建模中提供更加便利的結(jié)果。（指導(dǎo)老師：郝妍）

參考文獻(xiàn)：

[2] 楊梅.關(guān)于智力游戲中的數(shù)學(xué)建模研究[J].同行，2016（06）.