螺旋波等離子體中螺旋波與Trivelpiece-Gould波模式耦合及線性能量沉積特性參量分析*

李文秋 趙斌 王剛3) 相東

1) (中國科學院空天信息創新研究院， 北京 100094)2) (普林斯頓大學， 普林斯頓等離子體物理實驗室， 新澤西 08543， 美國)3) (中國科學院大學電子電氣與通信工程學院， 北京 100049)4) (北京微電子技術研究所， 北京 100094)(2020 年1 月9日收到; 2020 年3 月31日收到修改稿)

采用有限溫度等離子體介電張量模型， 在考慮粒子熱效應情形下， 通過求解傳導邊界條件下等離子體柱中本征模的色散關系， 分析了螺旋波等離子體中典型參量條件下螺旋波與Trivelpiece-Gould (TG) 波的耦合特性及線性能量沉積特性. 在ω/(2π) = 13.56 MHz和TeV，i = 0.1TeV，e參量條件下計算結果表明: 對于螺旋波，存在截止靜磁場B0，H，cutoff與截止等離子體密度n0，H，cutoff， 在B0 ＞ B0，H，cutoff或n0 ＜ n0，H，cutoff條件下， 螺旋波變為消逝波; 在ω/ωce ∈ (0.01， 0.10)范圍內， 對于m = 0 角向模， TG波Landau阻尼致使的能量沉積占主導地位， 而對于m = 1角向模， 螺旋波Landau阻尼或TG波Landau阻尼致使的能量沉積哪個占據主導地位則取決于B0的大小; 在ωpe/ωce ∈ (3， 100)范圍內， TG波Landau阻尼致使的能量沉積占主導地位; 在整體能量沉積過程中， 對于m = 0模和m = 1模， Landau阻尼致使的能量沉積均占據主導地位.

1 引 言

螺旋波等離子體源(helicon plasma sources，HPS)因其高電離率產生的高等離子體密度特性，在納米電路刻蝕、深空電磁推進系統、衛星姿態調控、激光等離子體尾波場加速及引力波探測等領域正受到越來越多的關注[1-3]. 自1960年Aigrain[4]首次使用螺旋波(helicon wave， H-mode)的概念描述高電導率介質中傳播的低頻電磁波，1991年Chen[5]首次利用螺旋波的Landau阻尼機制解釋HPS中存在的高電離率現象以來， 關于HPS中的高電離率物理機制至今仍作為熱點問題得到許多物理學家的研究. 1994年—1998年，Shamrai 等[6-8]發現在螺旋波放電中存在一種靜電性質的 Trivelpiece-Gould (TG)波， 其通過在等離子體柱表面附近與螺旋波進行模式耦合而將能量沉積入等離子體中， 但其無法解釋在等離子體柱中心處出現的峰值密度現象. 1999年—2001年，Chen 和Blackwell[9，10]通過測量螺旋波等離子體中電子能量分布函數， 發現在螺旋波放電中并不存在強Landau阻尼引起的高能電子分布， 從而推翻了1991年提出的螺旋波強Landau阻尼機制.2003年， Kline和Scime[11]認為螺旋波(泵浦波)可以通過參數不穩定性模式轉換為離子聲波和TG波， 而離子聲湍流可在局部通過散射加熱電子. 2008年， Kim和Hwang[12]指出碰撞效應在體模式轉換過程中起到重要作用， 并進一步指出模式耦合層(mode coupling surface， MCS)附近螺旋波的碰撞阻尼率足以解釋等離子體柱中心密度峰值現象. 2016年， Shinohara[3]和Isayama等[2，13]指出， 當碰撞效應非常小時， 螺旋波與TG波之間的體模式轉換將在波能量沉積過程中起到重要作用. 國內方面， 成玉國等[14]采用線性擾動波假設，分析了軸向靜磁場對螺旋波和TG波能量沉積的影響; 平蘭蘭等[15]利用Helic code[16-18]， 分析了軸向靜磁場和等離子體密度對功率沉積及其分布的影響. 至今， 雖然關于螺旋波等離子體中能量沉積的全部物理機理并未完全明朗， 但越來越多的細節正在被不斷揭曉， 這為我們最終徹底理解螺旋波等離子體的高電離機制提供了有力支撐.

由于考慮粒子熱效應會將求解本征模色散關系過程變得異常復雜， 故至今有關求解螺旋波和TG波橫向波數的研究均采用冷等離子體模型， 為研究精確、完整起見， 實際情形中粒子的熱效應應當予以考慮. 故本文利用包含粒子熱效應的有限溫度等離子體介電張量模型， 在不同等離子體色散函數(plasma dispersion function， PDF)近似條件下， 通過理論求解螺旋波和TG波本征模色散方程， 分析了螺旋波等離子體典型參量情形下螺旋波和TG波的耦合色散特性， 并參數分析了碰撞阻尼、Landau阻尼、多普勒頻移回旋阻尼及異常多普勒阻尼四種線性能量沉積機制致使的波能量沉積特性. 本文所得分析結果對揭示螺旋波等離子體高電離率物理機理具有一定的理論意義.

2 理論模型

圖1所示為典型螺旋波等離子體源中放電管橫向界面示意圖， 半徑為 a 的有限溫度等離子體柱浸沒在沿 z 軸的均勻靜磁場 B0ez中， 且被傳導金屬邊界包裹. 等離子體柱中徑向等離子體密度均勻分布， 且只存在電子及攜帶單位正電荷的氬離子， 其中電子溫度遠高于粒子溫度.

2.1 等離子體區域中的電磁場分布與本征模色散關系

假定擾動電磁場的傳播因子為 ej(mθ+kzmz-ωt)，利用 M axwell 方程組:

其中 kzm為第 m 個角向模的軸向波數( m 為角向模數); ? 為溫等離子體介電張量. 借助等價符號?/?z=jkz，? /?t=-jω，? /?θ=jm ， 求得如下關于橫向電磁場分量 Ez和 Bz滿足的波動方程:

其 中 R =?⊥+??，L =?⊥-??. ?⊥，??，?‖為 溫 度各向同性、無漂移、零階有限拉莫爾半徑效應近似下的溫等離子體介電張量元素[20]:

其 中張量各元素可表示為:

其 中 kz為 軸 向 波 數;為 ? 粒 子等離子體頻率;為 ? 粒 子 回 旋頻 率;為 ? 粒子熱速度，ν?為 ? 粒子碰撞頻率[5，21，22]:

其中等離子體密度 n0的單位為 m-3， 氬氣氣壓 pAr的單位為mTorr (1 mTorr≈0.133 Pa)， 電子溫度 TeV，e與 離 子 溫 度 TeV，i的 單 位 為eV，λei=23-0.5ln(10-6n0/Te3V，e) 為 電 子-離 子 庫 侖 對 數[23]，Λ=40 為 氬 元 素 原 子 量，m?為 ? 粒 子 質 量，e=1.602×10-19C 為電子電量，ω 為波頻率，k0=ω/c為自由空間波數，c 為光速; Z (ξ) 為等離子體色散函數[24]:

在螺旋波等離子體頻率范圍內，ωci?ω＜ωce?ωpe， (4)式可化簡為[25]

其 中 γe=νe/ω，k 為 總 波 數，c osθ=kz/k . 求 解(11)式， 得到關于總波數 k 的兩個解:

其 中 ζe=(ω+jνe)/ωce，δ0=c/ωpe為 等 離 子 體 趨膚深度. 至此， 可根據(12)式、波數間關系得到橫向波數 k⊥m，H和 k⊥m，TG的具體數值.

求解波動方程(3)式， 得到等離子體區域磁場分量分布[15]:

其中， Jm為m階 Bessel函數. 利用 M axwell 方程，得到電場分量分布:

其中 fm與 gm為場幅值系數.

最后， 利用邊界條件: Ez和 Eθ在邊界 r =a 處為零， 即

將場分布代入(19)式和(20)式， 經過整理， 得到角向模數 m 對應的徑向模式色散關系如下所示:

可以看到， (21)式是邊界約束條件下波數 kzm，k⊥m及之間關于貝塞爾函數的隱函數方程， 聯立(12)式和(21)式， 可得到精確場分布.

2.2 線性能量沉積特性

在螺旋波等離子體中， 存在由碰撞阻尼(collision damping， CD)、朗 道 阻 尼(Landau damping， LD)、多普勒頻移回旋阻尼(Doppler shifted cyclotron damping， DSCD)及異常多普勒阻尼(anomalous Doppler damping， ADD)致使的螺旋波與TG波線性能量沉積機制. 四種阻尼效應通過波-粒互作用機制將電磁波的能量傳遞給等離子體， 從而實現電子和離子的加熱. 利用復數形式坡印廷定理， 得到螺旋波與TG模第 m 個角向模的功 率沉積 Pabs為

本文計算中， 中性工質氣體為氬氣; 等離子體柱半徑 a =2.5cm ; 射頻波頻率 ω =2π×13.56MHz ;離子溫度 TeV，i=TeV，e/10 ; 根據宗量 ξ 的大小， 等離子 體色散函數采取以下兩種漸進形式[27]:

其中， Π 為某一子項的值不再單調遞減時對應的該子項的項序.

3 數值計算與結果分析

在螺旋波等離子體典型參量條件下，n0=1×1012cm-3，B0=50G (1 G = 10—4T)，pAr=3mTorr ， 利用(4)式， 精確計算得到不同TeV，e值與不同 TeV，i值條件下螺旋波與TG波的耦合色散曲線. 由圖2(a)可知， 在 TeV，e約為幾電子伏條件下， 等離子體柱中同時存在螺旋波與TG波;每個 kz值對應兩個不同數值的橫向波數，k⊥，H和k⊥，TG(其中較大者 k⊥，TG為TG波的橫向波數， 較小者 k⊥，H為螺旋波的橫向波數模); 螺旋波與TG模在MCS處發生模式耦合: kz=kz，MCS=0.38/cm ，Real(k⊥)=Real(k⊥，MCS)|Real(k⊥，H)=Real(k⊥，TG)=1.8/cm;曲線上， MCS上側為TG-mode branch， 下側為H-mode branch; 此外， MCS的位置對電子溫度的依賴較為明顯: 隨著 TeV，e的增大，kz，MCS逐漸增大，而 R eal(k⊥，MCS) 變化較為微弱; 電子溫度的變化對螺旋波與TG波橫向波數的影響亦有不同: 在遠離MCS處， 電子溫度的變化對螺旋波橫向波數的影響可以忽略， 而對TG波橫向波數的影響甚為顯著; 在MCS附近， 電子溫度的變化對螺旋波與TG波兩者橫向波數的影響均較為顯著. 另一方面，當電子溫度給定，TeV，e=3eV ， 圖2(b)表明離子溫度對螺旋波與TG波耦合色散關系的影響極其微小， 完全可以忽略， 這是因為離子質量遠大于電子質量， 導致其熱速度遠遠小于電子熱速度， 從而使得離子熱速度與波相速的相互作用遠不如電子熱速度與波相速的相互作用那樣強烈.

圖 2 粒子溫度對螺旋波與TG波耦合色散關系的影響 (a)電子溫度的影響; (b)離子溫度的影響Fig. 2. Influence of particle temperature on dispersion relation between helicon and TG waves: (a) Electron temperature effect; (b) ion temperature effect.

作為影響螺旋波與TG模耦合關系的核心參量 之 一， 軸 向 靜 磁 場 TeV，e=3eV 對 螺 旋 波 與TG波橫向波數的決定關系如圖3所示. 在參量TeV，e= 3 eV， kz= 0.25 cm—1， n0= 1 × 1011cm—3，pAr= 0.1 mTorr條件下， 圖3計算結果表明: 存在一個臨界軸向靜磁場 B0，MCS， 螺旋波與TG波在B0=B0，MCS處發生模式耦合; 對于螺旋波， 存在一個截止軸向靜磁場 B0，H，cutoff， 當 B0＞B0，H，cutoff時螺旋波成為消逝模; 碰撞效應的存在使得Real(k⊥，H)=Real(k⊥，TG) 的位置轉移至修正模式耦合層(modified mode coupling surface， mMCS)，在B0= B0，mMCS處，I mag(k⊥，H)／=0 ， 暗示B0=B0，mMCS處并非螺旋波與TG波發生模式耦合的位置; TG模可在 B0＞B0，mMCS區域內傳播， 而螺旋波只能在 B0，mMCS＜B0＜B0，H，cutoff區域內傳播. 作為影響螺旋波與TG模耦合關系的另一個核心參量，圖4所示為等離子體密度參量 n0對螺旋波與TG模橫向波數的決定關系， 在參量條件TeV，e= 3 eV，kz= 0.25 cm—1， B0= 60 G，pAr=0.1mTorr 下， 計算 結 果 表 明: 存 在 一 個 臨 界 n0，MCS， 螺 旋 波 與TG波在 n0=n0，MCS處發生模式耦合; 對于螺旋波， 存在一個截止 n0，H，cutoff， 當 n0＜n0，H，cutoff時螺旋波成為消逝模; 碰撞效應的存在使得Real(k⊥，H)=Real(k⊥，TG) 的 位 置 轉 移 至mMCS，在 n0=n0，mMCS處，I mag(k⊥，H)／=0 ; TG模 可 在n0＜n0，mMCS區 域 內 傳 播， 而 螺 旋 波 只 能 在n0，H，cutoff＜n0＜n0，mMCS區域內傳播.

圖 3 螺旋波與TG波橫向波數對軸向靜磁場的依賴關系Fig. 3. The perpendicular wave number of helicon and TG waves given as functions of axial static magnetic field.

圖 4 螺旋波與TG波橫向波數對等離子體密度的依賴關系Fig. 4. The perpendicular wave number of helicon and TG waves given as functions of plasma density.

圖5 描 述 了 在 TeV，e=3eV，pAr=3mTorr 參數條件下， 螺旋波軸向波數的實部與虛部隨軸向靜磁場/等離子體密度的變化關系. 圖5(a)暗示， 在n0=1×1012cm-3等 離 子 體 密 度 條 件 下， 在ω/ωce≈0.2 ( B0=30G )處螺旋波開始出現回旋阻尼， 且隨著軸向靜磁場的減小， 回旋阻尼強度顯著增 大; 當 波 頻 率 ω /(2π)=1GHz 時， 在 ω/ωce≈0.8—0.9范圍內開始出現回旋阻尼[28]. 圖5(b)暗示， 在 B0=30G 條件下， 螺旋波在 ωpe/ωce≈100( n0=1×1012cm-3)處開始出現回旋阻尼， 且隨著等離子體密度的增大， 回旋阻尼強度逐漸增大.

圖6描述了 TeV，e=3eV，n0=1×1012cm-3，B0=48.4G ( ω /ωce=0.1 )，pAr=3mTorr 參數條件下， 螺旋波與TG波的徑向功率沉積分布. 圖6(a)顯示， 對于 m =0 模， 螺旋波與TG波碰撞阻尼與Landau阻尼致使的功率沉積均在中心處取得峰值， 且TG波Landau阻尼致使的功率沉積占據主導地位; 圖6(b)顯示， 對于 m =1 模， 回旋阻尼與異常多普勒阻尼致使的功率沉積在中心處取得峰值， 而碰撞阻尼與Landau阻尼致使的功率沉積在偏離中心處取得峰值且占據主導地位.

圖 5 螺旋波軸向波數隨參量變化情況 (a)軸向波數隨軸向靜磁場變化; (b)軸向靜磁場隨等離子體密度變化Fig. 5. The axial wave number of the right hand polarized wave is given as a function of (a) axial static magnetic field and(b) plasma density.

圖 6 螺旋波與TG波徑向功率沉積分布 (a) m = 0 角向對稱模; (b) m = 1 角向對稱模Fig. 6. Radial power deposition profiles of the helicon and TG waves for: (a) m = 0 mode; (b) m = 1 mode.

圖7 和圖8描述了 n0=1×1012cm-3， B0=48.4 G ( ω /ωce=0.1 )，pAr=0mTorr 參 數 條 件 下，螺旋波與TG波的功率沉積隨電子溫度/離子溫度的變化關系. 在螺旋波等離子體典型電子溫度范圍內， 對于 m =0 模， 圖7(a)顯示在 TeV，e＜0.5eV 范圍內， 螺旋波和TG波碰撞阻尼致使的功率沉積占據主要地位， 而在 TeV，e＞0.5eV 范圍內， 螺旋波和TG波Landau阻尼致使的功率沉積在整個功率沉積機制中占據主導地位; 對于 m =1 模， 圖7(b)顯示在 TeV，e＜0.5eV 范圍內， TG波碰撞阻尼致使的功率沉積占據主要地位， 而在 TeV，e＞0.5eV 范圍內， TG波Landau阻尼致使的功率沉積在整個功率沉積機制中占據主導地位. 另一方面， 在給定電子溫度( TeV，e=1eV )條件下， 圖8描述了螺旋波與TG波的功率沉積隨離子溫度的變化關系， 由圖可知， 對于 m =0 模與 m =1 模， 離子溫度的變化對螺旋波與TG波各類阻尼致使的功率沉積的影響完全可以忽略不計， 與功率沉積隨電子溫度變化不同的是， 在 TeV，i/TeV，e∈(0.1，10) 范圍內， TG波Landau阻尼致使的功率沉積始終在整個功率沉積機制中占據主導地位. 此外， 一個重要的結論是粒子熱效應的引入顯著地改變了波功率沉積特性: 與僅包含碰撞效應的冷等離子體模型計算結果不同的是， 熱效應的計入導致的朗道阻尼、回旋阻尼及異常多普勒阻尼為我們提供了更加清晰的波能量沉積細節特性， 即， 對于 m =0 模， 圖7(a)揭示了螺旋波和TG波Landau阻尼在功率沉積中的主導地位; 而對于 m =1 模， 圖7(b)則揭示了TG波Landau阻尼在功率沉積中的主導地位; 回旋阻尼與異常多普勒阻尼亦對功率沉積有所貢獻， 但在當前參量條件下其占比很小.

圖 7 螺旋波與TG波功率沉積隨電子溫度的變化關系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 7. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of electron temperature for: (a) m = 0 mode;(b) m = 1 mode.

圖 8 螺旋波與TG波功率沉積隨離子溫度的變化關系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 8. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of ion temperature for: (a) m = 0 mode; (b) m =1 mode.

圖 9 螺旋波與TG波功率沉積隨軸向靜磁場的變化關系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 9. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of axial static magnetic field for: (a) m = 0 mode;(b) m = 1 mode.

圖9 描述了 TeV，e=3eV，n0=1×1012cm-3，pAr=3mTorr 參數條件下， 螺旋波與TG波的功率沉積在 ω /ωce∈(0.01，0.1) 范圍內的變化情況. 由圖9(a)可知， 對于 m =0 模， TG波Landau阻尼致使的功率沉積在整個功率沉積中占據主導地位，且隨著 ω /ωce的增大這種主導特性逐漸增強; 對于m=1 模， 圖9(b)表明， 在 ω /ωce∈(0.01，0.05) 范圍內， 螺旋波的Landau阻尼致使功率沉積占據主導地位， 而在 ω /ωce∈(0.05，0.1) 范圍內， TG波的Landau阻尼致使功率沉積占據主導地位. 這些結論表明: 對于不同角向模數， 軸向靜磁場對波能量沉積影響不同; 此外我們應注意到， 相比碰撞阻尼和Landau阻尼， 回旋阻尼與異常多普勒阻尼致使的功率沉積始終很小.

圖10描述了 TeV，e=3eV，B0=100G，pAr=3 mTorr參數條件下， 螺旋波與TG波的功率沉積在 ωpe/ωce∈(3，100) 范圍內的變化情況. 對于螺旋波， 其功率沉積隨等離子體密度的增大總體呈現上升趨勢; 而對于TG波， 其功率沉積隨等離子體密度的增大總體呈現下降趨勢. 對于 m =0 模和m=1 模， 圖10(a)和圖10(b)表明TG波的功率沉積在整個功率沉積機制中占據主導地位， 更精確地說， 是TG波Landau阻尼致使的能量沉積占據主導作用; 在兩個角向模式中，m =1 模在TG波L andau阻尼致使的能量沉積過程占據主導地位.

圖 10 螺旋波與TG波功率沉積隨等離子體密度的變化關系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 10. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of plasma density for: (a) m =0 mode; (b) m = 1 mode.

4 結 論

基于有限溫度等離子體均勻填充圓柱傳導邊界物理模型， 在考慮粒子熱效應條件下， 通過理論分析螺旋波等離子體典型參量條件下螺旋波與TG波的耦合色散特性及線性阻尼致使的能量沉積特性， 得到了一些有用的結論: 1)電子溫度對螺旋波與TG波模式耦合層的位置有顯著影響; 相較于TG波可在更廣參量范圍內傳播， 螺旋波僅能在一定參量范圍內傳播; 2)螺旋波與TG波角向對稱模( m =0 模)的碰撞阻尼與Landau阻尼致使的能量沉積均在等離子體柱中心軸處取得峰值， 而角向非對稱模( m =1 角)的碰撞阻尼與Landau阻尼致使的能量沉積均在偏離中心軸處取得峰值;3)在螺旋波等離子體典型電子溫度范圍 TeV，e∈(3 eV， 5 eV)內， 對于 m =0 模， 螺旋波與TG波Landau阻尼致使的功率沉積占據主導地位， 而對于 m =1 角， TG波Landau阻尼致使的功率沉積占據主導地位; 4)在 ω /ωce∈(0.01，0.10) 范圍內，對于 m =0 模， TG波Landau阻尼致使的功率沉積占據主導地位， 而對于 m =1 模， 螺旋波Landau阻尼或TG波Landau阻尼致使的功率沉積何者占據主導地位則取決于軸向靜磁場大小; 5)在ωpe/ωce∈(3，100) 范圍內， 隨著等離子體密度增大，螺旋波功率沉積總體呈現上升趨勢， 而TG波功率沉積總體呈現下降趨勢; 對于 m =0 模和 m =1 模，TG波Landau阻尼致使的功率沉積在整個功率沉積中占據主導地位. 綜上分析， 在低磁場中等密度螺旋波等離子體中， TG模Landau阻尼致使的功率沉積占據主導地位. 這些結論為我們揭示螺旋波等離子體高電離率物理機理提供了重要的線索.