三模腔-原子閉環(huán)系統(tǒng)中可控的量子干涉和光子傳輸*

戴雨菲 陳垚彤 王嵐 銀愷 張巖?

1) (東北師范大學(xué)物理學(xué)院， 量子科學(xué)中心， 長春 130024)2) (中南大學(xué)物理與電子學(xué)院， 超微結(jié)構(gòu)與超快過程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 410083)(2020 年2 月6日收到; 2020 年3 月29日收到修改稿)

通過構(gòu)造一個(gè)由相互垂直的兩腔和一個(gè)二能級(jí)原子組成的光學(xué)腔-原子系統(tǒng)， 研究可控的量子干涉引起的非傳統(tǒng)光子傳輸現(xiàn)象. 該系統(tǒng)中， 兩個(gè)正交腔之間通過光纖直接耦合和通過放在兩腔交叉處的二能級(jí)原子間接耦合. 該三模系統(tǒng)支持兩個(gè)相互垂直的傳播方向， 即兩探測(cè)場(chǎng)相互垂直. 在考慮原子弛豫速率的情況下，該閉環(huán)系統(tǒng)中的光場(chǎng)、腔模與原子躍遷間相互作用所產(chǎn)生的可控量子干涉能導(dǎo)致一些新的對(duì)稱或非對(duì)稱的光子輸運(yùn)行為， 如相干完美合成、相干完美透明. 此外， 輸運(yùn)的群速度也可調(diào)節(jié)， 即產(chǎn)生快慢光效應(yīng). 這些過程能夠通過調(diào)節(jié)探測(cè)場(chǎng)間相對(duì)相位、兩腔之間的隧穿耦合強(qiáng)度進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)控. 該機(jī)制有望用于開發(fā)高效的量子信息處理和全光網(wǎng)絡(luò)的功能元器件(如光開關(guān)和路由器等).

1 引 言

光學(xué)微腔作為研究光與物質(zhì)相互作用最具優(yōu)勢(shì)的平臺(tái)之一， 成為經(jīng)典光學(xué)和量子光學(xué)的重要組成部分[1，2]. 目前已經(jīng)提出了許多包含微腔的光學(xué)器件方案， 如光子路由器[3-5]、單光子晶體管[6]、可控放大器[7-9]、完美光子吸收器[10-12]等. 另外， 由于具有高魯棒性的光子被認(rèn)為是量子信息的理想載體[5，13，14]， 所以在有限幾何條件下實(shí)現(xiàn)相干光子控制的微腔成為了量子計(jì)算和通信的重要組成部分[15，16]. 特別是基于微腔的光子傳輸和全光開關(guān)，引起了人們的極大興趣且具有廣闊的應(yīng)用前景[17-21].全光開關(guān)是一個(gè)很有前景的可用于控制各種經(jīng)典和量子光學(xué)現(xiàn)象的平臺(tái)[22-25]， 也是光學(xué)科學(xué)和量子信息處理研究的重點(diǎn)之一[15，26-28]. 光子開關(guān)可以作為量子電路和量子網(wǎng)絡(luò)的核心節(jié)點(diǎn)， 因而是實(shí)現(xiàn)量子路由器、量子晶體管的關(guān)鍵[29].

近年來， 隨著光機(jī)械系統(tǒng)(由一個(gè)可移動(dòng)的腔鏡和固定的腔鏡構(gòu)成的法布里-珀羅腔)的發(fā)展[30]，人們實(shí)現(xiàn)了諧振器的基態(tài)冷卻[31，32]、超低閾值混亂[33]、量子同步[34]和非互惠的光子傳輸[35，36]. 基于量子干涉效應(yīng)， 通過控制耦合場(chǎng)之間的相對(duì)相位以及其他機(jī)械驅(qū)動(dòng)和腔體耦合參數(shù)， 可以實(shí)現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)的非互易性[35，37-39]. 另外， 基于光力學(xué)， 通過調(diào)節(jié)光力系統(tǒng)中的控制場(chǎng)強(qiáng)度等參數(shù)， 還可以實(shí)現(xiàn)快慢光效應(yīng)和可調(diào)諧光放大[30，38]. 近年來， 人們不僅在理論上提出了一些新的光機(jī)械系統(tǒng)[40]， 并且在實(shí)驗(yàn)上也得到了驗(yàn)證[41，42].

然而， 量子信息和量子網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展需要更多的多功能光量子器件， 包括全光可控的非互易或非對(duì)稱的非傳統(tǒng)光子輸運(yùn). 為此， 本文提出了一種由兩個(gè)具有正交結(jié)構(gòu)的腔組成的光學(xué)腔-原子系統(tǒng). 置于兩微腔垂直相交點(diǎn)的二能級(jí)原子分別受到兩個(gè)腔的作用. 利用光纖將兩個(gè)腔連接， 以獲得更多可控的參數(shù). 基于這種結(jié)構(gòu)中的量子干涉， 通過適當(dāng)選擇兩個(gè)腔之間的隧穿強(qiáng)度、輸入場(chǎng)之間的相對(duì)相位， 可以產(chǎn)生相干完美吸收和相干完美合成[19]. 由于這種量子干涉的可調(diào)性， 這種正交結(jié)構(gòu)的兩個(gè)端口中的任意一個(gè)都可以檢測(cè)到輸出場(chǎng)的可調(diào)光開關(guān)， 可以通過相干完美吸收、合成和透明之間的轉(zhuǎn)換來實(shí)現(xiàn). 除了光傳播的兩個(gè)可切換的垂直方向外， 還可以動(dòng)態(tài)地控制光的群速度.

2 模型和方程

如圖1(a)所示， 考慮了一個(gè)腔-原子閉環(huán)的三模系統(tǒng)， 雙腔的模分別為a和b， 雙腔分別與二能級(jí)原子耦合， 二能級(jí)原子的基態(tài)(激發(fā))態(tài)為 |g〉 ( |e〉 ).如圖1(b)所示， 將兩個(gè)法布里-珀羅微腔相互垂直，將原子放置于十字相交處， 并且考慮兩腔完全相同的理想情況， 即腔本征頻率、衰減率以及腔原子耦合系數(shù)相同[19，43]， 從而構(gòu)造對(duì)稱的系統(tǒng)結(jié)構(gòu). 類似的結(jié)構(gòu)已用于研究PT-對(duì)稱非線性光學(xué)[44]. 此外，通過微波電路將腔與原子耦合機(jī)制[45，46]， 也可實(shí)現(xiàn)兩腔同頻率、同衰減率. 之所以使用垂直結(jié)構(gòu)， 是由于對(duì)于光腔中大部分沿軸向運(yùn)動(dòng)的光子來說， 兩腔垂直放置可以減少兩腔中光子之間的相互作用，從而避免兩腔在與原子耦合時(shí)同時(shí)出現(xiàn)額外的不可控相互作用. 而系統(tǒng)在兩個(gè)光腔通過外部的光纖進(jìn)行可控的耦合， 從而實(shí)現(xiàn)可控的量子干涉現(xiàn)象.

圖 1 (a)由兩個(gè)光學(xué)腔模和原子組成的閉環(huán)三模系統(tǒng)圖;(b)正交腔結(jié)構(gòu)的裝置圖Fig. 1. (a) Schematic diagram of an optical system composed of two optical cavities and the atomic ensemble;(b) realistic setup of that optical system with the doublecavity orthogonal structure.

在本系統(tǒng)中通過增加連接兩個(gè)微腔的光纖從而引入了強(qiáng)度為 J 的光子隧穿作用. 兩腔的頻率為ω0， 衰減率為 κa( κb)， 兩腔通過玻色子湮滅算符 a ( b )和產(chǎn)生算符 a?( b?)來表示. 中間二能級(jí)原子的基態(tài) |g〉 與 激發(fā)態(tài) |e〉 之間的躍遷頻率(自發(fā)衰減率)表示為 ωe( γ ). 頻率為 ωp的弱輸入探測(cè)場(chǎng)的振幅為εpa( εpb)， 從腔a(b)的一端腔鏡(作為一個(gè)輸入/輸出端)探測(cè)到另一端全反射腔鏡.

關(guān)于頻率 ωp的旋轉(zhuǎn)變換下， 這個(gè)三模系統(tǒng)的哈 密頓量寫為如下形式:

其中 g0=ga=gb為腔與單個(gè)原子之間的耦合系數(shù)，，μeg為 原 子 躍 遷 偶 極 矩，Va，b為腔體積. Δ =ω0-ωp和 δ =ωe-ω0是對(duì)應(yīng)的頻率 失 諧. 兩 腔 的 輸 入 探 測(cè) 場(chǎng) 振 幅 為 εpa=εpeiθ，εpb=εp， 其中 θ 為兩探測(cè)場(chǎng)的相對(duì)相位. 原子躍遷是 由 泡 利 下 降 算 符 σ-=|g〉〈e| 和 上 升 算 符σ+=|e〉〈g| 來描述的. 而 σz=(〈σ+σ-〉-〈σ-σ+〉)為在 |e〉 和 |g〉 之間的布局?jǐn)?shù)差.

根據(jù)半經(jīng)典的海森伯-朗之萬運(yùn)動(dòng)方程， 假設(shè)q=〈q〉 ( q =a，b，σ-)， 并且在弱激發(fā)條件和半經(jīng)典近似 σz=-1 下， 穩(wěn)態(tài)解的展開形式可以寫成如下形式[20，47]:

其中 M =2i(Δ+δ)+γ，κa=κb=κ .

根據(jù)輸入-輸出關(guān)系[48，49]， 結(jié)合上述穩(wěn)態(tài)解， 兩個(gè)腔的輸出場(chǎng)可以表示為:

則相應(yīng)的輸出探測(cè)場(chǎng)系數(shù)為:

歸一化輸出場(chǎng)強(qiáng)度 Ia=|ia|2和 Ib=|ib|2可以用來測(cè)量兩個(gè)腔的穩(wěn)態(tài)光子輸運(yùn)行為.

3 結(jié)果和討論

由于這種閉環(huán)模式系統(tǒng)對(duì)輸入探測(cè)場(chǎng)之間的相對(duì)相位 θ 敏感， 所以本文將研究在不同相位情況下系統(tǒng)輸出的變化與腔間隧穿耦合強(qiáng)度之間的關(guān)系， 從而研究不對(duì)稱效應(yīng). 此前研究中[50]展示了當(dāng)原子的衰減率趨近為零且兩垂直腔之間不存在光子隧穿時(shí)， 系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)較完美的且對(duì)稱的相干完美合成等量子干涉現(xiàn)象. 而在本研究中， 考慮了天然原子實(shí)際衰減率并不小的情況下， 通過在雙腔之間引入光子隧穿， 從而實(shí)現(xiàn)可調(diào)諧的量子干涉現(xiàn)象.

首先， 輸入探測(cè)場(chǎng)為 εpa=εpeiθ，εpb=εp時(shí)，Ia( Ib)是可觀測(cè)的. 通過調(diào)節(jié)參數(shù)， 可以滿足不同的輸出要求. 圖2顯示的是當(dāng)兩腔的輸入探測(cè)場(chǎng)相對(duì)相 位 分 別 為 θ =0，π/2，π，3π/2 且 隧 穿 強(qiáng) 度 為J=0，3κ，6κ 時(shí)， 輸出場(chǎng)強(qiáng) Ia( Ib)隨著不同失諧 Δ變化的情況.

圖2(a)顯示在兩腔輸入探測(cè)場(chǎng)之間不存在相對(duì)相位， 即 θ =0， 兩個(gè)歸一化輸出場(chǎng)強(qiáng)度 Ia和 Ib相同， 無非互惠現(xiàn)象; 可見， 在近共振區(qū)域形成了兩個(gè)谷(吸收峰)夾一透射峰. 中間的場(chǎng)強(qiáng)并不高; 同時(shí)， 與 J =0 (紅色實(shí)線)情況相比，J ／=0 時(shí)共振兩側(cè)吸收峰未達(dá)到0， 即并未形成很好的相干完美吸收. 而隨著隧穿強(qiáng)度 J 增加， 在共振附近的輸出場(chǎng)強(qiáng)逐漸增大， 且透射峰逐漸稍微遠(yuǎn)離 Δ =0 ， 整體輸出場(chǎng)強(qiáng)度提高. 這說明由于光子通過光纖在兩腔模之間的隧穿破壞了相干完美吸收而相干透射被提高了. 當(dāng) J 增加到足夠大的時(shí)候， 即光子隧穿非

圖 2 當(dāng) 隧 穿 強(qiáng) 度 J =0，3κ，6κ， 歸 一 化 輸 出 場(chǎng) 強(qiáng) 度 Ia ( Ib)隨 輸 入 場(chǎng) 失 諧 Δ /κ 的 變 化 情 況 (a) θ =0 ; (b) θ = (a腔)，θ=(b腔); (c) θ =π ; (d) θ = (b腔)，θ = (a腔). 其他參數(shù)分別為 g 0=2κ，γ =2κ，κ=1Fig. 2. Normalized output field intensities Iavs. normalized input field detuning Δ /κ with tunneling strength J =0，3κ，6κ :(a) θ =0 ; (b) θ =(cavity-a)，θ =(cavity-b); (c) θ =π ; (d) θ =(cavity-b)，θ =(cavity-a). Other parameters are g0=2κ，γ =2κ，κ =1 .

常明顯時(shí)，I

a

( I

b

)可以在近共振頻率范圍內(nèi)增加到接近1， 從而引發(fā)了表現(xiàn)為探測(cè)場(chǎng)輸出無任何能量損耗的量子干涉現(xiàn)象——相干完美透明. 這種明顯的吸收抑制現(xiàn)象來自于腔、場(chǎng)和原子模式之間的相消量子干涉. 圖2(c)顯示了當(dāng)相位 θ =π 時(shí)， 在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，I

a

和 I

b

始終等于1. 這種對(duì)稱透射的量子干涉現(xiàn)象被稱為與頻率無關(guān)的相干完美透明， 也可以看作兩個(gè)任意頻率的場(chǎng)同時(shí)發(fā)生完全反射

[20，40]

. 在引入腔間耦合( J ／=0 )時(shí)， 仍能維持互惠的相干完美透明現(xiàn)象.

圖2(b)和圖2(d)顯示了當(dāng)兩腔的輸入場(chǎng)相對(duì)相位 θ =π/2 和 θ =3π/2 時(shí)， 兩腔的輸出場(chǎng)不再相同， 因此實(shí)現(xiàn)了兩腔的非對(duì)稱傳輸行為. 圖2(b)顯示的是在兩輸入場(chǎng)相對(duì)相位 θ =π/2 ( θ =3π/2 )條件下， a(b)腔的輸出場(chǎng)強(qiáng)度; 圖2(d)顯示的是在θ=3π/2 ( θ =π/2 )條件下， a(b)腔的歸一化輸出場(chǎng)強(qiáng)度. 首先觀察當(dāng)輸入場(chǎng)相對(duì)相位 θ =π/2 時(shí)a腔和b腔的輸出情況， 即圖2(b)和圖2(d). 若忽略原子耗散(或設(shè)原子耗散極小)， 在適當(dāng)區(qū)域可出現(xiàn)探測(cè)場(chǎng)單向傳輸[49](單方向無透射)， 且歸一化輸出場(chǎng)強(qiáng)度為200%， 即相干完美合成. 此現(xiàn)象是由系統(tǒng)多模間的相長量子干涉誘導(dǎo)生成的[20，40]. 在本系統(tǒng)中， 由于兩腔的對(duì)稱性和考慮原子實(shí)際弛豫耗散，Ia和 Ib在 [ 0，2] 范 圍內(nèi)變化， 且滿足 Ia+Ib≤2 .與忽略原子耗散(或設(shè)原子耗散極小)的情況不同，當(dāng)無腔間耦合( J =0 )時(shí)， 在任何頻率區(qū)域歸一化輸出場(chǎng)強(qiáng)度都不會(huì)達(dá)到2， 即未實(shí)現(xiàn)相干完美合成，其光場(chǎng)損耗部分是由原子耗散引起的. 然而， 當(dāng)引入腔間耦合 J ， 單向傳輸?shù)妮敵鰣?chǎng)強(qiáng)度會(huì)隨 J 的增長 逐 漸 增 大， 從 而 出 現(xiàn) Ia=2 和 Ib=0 ( Ia=0 和Ib=2 )， 即實(shí)現(xiàn)相干完美合成. 其物理原因是， 如圖1(a)所示， 本系統(tǒng)引入腔間耦合構(gòu)造了閉合環(huán)形結(jié)構(gòu)， 因而兩腔模間、兩腔與原子間會(huì)誘發(fā)量子干涉， 所以當(dāng)取適當(dāng)參數(shù)時(shí)， 在不忽略原子弛豫耗散時(shí)仍能實(shí)現(xiàn)相干完美合成.

如圖3所示， 取 Δ =4.88κ ， 研究兩歸一化輸出場(chǎng)強(qiáng)度 Ia和 Ib隨兩探測(cè)場(chǎng)間相對(duì)相位 θ 的變化情況. 可見， 輸出場(chǎng)強(qiáng)顯示出以 θ =2π 為周期發(fā)生變化，并始終滿足 Ia+Ib=2 . 當(dāng) θ =nπ/2 ( n =1，3，5，··· )時(shí)， 兩個(gè)不同方向的輸出場(chǎng)會(huì)交替出現(xiàn)相干完美合成， 也就是說會(huì)交替出現(xiàn)單向(非互惠)光傳輸. 通過調(diào)節(jié)相位， 可以實(shí)現(xiàn)不同方向的單向光傳輸、對(duì)稱光傳輸?shù)葯C(jī)制之間的切換. 因此， 可以通過相位調(diào)制來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出在對(duì)稱和非對(duì)稱光傳輸行為之間的開關(guān)控制.

圖 3 歸一化輸出場(chǎng)強(qiáng)度 Ia(紅色線)和 Ib(藍(lán)色線)隨相對(duì) 相 位 θ 變 化 情 況. 其 他 參 數(shù) 為 Δ =4.88κ，J =6κ ，g0=κ，γ =2κ，κ=1Fig. 3. Normalized output field intensities Ia(red-line) and Ib(blue-line) vs. the relative phase θ with Δ =4.88κ .Other parameters are J =6κ，g0=κ，γ =2κ，κ =1 .

該可調(diào)諧的閉環(huán)三模系統(tǒng)不僅可以控制光子傳輸?shù)姆较颍?還可以控制探測(cè)場(chǎng)的群速度， 如快、慢光效應(yīng). 基于此， 我們將關(guān)注可調(diào)諧的快、慢光和控制快慢光轉(zhuǎn)換的方法. a(b)腔的輸出場(chǎng)的群延遲定義為

其中 Θa，b=arg[ia，b(ωp)] 為 頻率為 ωp的相應(yīng)輸出場(chǎng)的輻角相位.

圖4為 輸 入 探 測(cè) 場(chǎng) 存 在 εpa=εpb=εp， 即θ=0 時(shí)， 來 檢 測(cè) 兩 探 測(cè) 場(chǎng) εpa和 εpb的 群 速 度. 在圖4(a)中， 兩腔隧穿強(qiáng)度 J =0 ， 輸出群延遲τa=τb＞0 ， 這意味著在近共振范圍系統(tǒng)完全呈現(xiàn)慢光效應(yīng). 隨著 J 的增加， 如圖4(b)所示， 當(dāng) J=κ時(shí)， 在共振點(diǎn)附近， 群延遲出現(xiàn)低谷 τa=τb＜0 ， 這對(duì)應(yīng)著快光效應(yīng). 其中群延遲最小值約為 - 1.0/κ ，出 現(xiàn) 在 Δ ?1.0κ . 如 圖4(c)(圖4(d))顯 示， 當(dāng)J=2κ ( J =3κ )時(shí) 群 延 遲 最 小 值 約 是 -0.22/κ( - 0.06/κ )， 此時(shí)的失諧為 Δ ?0.6κ ( Δ ?0.3κ ). 顯然， 當(dāng)兩個(gè)腔之間存在光子隧穿時(shí)， 會(huì)出現(xiàn)快光.但是， 隨著 J 的增大， 快光效應(yīng)非單調(diào)變化， 出現(xiàn)快光的頻率范圍也會(huì)發(fā)生偏移. 圖4(e)顯示了在輸入場(chǎng)失諧固定為 Δ =1.0κ 時(shí)， 群延遲與兩腔耦合強(qiáng)度 J 的關(guān)系圖像. J 從0增加， 慢光會(huì)在J≈0.63κ 變換為快光， 且快光效應(yīng)在 J ≈1.5κ 最為明顯. 這表明， 對(duì)于固定頻率的輸入場(chǎng)， 通過調(diào)節(jié)兩 腔間的耦合強(qiáng)度可以實(shí)現(xiàn)快、慢光之間的轉(zhuǎn)換.

圖 4 輸 出 群 延 遲 τaκ ( τbκ )隨 輸 入 場(chǎng) 失 諧 Δ /κ 變 化 情 況， 其 中 隧 穿 強(qiáng) 度 為 (a) J =0， (b) J =κ， (c) J =2κ， (d) J =3κ ;e)輸出群延遲 τaκ ( τbκ )與隧穿強(qiáng)度 J /κ 在 Δ /κ=1 時(shí)的關(guān)系圖. 其他參數(shù)為 g0=2κ，γ =2κ，κ=1Fig. 4. Normalized output group delay τaκ ( τbκ ) vs. normalized input field detuning Δ /κ with tunneling strength of (a) J =0 ，b) J =κ， (c) J =2κ， (d) J =3κ ; (e) output group delay τaκ ( τbκ ) vs. normalized tunneling strength J /κ for Δ /κ=1 . Other arameters are g0=2κ，γ =2κ，κ =1 .

4 結(jié) 論

本文提出了一個(gè)正交雙腔結(jié)構(gòu)的閉環(huán)三模系統(tǒng)， 用于研究由可調(diào)諧的量子干涉而導(dǎo)致的涉及傳播方向和群速度的非傳統(tǒng)光子傳輸行為. 雙腔通過二能級(jí)原子間接耦合， 且通過光子隧穿直接耦合.在這種閉環(huán)模結(jié)構(gòu)下， 兩個(gè)腔與原子間的復(fù)雜的相干相互作用導(dǎo)致了一些有趣的量子干涉現(xiàn)象， 如相干完美透明和相干完美合成. 這些輸運(yùn)行為可以通過調(diào)節(jié)兩個(gè)腔之間的隧穿強(qiáng)度以及兩個(gè)輸入探測(cè)場(chǎng)之間的相對(duì)相位來控制. 基于這些動(dòng)態(tài)過程， 可以控制兩個(gè)相互正交的輸出端口之間的探測(cè)場(chǎng)的傳播方向. 具體來講， 相干完美透明對(duì)應(yīng)著探測(cè)場(chǎng)完全反射而無損耗; 相干完美合成是指兩個(gè)相互垂直的探測(cè)場(chǎng)分別從兩個(gè)端口輸入， 可以合成從某一端口完全輸出而無損耗. 因此， 這是一個(gè)具有可控的對(duì)稱或不對(duì)稱傳播方向的可調(diào)開關(guān)方案. 同時(shí)，在此研究方案中可以控制探測(cè)場(chǎng)的群速度， 通過調(diào)整隧穿耦合強(qiáng)度可實(shí)現(xiàn)快、慢光的轉(zhuǎn)換. 該系統(tǒng)所具有的可調(diào)諧量子干涉特性， 可為量子信息處理和網(wǎng)絡(luò)提供高效的光開關(guān)和路由方案.