淺談邏輯推理及證明方法

杜先云 任秋道

(1.四川省成都信息工程學院數學學院 610225; 2.四川省綿陽師范學院數學與物理學院 621000)

一、引入

無論在自然學科還是社會學科中，以及社會生活中我們經常遇到推理，推理的結論是否正確？推理需要遵守一定的邏輯規則.目前，數學教師都沒有系統學習過數理邏輯知識，而在中學數學中，我們又要用到很多邏輯知識.比如：間接法與反證法的定義、區別與聯系；矛盾是與一個已知真命題不一致的判斷，矛盾律和排中律是矛盾的對立統一的表現.為此本文利用《數理邏輯》的知識來闡述中學數學的證明方法.

二、命題邏輯及推理規律

首先我們來回顧《數理邏輯》的基本知識.命題是判斷是真或假并且結果唯一的陳述句.簡單陳述句表示簡單命題，簡單命題通過邏輯聯結詞的聯結而成為復合命題.一般情況下用四種聯結詞：非(?)、且(∧)、或(∨)及蘊含(→).用符號表示的簡單命題或復雜命題稱為命題公式，通常用大寫字母A,B,C等表示.命題公式A中所有簡單命題無論是真還是假，通過邏輯演算結果A都是真，稱命題公式A為重言式或永真式.

推理是由一個或幾個已知的判斷(前提)，推導出另一個新的判斷(結論)的思維過程.有正確和錯誤兩種推理.從條件A1,A2,…,An推出結論B的形式結構一般記為：(A1∧A2∧…∧An)→B.

若該式為重言式，稱該推理是正確的或有效的.正確的推理記為：(A1∧A2∧…∧An)?B.

按照推理過程的思維方向劃分，可分為歸納推理、演繹推理和類比推理.歸納推理又可分為：完全歸納推理、不完全推理、簡單枚舉法等.演繹推理分為：三段論、假言推理、選言推理等.我們在推理中得出的結論是否正確？在數學上對于一個正確推理可以給出嚴密的證明，要用到幾條常見的推理定律：

假言推理：(A→B)∧A?B.若條件A成立，則結論B成立.現在條件A成立，則結論B一定成立.這是我們用得最多的推理定律.

假言三段論：(A→B)∧(B→C)?A→C.若條件A成立，則結論B成立；把已證明的結論B作為后繼證明的條件，又能得到新的結論C；因此條件A能推出結論C.該定律說明了假言推理的傳遞性，也是我們用得較多的推理定律.

假言易位等值式：A→B的充要條件?B→?A.這就是我們通常所說的原命題與逆否題等價.

正確推理的證明是指一個描述推理過程的命題公式序列，其中的每個命題公式是已知的條件，或者是由某些條件應用推理規則得到的結論(中間結論或推理的結論).

三、證明的方法

一般地，真命題都可以看作由條件A與結論B構成，其推理形式為：若條件A為真，證明A→B為真.

1.直接證法

從條件A為真出發，以及一些定義、公理、定理或已經證明過的真命題等，一步一步推導出結論B.當已知條件A(或部分已知條件)與某一個定理或公理的條件相同，根據假言推理論或三段論，可推出該定理或公理的結論成立；我們再把該定理或公理的結論作為前提，又利用假言推理與其它的定理或公理推出新的結論，依次推下去，直到得出結論B.我們稱這樣的證明為直接證明.它利用發散思維，從條件這點發散出去，不斷尋找與結論相關的數學對象.由“已知”得到“推知”，再由“推知”一步步得到“結論B”.條件A分為二種情況：A=A1∧A2∧…∧An和A=A1∨A2∨…∨Ak.前一種情況由n個條件A1,A2,…,An同時成立構成已知，利用這n個條件共同逐步推出結論B.后一種情況的k個條件A1,A2,…,Ak在不同的情況下只有單獨一個條件Ai(i=1,2,…,k)成立，而其余條件均不成立，分成k種情形進行討論，將每一種情形分別證明結論B，直到所有的k種情形均證明了結論B，這個方法叫窮舉法或分類討論法.一個復雜的問題往往要分成多種情形，分別將每一種情形進行討論.

對于直接證明法，根據證明過程的表述不同又分為兩種方法：綜合法和分析法.

2.構造法

有些問題分析時常常使用分析法，求解時用綜合法.這就是另一種證明方法—構造性證明法.它是指要證明的結論B具有某些性質的特殊數學對象，利用已知條件和結論構造一個中間結論B′，通過B′來說明B為真，從而說明該命題為真.利用轉換型逆向思維法：轉換思考角度觀察分析問題，從新的角度，用新的觀點觀察、分析及解釋對象，抓住它們的內在聯系；再通過聯想和創新性思維，使原問題中隱晦不清的關系和性質在新構造的數學對象B′中清楚地表現出來.它的本質是轉化條件或結論的證明方法.它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性作為基礎，針對具體問題的特點而采取相應的解決方法.在幾何中，經常要添加輔助線，借助輔助圖形得到結論.

3.間接證法

有些命題的條件少或者較難從條件入手，直接證明比較困難.我們就利用反轉型逆向思維從結論的相反方向進行思考，否定結論B會對已知條件產生什么影響，采用簡接的方法證明.它要用到兩個重要的邏輯規律“矛盾律”和“排中律”： 矛盾律用公式A∧?A為假來表示，即命題A和它的否定命題?A不能同時成立，二者至少一個為假.排中律用公式A∨?A為真來表示，即命題A或它的否定命題?A為真,二者至少一個為真.矛盾律和排中律說明了在同一思維過程中，命題及其否定命題這對矛盾必有一個是真的，另一個就是假的.當直接證明某一判斷的正確性有困難時，只要證明這一判斷的否定判斷為假就可以了.

根據假言易位等值式：A→B的充要條件?B→?A.若證明了逆否命題?B→?A為真，也即證明了原命題A→B為真.我們稱由?B→?A為真來證明A→B為真的方法為間接法.對于沒有明顯前提的特殊命題，要求直接證明某命題B為真.由它的反面?B出發，利用假言推理和假言三段論等推理定律推出矛盾，則得到B為真，我們稱這種方法為歸謬法或反證法.由此可得：從命題角度來看，使用反證法的命題是一類沒有前件的特殊命題，反證法是一種間接證明法.而在間接法證明過程中，我們得到?B→?A，而?A∧A就是一個特殊的矛盾.因此，從證明的過程來看，間接法又是一種反證法.反證法的步驟：反設：分清楚要證命題的條件與結論，假設命題的結論不成立.歸謬：從反設和已知條件出發，經過一系列正確的邏輯推理，得到矛盾的結果.存真：由矛盾的結果得到反設不真，從而肯定原命題成立.

現在反證法已經是常用的一種證明方法.數學中，一些起始性命題、否定性命題、唯一性命題、必然性命題、無限性命題和結論以“至多……”或“至少……”的形式出現的命題等用反證法來證明可收到比較好的效果.

求證a1,a2,…,an中至少有一個數小于1.

因此，n=1+(b1+b2+…+bn)+…+b1b2…bn>1+(n-1)=n.

這是一個矛盾.故假設不成立，即a1,a2,…,an中至少有一個數小于1.

4.數學歸納法

對于某些與自然數n有關的命題常常采用數學歸納法來證明它的正確性，用于證明某個給定命題在整個(或者局部)自然數范圍內成立.數學歸納法有多種形式：第一數學歸納法、第二數學歸納法、倒退歸納法(反向歸納法)、遞降歸納法和螺旋式歸納法等.