機器人直線運動位置軌跡精度評估方法研究*

郭 軍，王炳榮

(北京工業大學 北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心，北京 100124)

0 引 言

隨著我國工業機器人產業的發展，對機器人軌跡控制精度提出了更高的要求[1]。

對工業機器人性能特征的研究測量具有非常重要的價值。這些性能標準由國家和國際工業標準定義，也描述了評估它們的方法。然而，將這些標準和方法直接應用于任何機器人可能導致機器人精確度的錯誤識別。李志杰等[2]應用嚴密的數學理論和最小二乘誤差理論,推導出了用于評價機器人直線運動軌跡成形精度的空間最小二乘直線的通用求解方法。該方法具有求解精度高、算法簡便、通用性較強的優點；蔡廣宇等[3]提出了空間直線擬合的方法對機器人直線軌跡進行了擬合，通過分析誤差分布情況為機器人的位姿誤差補償及精度優化設計提供了依據；瑞典Selspot公司生產的雙攝像機測試系統采用了“替代”求解方法，該方法原理是在對機器人進行多次重復測量時,迭用其任意一次運動軌跡上的兩點所確定的空間直線來代替所要求的空間最小二乘直線；陳凱強等[4]提出了一種基于NURBS曲線的插值方法和插補的原理，通過MATLAB仿真對該方法進行了測試，顯著降低了插值誤差和計算量；JOHNEN B等[5]提出了動態時間扭曲(DTW)作為工業機器人運動分析的方法，提出了DTW算法的一種新變體，它允許內插軌跡點的映射，而不會顯著增加計算復雜度。

本文采用激光跟蹤儀連續測量模式對工業機器人進行直線位置準確度指標測試[6]，對機器人直線運動軌跡精度進行評估。

1 位置軌跡準確度測量方法與原理

國家標準GB/T 12642—2013《工業機器人性能規范及其試驗方法》規定，位置軌跡準確度是指指令軌跡上m個位置與n次測量的集群中心點之間的最大偏差[8]。

軌跡準確度如圖1所示。

圖1 GB/T 12642—2013規定軌跡準確度

位置軌跡準確度的計算方法如下：

(1)

(2)

式中：xci，yci，zci—每個測試點的理論位置坐標；xij，yij，zij—第j條實到軌跡與第i個正交平面交點的坐標。

根據指令軌跡形狀與試驗速度，筆者沿指令軌跡選擇一些計算點及相應的正交平面。

但是標準中沒有規定應該構造多少正交平面以及應該放置它們的位置，所以給軌跡的精度評估帶來了一定的不確定性。本文采用以下3種方法對直線軌跡位置準確度進行近似計算。

當采樣頻率較慢、采樣點數較少時，采用三次樣條插值方法，對測量數據進行處理，可模擬計算出更多實際點的位置，得到更準確的實際軌跡位置：

(1)采用點到直線距離近似計算直線軌跡位置誤差。假設機器人在實際執行直線路徑任務過程中，起點為P0(x0，y0，z0)，終點為P1(x1，y1，z1)每個時刻到達的位置為Pi(xi，yi，zi)，可以通過激光跟蹤儀測量得到該位置坐標值。

以該位置在理論直線路徑上的垂足點P0i(x0i，y0i，z0i)作為機器人實際執行直線路徑任務過程中每個時刻的理論位置，則|PiP0i|為該點近似軌跡位置誤差，點到直線距離計算軌跡準確度如圖2所示。

圖2 點到直線距離計算軌跡準確度

理論直線方程如下：

(3)

式中：m，n，p—直線的一組方向數。

m=x1-x0
n=y1-y0
p=z1-z0

(4)

轉換成參數方程為：

x0i=mti+x0
y0i=nti+y0
z0i=pti+z0

(5)

(6)

每個測量點在理論直線上對應的位置由下式計算：

(7)

則點到直線距離即位置軌跡誤差為：

(8)

(2)假設機器人在實際執行直線路徑任務過程中，起點為P0(x0，y0，z0)，終點為P1(x1，y1，z1)，通過激光跟蹤儀測量每個時刻到達的位置得到該位置坐標值。

利用三次樣條插值方法對測量數據進行計算，將x作為自變量，將y、z看成x的函數，y=y(x)，z=z(x)，實際軌跡插值點記為Pi(xi，yi，zi)，利用分段線性插值方法對理論軌跡直線進行計算。

同樣，將x作為自變量，將y、z看成x的函數，理論直線軌跡插值點記為P0i(x0i，y0i，z0i)，與實際軌跡插值點數一一對應，近似計算直線軌跡位置誤差，如圖3所示。

圖3 利用插值方法計算軌跡準確度

理論直線方程如下：

(9)

將理論直線進行線性插值，等間距分成m段，則每兩點之間的差值如下：

(10)

則插值計算后理論直線上的點如下：

P0i=P0(x0,y0,z0)+(dx,dy,dz)i=
(x0+dxi,y0+dyi,z0+dzi)

(11)

軌跡位置誤差為：

(12)

(3)利用速度時間關系求解每個時刻對應理論位置點。假設機器人在實際執行直線路徑任務過程中，起點為P0(x0，y0，z0)，終點為P1(x1，y1，z1)每個時刻到達的位置為Pi(xi，yi，zi)，可以通過激光跟蹤儀測量得到該位置坐標值。

利用速度時間關系計算軌跡準確度如圖4所示。

圖4 利用速度時間關系計算軌跡準確度

理論直線方程為：

(13)

理論直線方向單位向量為(m，n，p)，可由下式計算：

(14)

將測量數據進行等間距分段，對每段直線進行相同的分析處理，采樣頻率為t=0.01 s，可根據下式求出每兩點之間速度：

(15)

將分段內的速度值進行最小二乘法擬合，即：

v=v0+at

(16)

式中：v0—初始速度；a—加速度；t—運動時間。

將其近似看成沿理論直線方向的運動速度，據此由下式求出分段內每個時刻在理論直線上對應位置為P0i(x0i，y0i，z0i)：

x0(i+1)=x0i+vtm
y0(i+1)=y0i+vtn
z0(i+1)=z0i+vtp

(17)

軌跡位置誤差如下：

(18)

2 實驗及結果分析

2.1 測試條件

首先筆者對工業機器人進行必要的校準操作；設定測試的環境溫度為20 ℃，試驗溫度應保持在±2 ℃之內，并將實驗裝置置于試驗環境中24 h[9-11]。

該實驗所要測試的直線為點P2～P4。實驗在10%額定負載(10 kg)、10%速度下進行測試，循環次數為10次，最終結果為10次循環的平均值。

2.2 實驗結果

實驗計算數值以激光跟蹤儀為坐標系，P2點在激光跟蹤儀坐標系下的理論值為(4 823.453 181 mm，-3 317.412 862 mm，1 163.644 51 mm)，P4點在激光跟蹤儀坐標系下的理論值為(5 017.637 83 mm，-3 689.241 917 mm，743.126 406 3 mm)，激光跟蹤儀采樣頻率為100 Hz，即t=0.01 s測一個點。

直線軌跡位置誤差的3種計算方法結果如圖5所示。

圖5 3種測量方法直線軌跡誤差測量

圖5(b)中，第2種測量方法將x作為自變量，y、z作為x的函數，所以x方向的誤差結果為一條直線。

3種測量方法的誤差最大值、平均值、標準差如表1所示。

表1 3種測量方法的誤差最大值、平均值、標準差

2.3 結果分析

由表1可看出，軌跡誤差最大值最小為0.605 1 mm，軌跡誤差最大值最大為0.636 0 mm；平均值最小為0.501 4 mm，平均值最大為0.525 6 mm；標準差最大為0.045 9 mm，標準差最小為0.035 8 mm，3種計算方法各有優缺點。

從圖5中可以看出，3種計算方法整體上誤差值變化有相同的趨勢，誤差變化幅度相似，x方向誤差值比較大，z方向誤差值比較小；3種計算方法都可以比較精準地對工業機器人直線軌跡位置誤差進行評估，可為機器人位置誤差補償提供理論依據。

3 結束語

本文采用激光跟蹤系統對工業機器人直線軌跡誤差進行了測量，通過最小二乘法和樣條、線性插值法等3種計算方式對測量數據進行了計算。3種方法都解決了國家標準中沒有規定的應該構造多少正交平面以及應該放置它們的位置等問題。

此外，3種計算方法都很好地對機器人直線軌跡位置誤差進行了評估，對機器人的軌跡誤差補償提供了理論依據。