基于FEM 與集總參數法的熱電制冷器數學建模方法研究

李 鵬

（株洲中車時代電氣股份有限公司， 湖南 株洲 412001）

0 引言

熱電制冷器（Thermoelectric Cooler，TEC）又稱半導體制冷器，是一種主要根據帕爾貼效應制成的固體制冷器。準確的熱電制冷器數學模型， 是研究和應用TEC 的基礎。本文通過總結已有的數值分析方法，提出了有限元分析法與集總參數法，應用此兩種分析方法，對四種不同面長比的熱電制冷器在真空與空氣中的制冷溫度進行分析，并引入實驗數據進行對比，旨在評估各分析方法的精度與適用范圍。

1 熱電制冷器理論模型

在熱電制冷包含五種基本的物理效應： 塞貝克效應（Seebeck effect）、 珀耳帖效應 （Peltier effect）、 焦耳效應（Joule effect）、湯姆遜 效應（Thomson effect）、傅 里 葉 效 應（Fourier effect）。 各效應的物理層面原理在眾多文獻中都有詳細闡述[2]，本文不再進行贅述。 其中湯姆遜效應產生的熱交換屬于二級效應， 一般情況下對計算結果影響較小。 在本文的模型中暫時忽略此效應。

N 型熱電材料和P 型熱電材料共同組成熱電制冷器的基本單元，如圖1（b）所示。忽略半導體電極在電流垂直平面內的溫度差異，設縱向溫度為T（x），其中，冷面處x=0，熱面處x=L，則冷、熱面的溫度可表達如下：

取P 型半導體電極進行進一步分析， 假設電極流過電流為I，在Peltier effect 與Fourier effect 共同作用下，半導體電極冷面的制冷量qP為：

式中，αP—seebeck 系數（V/K）；kP—熱導率（W/（m·K））。AP—P 型半導體材料的橫截面面積（m2）。現計算電極在電流方向的溫度分布，在電流流動方向上取一微元，如圖1（c）所示，應用能量守恒、傅立葉導熱定律及焦耳熱定律，可得等式（4）與式（5）。

式中，ρP—熱電材料電阻率 （Ω·m）， 綜合式 （4）、式（5，）可得：

進一步假設：TEC 冷、熱端溫差不大，熱電單元具有常物性，將式（1）～式3 作為求解邊界條件，解微分方程式（6），可得如下形式等式：

同理可得N 型半導體材料在冷面的制冷量qN：

N、P 型熱電偶對的總制冷量qc為：

圖1 TEC 模型示意圖

假定N、P 熱電材料具有類似物性（Similar Materials）[3]，式（9）可進一步改寫為如下形式：

TEC 的電壓U、輸入功率w、熱面逸散熱量qh以及制冷系數（Coefficient of Performance，COP）分別為：

2 熱電制冷器數值分析方法

2.1 有限元分析法

有限元分析法通過將電極在溫度梯度方向進行微元劃分，微元尺度達到一定的細化程度后，每個微元上的溫差就可以不進行考慮，從而進行常物性處理。

電極在溫度梯度方向被平均分成m 份，令：第j 個部分的底面溫度為Tj，頂面溫度為Tj+1，第j 個部分的物理特征參數分別為αj、ρj、kj，各自取值如下：

式（10）可進一步調整為：

基于此， Tj與Tj+1、Qj與Qj+1之間的關系如下：

Wj為第j 個微元消耗的電功率，其定義為：

熱電單元冷面的溫度即為第m 個微元頂面的溫度：

陶瓷基板的熱阻在分析過程中不可忽略，TEC 性能分析需要對陶瓷基板熱阻進行考慮。 本文使用Rcm表示陶瓷基板熱阻，Rcm的定義方程如下：

式中：H—陶瓷基板厚度 （m）；kcm—陶瓷基板熱傳導系數（W/（m·K））；Acm—熱電電極的橫截面積，金屬導體的傳導熱阻和金屬焊層的接觸熱阻均相對較小， 通過增加修正系數z 進行考量，z 的取值范圍為5%～15%。 T1與Th之間的關系為：

T0與Tc之間的關系為：

由于qc在多數情況下取值都較小，故可近似認為：

2.2 集總參數法

集總參數法的核心思想是：對將方程式（4）～（6）中的熱電材料物性參數與溫度的關系進行解耦， 具體操作方法為使用一組合適的常物性參數作為熱電材料物性，代入微分方程，進行化簡求解。

TEC 工作時， 熱電電極的溫度在熱面溫度Th與制冷溫度Tc之間連續變化， 為篩選出合適的常物性參數計算方法， 提出三種不同計算策略： ①使用TEC 熱面的溫度（Th）確定物性參數；②使用TEC 冷、熱面溫度的平均值（Tavg）確定物性參數；③使用冷、熱面溫度物性參數的數值平均值（Pavg）作為需要的物性參數。 現將此三種方法的計算結果與實測數據進行對比從而確定最佳物性參數計算方法。

3 計算方法對比分析

為對計算方法進行驗證和篩選， 提取4 種不同面/長比（λ=A/L）的熱電制冷器參數，應用兩種分析方法，進行對比分析。 I、II、III、IV 分別作為這4 種TEC 的代號，I 號TEC 是參考文獻[1]所使用的TEC，II 為Marlow 公司型號為SP2664 制冷器，III 和IV 均為RMT Ltd 公司產品，其型號分別為1MC06－142－05 和1MC06－142－12 的。

I 號TEC 的分析結果表明：有限元分析法計算結果與實驗結果符合程度非常好： 最大制冷溫差的計算值與實驗值誤差為1.5K，相對誤差為1.75%；最大電流的計算值與實驗值誤差為0.07A，相對誤差為3.2%；集總參數法三種策略的計算結果都與實驗結果有較大偏差， 最大制冷溫差的相對誤差的最大值為12.1%， 最大電流的相對誤差最大值為19.1%。

II 號TEC 的分析結果表明：在集總參數法策略A、B、C 中，策略A 的計算結果與實驗結果符合程度最高。 最大制冷溫差、最大電流兩項指標的計算結果與實驗數據之間的相對誤差均＜2%。 策略B、C 的計算誤差均大于策略A，而有限分析法在該TEC 計算中，得到了最大的計算誤差。

III、IV 號TEC 有真空與普通大氣環境兩種實驗數據。III、IV 號TEC 的分析結果表明：有限元分析法適用于真空環境中TEC 性能分析，計算結果與真空環境中的實驗結果相對誤差＜4%； 集總參數法則適用于普通大氣環境中TEC 性能分析，且策略A 為更優參數確定策略。 面長較大的III 號TEC 的計算結果與大氣環境中的實驗數據相對誤差＜2%；面長比相對較小的IV 號TEC 的計算結果與大氣環境中的實驗數據相對誤差＜5%。

4 結論

有限元分析法適合對TEC 性能進行精確分析，在真空環境下，一級TEC 的計算制冷溫差與實測制冷溫差的相對誤差＜4%，該方法的優勢在于：將陶瓷基板、金屬導體及焊接層的熱阻均納入了計算過程， 模型精確度不受熱電單元面長比的影響， 適用于各種TEC 的性能計算。其缺點是計算復雜程度較高， 為考慮制冷器與空氣的偶合關系， 故對于應用于氣體環境中制冷器的性能計算會優于實驗測試結果。

在集總參數法的三種參數計算策略中， 策略1 的適應性最強， 適用于大氣環境中TEC 的性能分析與計算，TEC 的計算制冷溫差與實測制冷溫差的相對誤差＜5%，由于可以獲取解析解，其計算過程十分簡便，還能進一步得到TEC 不同約束條件下的最優性能參數解析解。 其缺點是暫未考慮陶瓷基板與熱電電極之間的部分熱阻，當熱電電極面長比減小、熱面功率密度降低時，會出現計算結果較實驗值偏小的現象。