小樣本加速壽命試驗方法

傅惠民， 文歆磊， 吳 瓊

（1.北京航空航天大學 小樣本技術研究中心， 北京 100191； 2.北京空間飛行器總體設計部， 北京 100094）

0 引言

隨著產品壽命和可靠性的不斷提高， 加速壽命試驗應用越來越廣泛。 對于工程上常見的加速系數未知的情況，一般需在多個加速應力水平下進行壽命試驗，并采用最佳線性無偏估計（BLUEs）等方法進行統計分析[1]，這不僅導致試驗工作量較大，而且在較低的加速應力水平還會出現不完全數據，甚至無失效數據，無法進行統計分析。

為此，本文給出一種小樣本加速壽命試驗方法，只需在兩個加速應力水平下進行加速壽命試驗， 即可確定加速系數，并推斷出產品在正常使用應力水平下高置信度、高可靠度的壽命單側置信下限。 與傳統方法相比，本文方法在精度相同的條件下可以節省大量試驗， 而在試驗量相同時則可提高精度。

1 小樣本加速系數

設S 為廣義應力（溫度、濕度、電應力、載荷、載荷譜、環境譜等），為了確定產品在正常使用應力水平S0下可靠壽命tR的置信水平為γ 的單側置信下限tRL， 采用加速壽命試驗，以解決試驗時間長、成本高的問題。

現選取一個加速應力水平S2，按傳統方法，加速應力水平S2對應力水平S0的加速系數為[1]

式中，tR，0和tR，2分別為產品在S0和S2下可靠度為R 的壽命。理論上還可以證明，對于指數分布、兩參數Weibull 分布、對數正態分布等，加速系數τ2～0與可靠度R 無關，可以用壽命均值或特征壽命代替tR，0和tR，2。

然而，tR，0和tR，2均為真值，工程上無法求得，只能得到其估計值，特別是在小樣本情況下，加速系數往往與可靠度R 和置信水平γ 都有關，因此定義小樣本加速系數τ～2～0為

式中，tRL，0和tRL，2分別為產品在S0和S2下置信水平為γ的可靠壽命tR，0和tR，2的單側置信下限。由此可知，采用式（2）給出的加速系數進行加速壽命試驗，并評估產品在正常使用應力水平S0下置信水平為γ、 可靠度為R 的壽命單側置信下限tRL，0，可以減小誤差，提高精度。

1.1 基于阿倫尼斯模型的加速系數

當溫度作為加速應力時， 加速方程通?？刹捎冒惸崴鼓Ｐ停从?/p>

式中，m 和C 為待定參數。 將式（3）代入可得

再將式（4）和式（5）代入式（2），求得加速應力水平S2對應力水平S0的小樣本加速系數為

1.2 基于逆冪律模型的加速系數

當電應力（電壓、電流、功率等）、載荷、濕度等作為加速應力時，其加速方程為

式中，m 和C 為待定參數。 將式（3）代入可得

根據式（2）和式（7），可以得到加速應力水平S2對應力水平S0的小樣本加速系數～ 為

1.3 基于指數模型的加速系數

電應力、 載荷作為加速應力， 有時也可采用指數模型，其加速方程為

式中，m 和C 為待定參數。 將式（3）代入可得

同樣，求得加速應力水平S2對應力水平S0的小樣本加速系數0為

在失效機理不變的前提下，加速應力水平S2應盡可能選得大一些，加速效果會更加明顯，而且在高加速應力水平下，產品更容易暴露其存在的缺陷和薄弱環節。加速應力水平S1也盡可能選得大一些，但應與S2有一定的差距，避免壽命分散性干擾加速應力水平S2對S1的加速系數τ～2～1。

2 可靠壽命和可靠度評估

2.1 基于阿倫尼斯模型的情況

當溫度作為加速應力時，由式（6）可知，產品在正常應力S0下置信水平為γ、 可靠度為R 的壽命單側置信下限由下式計算

式中

2.2 基于逆冪律模型的情況

當電應力、載荷、濕度等作為加速應力時，由式（9）可知，產品在正常應力S0下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側置信下限tRL，0仍由式（13）計算，此時

2.3 基于指數模型的情況

當采用指數模型作為加速方程時，由式（12）可知，產品在正常應力S0下置信水平為γ、 可靠度為R 的壽命單側置信下限tRL，0仍由式（13）給出，此時

根據置信限等同性原理可知，產品在給定應力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度單側置信下限RL，0也可以通過式（13）求得。 具體只需在式（13）中令tRL，0=t，并求解出相應的可靠度， 即為產品在給定應力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度單側置信下限RL，0，詳見下面兩節。

3 小樣本定時截尾加速試驗

設產品在應力水平S 下的壽命t 服從兩參數Weibull 分布

式中，α 為形狀參數，不隨S 變化；β（S）為尺度參數，是S的函數。

設有n 個試樣進行定時截尾試驗， 得到r 個失效數據t1，t2，…，tr，n-r 個未失效數據t0，則其置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR的單側置信下限為[2]

工程實際中，由于形狀參數α 通常未知，還不能直接用式（18）求得可靠壽命的置信下限。 但是在多數情況下能夠知道α≥α0，即形狀參數的下限α0已知（例如，對于鋁合金結構，α0=4； 鈦合金結構，α0=3； 鋼結構，α0=2.2）[3]。可以證明[2]，若給定的R 滿足

則置信水平為γ 的可靠壽命tR的單側置信下限為

即

3.1 加速系數

根據式（3）和式（22），求得加速應力水平S2對加速應力水平S1的加速系數為

式中，T1和T2分別是應力水平S1和S2下的廣義總試驗時間，可通過式（20）求得；r1和r2分別是S1和S2下的失效數，并且S1和S2下的試樣數n 和截止時間t0均相同。

將式（24）代入式（6）、式（9）和式（12），即可得到定時截尾試驗各加速方程下的加速系數。

3.2 可靠壽命置信下限

根據式（13），求得產品在正常應力S0下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側置信下限為

對于阿倫尼斯模型、逆冪律模型和指數模型，式中S*分別由式（14）～式（16）給出。

3.3 可靠度置信下限

根據置信限等同性原理，由式（25）可以求得產品在給定應力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度R 的單側置信下限

式中，S*分別由式（14）～式（16）給出。

4 小樣本定數截尾加速試驗

設產品在應力水平S 下的壽命t 服從式（17）給出的兩參數Weibull 分布。 現對n 個試樣開展定數截尾試驗，得到r 個失效數據t1≤t2≤…≤tr，剩余n-r 個試樣在試驗停止時間tr處仍未失效。 則該產品的置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR的單側置信下限為

同樣，形狀參數α 通常未知，但是其下限α0已有大量統計資料[3]。 可以證明，若給定的R 滿足

則置信水平為γ 的可靠壽命tR的單側置信下限為

即式（23）成立。

4.1 加速系數

根據式（3）和式（31），求得加速應力水平S2對加速應力水平S1的加速系數為

式中，T1和T2分別是應力水平S1和S2下的廣義總試驗時間，可通過式（29）求得；S1和S2下的失效數r 和試樣數n 均相同。

將式（32）代入式（6）、式（9）和式（12），即可得到定數截尾試驗各加速方程下的加速系數。

4.2 可靠壽命置信下限

根據式（13），求得產品在正常應力S0下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側置信下限為

對于不同的加速模型，S*分別由式（14）～式（16）給出。

4.3 可靠度置信下限

根據置信限等同性原理，由式（33）求得產品在給定應力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度R 的單側置信下限為

式中，S*分別由式（14）～式（16）給出。

5 其他情況

當產品壽命服從對數正態分布時，對于完全數據，可采用文獻[4]方法計算加速應力水平S1和S2下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側置信下限；對于截尾數據和不完全數據，可采用文獻[5]和文獻[6]方法計算置信水平為γ 的可靠壽命單側置信下限。

對于兩參數Weibull 分布且形狀參數下限α0未知，以及其他連續分布和數據類型的情況，均可采用文獻[5]和文獻[6]方法計算置信水平為γ 的可靠壽命單側置信下限。

6 算例

6.1 算例1

表1 給出了某產品在加速應力水平S1=450MPa 和S2=500MPa 下的壽命數據， 試驗截尾時間均為106循環。已知該產品的壽命服從兩參數Weibull 分布，取α0=3。 要求確定該產品在正常使用應力水平S0=150MPa 下置信水平γ=0.9、可靠度R=0.999 的壽命單側置信下限。

表1 某產品定時截尾加速壽命試驗數據

由于該試驗以載荷作為加速應力， 因此可采用逆冪律模型作為加速方程，根據式（15）和式（25），求得S0下置信水平γ=0.9、可靠度R=0.999 的壽命置信下限為

6.2 算例2

某航天零件需在40℃下連續工作15 年，經分析可知其關鍵失效模式為應力松弛， 當載荷損失率達到規定的閾值時，即可認為失效。為驗證該零件的可靠度能否滿足“R=0.999（置信水平為γ=0.9）”的指標要求，在180℃和220℃下分別投入一個試樣進行高溫應力松弛試驗。

雖然采用了高溫加速試驗，但是試驗至400h 時，試樣的退化量仍然較小。 此時，采用文獻[7]提出的冪函數退化曲線快速測試方法，外推得到180℃和220℃下的壽命分別為3770h 和960h。 已知該零件由高強度鋼制成，其壽命服從兩參數Weibull 分布，因此可取α0=2.2。 根據式（14）和式（34），求得40℃下15 年壽命的可靠度單側置信下限為

由此可知，該零件的可靠性能夠滿足指標要求。

7 結論

提出一種小樣本加速壽命試驗方法，只需在兩個加速應力水平下進行加速壽命試驗，即可對產品在正常使用條件下的可靠壽命和可靠度進行評估。 與傳統方法相比，可以節省大量試驗，并且對Weibull 分布、對數正態分布等任意連續分布以及完全數據、截尾數據、不完全數據均適用。

本文采用的加速系數因考慮了可靠度和置信水平的影響，所以在可靠性評估中可以有效提高精度。文中詳細討論了Weibull 分布定時截尾和定數截尾兩種工程上常見的加速壽命試驗，給出了加速系數、可靠壽命和可靠度單側置信下限公式。對于加速退化試驗，當試樣在加速應力水平下長期試驗仍然不失效時，可以結合文獻[7]或文獻[8]方法進行快速測試。

文中討論了工程上常見的三種加速模型， 對于其他加速模型本文方法也同樣適用。 特別是對于應力水平與壽命在雙對數坐標系或半對數坐標系中并非線性關系，而是呈現出先快速下降再緩慢下降的“先快后慢”規律的情況， 可直接采用文中方法和三個加速模型進行可靠性評估，且結果偏于保守，工程上安全可用。