余數不同，結果就不相同？

馬迎雪

摘要：對于數學教材中的知識，無論學生還是老師，都應該對其深度挖掘，追求知識本質，不應局限于課本本身。在學習知識的過程中要善于利用教學思想把知識連點成線，建構屬于自己的知識結構，進一步提高數學學習能力。

關鍵詞：本質?深度挖掘?過程?思想?能力

學習了“商不變的規律”（蘇教版四年級上冊）后，學生出現了較大面積的理解誤區：200÷30=20÷3=6……2或者200÷30>20÷3。這種情況立刻引起筆者的重視和研討的興趣。為了調查全班的理解狀況，筆者在班級進行了一次針對性問答。

對于算式200÷30=6……20，20÷3=6……2，

調查顯示，大部分四年級的孩子認為余數不相等，結果就不相等。

而五年級學生不再輕易地被表面的結果迷惑，幾乎所有學生都認定余數不同只代表沒有充分地平均分，充分平均分后的結果是一樣的，就是那個小數結果。隨著學習的深入，學生在解決問題時有了更多的思考方式，當不同方法呈現的表象不一樣時，學生會換個角度思考，綜合理解。

在與五年級學生的交流過程中，四年級關于余數的思想誤區已經消除。從除法的本質平均分入手，有余數說明有剩余的部分沒有充分地平均分，如果繼續平均分呢？用此方法跟四年級學生分析時，學生也是豁然開朗。

在班級較大面積出現理解誤區并對該誤區進行調查、解決的過程中，筆者引發了幾點關于課堂教學的思考。

一、追求知識本質，規避表面誤區

學生產生余數不同、結果就不相同的誤解，歸根結底還是因為沒有重視知識的本質，沒有養成從本質入手去思考問題的習慣。其實，無論課堂上，還是習題中，學生都能很快判斷什么情境用除法，也知道除法包含平均分和除。但在這個余數問題中，學生似乎把目光都放在余數上，完全忘記了這是除法中產生的余數，更別說從平均分的角度來思考問題。

面對每一個新接觸的數學知識，學生需要充分經歷知識的產生和發展過程，才可以把新接觸的知識納入自己的知識系統中。比如，本文的案例中的除法可以說是四則運算中最抽象的運算，這就要求學生在第一次接觸除法時，充分經歷“平均分”的過程，知道分的是什么、怎樣平均分、分的結果又是怎樣的，加深對除法本質的認識。這樣，學生面對類似問題時，才能及時從潛意識中調動出相應的知識本質并進行思考，這樣就不易受到年級、知識廣度的限制。

追求公式、定理、題海的數學時代已經過去，義務階段更是注重對知識的追根溯源及追源過程中建立的數學素養。這顯然對學生尤其是老師提出了更高的要求。要使學生獲得一顆珍珠，老師必須擁有一串項鏈，要求學生養成從知識本質思考的習慣。老師必須對每一個知識的來龍去脈了如指掌，而且還要善于洞察學生對每個知識的關鍵點、困難點的把握，并及時引導突破。比如：本文圍繞的案例出自“商不變的規律”，進行教學時，老師就可以從不同角度闡釋知識本質。書上是利用歸納推理的方式，從三個算式的對比中找到變與不變：變化的是被除數和除數乘或者除以的數值，不變的是施加于被除數和除數的運算同時進行，而且商不變。進而歸納出商不變的規律。那除此之外，還有其他的理解方式嗎？比如，放入具體情境中：“帶20元買筆記本，3元一個，可以買幾個”這個問題和“帶200角買筆記本，30角一個，可以買幾個”一樣嗎？情境代入的方式似乎更能讓學生理解“商不變的規律”，而且也為進一步理解余數的變化提供了很好的思想土壤。

二、提高推理能力，抓住培養關鍵期

在調查五年級時，發現學生雖然會有短暫的思考停頓，但是很快就得出雖然余數不相等，但是得數依然相等的結論。學生盡管已經有了小數除法的理論基礎，但是沒有停止思考，而是用小數除法的知識得出肯定結論后，反過來思考為什么會出現余數不同的表象，一步步想到為什么會出現余數，深層次思考除法的本質，這個問題就不攻自破了。這一切都得益于學生有一定的推理能力。而對比中明顯可以看到四年級學生推理能力的不足。小學生思維能力的發展是有一定規律的，其中四、五年級是推理能力發展的關鍵期。雖然數學課程標準中沒有明確給出推理能力的定義，但是可以通俗地理解為“學生思考‘為什么是這樣，然后一步步‘因為……所以……的思維過程”。所以老師應該抓住培養關鍵期，有意識培養學生的推理能力，上課多設計有效的核心問題及問題串，組織學生思考“為什么”。

其實數學課程本身就包含很多培養推理能力的內容，比如商不變的規律，就能培養學生歸納推理能力，這是從特殊到一般的推理。對該內容進行教學時經常出現這樣有意思的現象：通過對比式子大部分學生得出的結論是“被除數和除數同時乘2，商不變;被除數和除數同時乘4，商不變……”結論傾向于就題論題。而只有少部分同學可以得出比較有概括性的結論：不管被除數和除數同時乘幾，商都不變。所以，如何通過課堂教學的組織，實現全班學生從特殊到一般的思想飛躍，再進而驗證推理的嚴謹性、完善推理等，對學生和老師都提出了更高的挑戰。

對學生能力的培養和加強應該融進課程本身，老師要深入思考學生和課堂的結合點，提高課堂質量，聚焦素養培養。

三、深度挖掘教材，拓寬思維視角

學習商不變的規律是通過具體的計算、表格填寫，而后對其歸納推理，進而得出結論。這個知識點本身并不難，但是容易造成什么都不變的假象。就像剛開始問學生“200÷30=20÷3成立嗎”，學生都回答成立，因為懂得商不變的規律。其實學生這時根本就沒有認識到雖然結果是相等的、商是不變的，但是余數是會變化的事實，更不會認識到余數不僅有變化，而且也是有規律的。因此在教學中，老師有必要深度挖掘教材，拓寬思維角度。

在教學中，商不變的規律是否可以升級為2.0版本：商不變、余數變化的規律？在設計表格時，除了被除數、除數、除法算式和商，增設余數一欄，通過同樣的推理方式，得到2.0版結論：被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變，但是余數會變，余數隨被除數或除數變化，也要乘或除以這個相同的數。其實這個設計老師肯定不陌生，因為它正好出現在課后練習中，但是這個問題是不是可以滲透到新課程的學習中呢？各位老師可以進行思考。甚至可以拓展出更多的版本：商隨被除數變化的規律、商隨除數變化的規律等等。

知識和思維的延展對學生來說是有必要的，但是更重要的是通過這種方式，讓學生了解到書本上的知識是有限的，而在知識學習的過程中感悟收獲的思維和能力卻是無限的。學生可以從不同知識內容的學習中感受到相同的思維方式和知識本質，比如：“小數點向右（左）移動引起小數大小變化的規律”（蘇教版五年級上冊）學習中同樣應用到了歸納推理，“小數除以小數”（蘇教版五年級上冊）轉化時亦用到了商不變的規律等等。學習時，學生對相同的數學思路又進行了一次調用和鞏固，并且通過相同思維方式的牽引，把看似不同的知識點連成線，建立自己的知識體系，進一步增強了學習數學的能力。

作為老師，針對平時教學中出現的問題，及時反思，改進教學，應該成為常態，并以此激勵自己：學生引領，讓課堂更有質量。

責任編輯：黃大燦?趙瀟晗