一節會生長的數學課

李國良

【摘要】數學課程標準在實施建議中指出：數學教學要密切關注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都能得到充分的發展。因此，教學時給學生搭建一個有差異的“腳手架”，讓不同的學生能在自己的最近發展區內學到知識、發展能力。本文通過對雞兔同籠問題前概念的調查，運用有差異的學習單——智慧卡A、B、C，讓三類不同的學生通過尋求不同的解決問題的方法來理解方法之間的聯系，最終使每一類學生在原有基礎上得到提升，實現新知識學習的因材施教。

【關鍵詞】生長 差異 研究

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學課程應致力于實現義務教育階段的培養目標，要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。這給數學課堂教學提供了啟示，在教學中教師要尊重每一個學生的個性差異，讓他們在原有認知基礎上得到提升。

人教版數學四年級下冊“雞兔同籠”問題的教學內容，共安排了1個例題、10個練習題。教材從名著《孫子算經》記載的題目引入：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？在考慮學生認知的基礎上把題目中的數量適當地變小，改變成：上有8個頭，下有26只腳，雞兔各有幾只？隨后，教材通過列表和假設法來解決這個問題，在閱讀資料板塊中還介紹了“抬腳法”。在實際的教學中筆者還發現：一是“雞兔同籠”問題由教師分別在一至三年級作為拓展性內容演繹，每一個年級所用的方法不盡相同;二是除上述方法外，教師在其他年級中還采用畫圖法、砍足法、方程法、數形幾何等方法來解決。筆者認為，“雞兔同籠”問題之所以經典，其奧秘就在于此！

一、不同年級學生認知調查

不同年級的教學，均應尊重學生的認知規律。因此，我們認為可以對一至四年級學生進行“雞兔同籠”問題的前認知調查，了解學生能否在系統學習這一內容時全面構建多種方法及溝通各種方法之間的聯系。

1.調查內容的擬定與思考

筆者針對不同年級學生的認知水平和不同的解決問題的方法擬定了三份調查卷，其中一、二年級的前3題為選擇題，三、四年級的前2題為選擇題。我們對這些問題按思維層次的四級水平進行了分類。

一級思維層次里三份調查卷均為同一個題目，主要是學生是否知道“雞兔同籠”這樣的數學問題或生活現象，了解學生的課外閱讀及家庭教育情況。

二級思維層次中的兩個題目屬于常識性調查，一、二年級的學生只要知道1只兔與1只雞分別有幾只腳，然后進行簡單的加法;而三、四年級的學生考慮到學習水平，題目稍有變化，也就是雞與兔的只數的變化引起腳變化的規律。

三級思維層次的題目有所不同，一、二年級選用了三、四年級二級思維的題目，而三、四年級三級思維層次與四級思維層次進行了整合，采取同一個題目，但三年級有提示性的解題方法，四年級僅出示題目，要求學生用多種方法進行解答。這樣設計主要是為了了解不同層次的學生在思維上有怎樣的差異。

四級思維層次的一、二年級題目讓學生通過畫一畫的方法來解答雞兔同籠問題，了解學生能否正確地畫出雞和兔的只數，這里的缺陷就是只呈現結果，沒有呈現畫的過程，一只腳畫與兩只腳一起畫所體現出的思維水平有著明顯的差異。

2.調查結果的統計與思考

本次調查，我們采取無記名、無暗示、15分鐘內獨立完成的形式進行，調查對象選定了城區兩個學校的學生，其中一、二年級學生共計568人，三年級學生362人，四年級學生341人。對于調查結果，分別進行了梳理與統計（見表1、表2）。

從上述統計中我們可以發現：

一是學生了解雞兔同籠問題到三年級已有近70%，雞與兔腿的只數及其變化在一、二年級也不存在較大的問題。因此，這給雞兔同籠問題的教學提供了依據，在用畫圖、列表及計算方法解決問題的過程中均需要雞與兔只數的變化引起腳只數的變化的規律。

二是從一、二年級畫圖解答（正確率68.8%）到三、四年級多種方法解答，我們認為學生到了四年級已經具備用不同的方法解決雞兔同籠問題的能力。在統計中發現三年級解答的方法要多于四年級，其中三年級用一種方法解答的有183人，用兩種方法的有95人，用三種方法的有14人;而四年級用一種方法解答的有230人，用兩種方法的只有45人，用三種方法的僅2人。究其原因，筆者認為三年級的解答時給予了提示：用畫圖、列表、計算等方法;而四年級的題目相對開放，在統計表可以清晰地看出，四年級大部分集中在用計算的方法解決，三年級三種方法相對均勻。因此，對于不同的學生提供一定的“腳手架”是需要的，讓學生在自己的最近發展區里得到進步，這也為實施差異教學提供了現實的依據。

二、運用差異教學的實踐研究

1.對差異教學的認識

我們認為，差異教學是在班集體教學中立足學生差異，滿足學生個別化需要，促進學生在原有基礎上得到充分發展的教學。它分別關注著某類學生的學習需求，既看到學生的學習共性也看到學生的學習差異并且尊重學生的認知、心理等差異情況。

在大班級授課制的情況下，教師也較為重視對學生的因材施教，但往往比較強化在鞏固練習的環節中進行有分層化的教學，設置一些闖關題、層次性思維題，而忽視在新知識的研究過程中實施有差異的教學，這樣使部分在學習上有困難的學生在新知識的學習過程中存在著欠缺，造成思維的斷層。因此，在新知識的探究過程中需采用差異教學的方法與手段使人人學到不同的數學，最終達到共同發展。

2.設計有差異教學的內容

按常規的分法，班級中學生的思維水平一般有3個層次，即好、中、差，對應的學生就是優等生、中等生、學困生。因此，我們針對這三類學生運用智慧卡的形式設計三個層次的題目（見表3），每個智慧卡均由兩個小問題組成。

智慧卡A，它面向全體學生但主要針對學困生，第一題讓學生通過動手操作來畫出雞兔各有幾只;而第二個問題主要在畫的過程中想一想如何可以比較優化快速地得到雞兔各幾只，也滲透著假設的思想。智慧卡B，它面向前的學生，主要針對中等生，讓學生通過湊的方法（列表的雛形）來得出雞兔各幾只，同時在湊的過程中思考如何能有效地湊出雞兔各幾只，如全部假設成兔或雞，也可以“中間開花”，逐步體驗到雞兔只數的變化引起腳只數的變化的規律。智慧卡C，是思維層次最高的題目，直接讓學生通過算的方法得出雞兔各幾只，并讓學生思考如何向其他的同學解釋清楚。這里不僅要會算還要會說，而且表達得讓全班同學明白其中的意思。

在教學實踐的過程中，我們讓學生根據自身的能力與水平選擇一張智慧卡進行解答，當然學生選擇了其中一張智慧卡解答后，還可以選擇其他的智慧卡進行探究。這樣不僅讓學生有多元選擇的機會，體驗到不同方法之間的聯系，同時對自己也有一個充分的評價與激勵，逐漸幫助學生提高學習數學的積極性。

3.實施有差異的教學

基于對學生的認知基礎的調查，我們認為本節課可以讓學生充分體驗用不同的方法來解決雞兔同籠問題，在不同的方法中尋找相同點，實行方法之間的溝通和不同思想（數形結合思想、枚舉思想、假設思想、方程思想）的有機整合。

環節一：結合認知基礎，尋找差異方法來解決問題

課始，課件出示雞兔同籠問題的古典題目（如圖1），組織學生理解題意并進行解讀：雞和兔在同一個籠子里，上面數頭有35個，下面數腳有94只，問雞和兔各有多少只？根據解決復雜問題需要從簡單問題入手這一原則，筆者出示本節課重點要研究的核心題目：籠子里有若干只雞和兔，上面數頭有6個，下面數腳有20只，雞和兔各有多少只？隨即出示研究建議和智慧卡A、B、C（如表3），組織學生選擇其中一張智慧卡進行解決，解答后可以再選擇其他智慧卡進行研究，比較解答的方法有什么區別和聯系。

筆者認為，本環節設計較為簡潔，又指向課堂的核心問題，旨在讓學生從有趣、復雜的數學問題中運用簡單的方法來尋求解決問題的路徑，根據自己對題目的解讀能力選擇其中一種或者兩種方法嘗試解決，尊重了學生的認知差異與學習能力。

環節二：運用不同方法，尋求差異理念下的共同提升

利用不同的智慧卡解決問題后，需進行集體反饋，以便讓每一個學生知道其他同學運用了怎樣的方法來解決，讓差異學習的思想進行無痕的滲透。

組織學生匯報智慧卡A，出示學生畫的圖（如圖2），讓學生說說是怎么畫的。

生1：先把所有的雞畫出來，雞有2條腿，發現腿少了，所以我又補了8條腿，就是雞有2只，兔有4只，剛好是20條腿。

生2：先把所有的兔畫出來，因為兔有4條腿，多了4條，也就是每只兔要擦去2條腿，兔有4只，雞有2只。

師：請大家想一想，用畫圖方法的這些同學怎樣向我們解釋清楚是怎么畫的？有沒有什么好的方法？

生3：先畫雞，每只雞2條腿，就是12條腿，發現少了8條腿，而1只兔是4條腿，比雞多2條腿，所以在每只雞上添上2條腿，就是兔的只數4只。

生4：如果先畫兔，每只兔4條腿，這樣是24條腿，發現多了4條腿，而1只雞比兔少2條腿，所以每只兔擦去2條腿，就是雞的只數2只，剩下的兔就是4只。

師：這兩種方法有什么共同點？

……

接著，集體交流智慧卡B的解答情況。先讓學生們想一想采用湊的方法來解答的同學們是怎么來湊的。隨后，選擇智慧卡B的學生上臺講解自己是如何快速地解答出雞和兔的只數。

生1：先假設全部是雞，就是6只雞0只兔，雞有12條腿，兔的腿是0條，共有腿12條，少了，再假設雞4只，兔2只，雞的腿是8條，兔的腿是8條，合起來16條，發現還少4條;因為少1只雞多1只兔，腿的只數會增加2條，還相差4條腿，最后再假設雞有2只，兔有4只，腿剛好是4+16=20條。

生2：先假設全部是兔，6只兔0只雞，兔有24條腿，共有腿24條，多了4條;因為雞與兔相差2條，再假設兔少2只，就是4只兔，雞有2只，腿剛好是4+16=20條。

生3：先假設3只兔和3只雞，兔有12條腿，雞有6條腿，發現腿少了2條，那就兔變成4只，雞變成2只，剛好是20條腿。

師：這三種方法有什么共同點？

……

教師在此基礎上，歸納出“湊”的方法其實是用列表的方法來解答雞兔同籠問題。

最后，交流智慧卡C的解題方式。交流前讓選用智慧卡A、B來解決問題的學生說說可以怎樣列式計算，讓他們從畫圖和列表兩種解題的路徑中尋找如何假設雞或兔來尋求答案，在列出算式（20-6×2）÷（4-2）或（6×4-20）÷（4-2）進行解答的基礎上，說說每一個算式中的每一步所表示的意思，并研究兩種方法之間的異同點。

我們認為，選擇智慧卡A、B、C來解答問題只是一種形式，是為不同的學生搭建一個支架來尋求解決問題的方法，而采用滾動式的方法進行匯報與交流，可以讓每一個學生在同伴的幫助下理解每一種方法，實現在差異教學的理念下的共同發展。

環節三：基于相同思想，探索知識的延伸

筆者認為，上述三種是解決雞兔同籠問題的常見方法，看似路徑不同，其本質思想是相同的。通過思考畫圖、列表、計算這三種方法之間的聯系與區別，從而揭示它們之間均滲透了假設的思想。

要充分感悟假設這一思想可以進行適當的知識延伸，對五年級用方程和七年級用二元一次方程來解決進行適度的研究。在教師的引導與討論下，出示五年級和七年級的解題方法：假如兔有□只，那么雞有（6-□）只，腿的條數就是4×□+（6-□）×2=20只;如果兔有□只，雞有○只，那么□+○=6，4×□+2×○=20只。隨后，揭示這兩種方法與前三種方法的聯系，進一步滲透假設思想。

在“互聯網+”的教育大背景下，讓學有余力的學生接觸深層次的知識是必要的，也是可行的，能使他們在原有知識建構的基礎上實現結構化的學習，進一步理解知識的來龍去脈及知識背后的數學思想與方法。

多元智能理論指出：人的智能有八個方面，每個人在每個智能領域有著一定的差異。數學教學應充分尊重這種差異，根據智能的優勢和劣勢選擇最適合學生個體的方法。因此，筆者依據這一教學理念，充分關注學生個性差異，借用于智慧卡A、B、C給學生搭建學習的平臺，讓不同的學生在解決雞兔同籠問題的過程中能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略，使每一個學生不僅在知識上得到生長，而且在學習的方式、方法與策略上得到充分的發展。