具有范數(shù)連續(xù)性與絕對緊性的雙參數(shù)有界算子C群的擾動

楊雯雯，龐芙蓉，徐小玲

(1.延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，716000，陜西，延安；2. 延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，716000，陜西，延安；3.延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院，710000，西安)

0 引言

定義1：在空間X上,若雙參數(shù)有界線性算子簇{S(s,t)}s,t∈R滿足以下條件：

1)S(0，0)=C；

2)CS((s1,t1)+(s2,t2))=S(s1,t1)S(s2,t2),?s1,s2,t1,t2∈R；

3) 映射(s,t)→S(s,t)x強(qiáng)連續(xù)，?s,t∈R;?x∈X。

則稱{S(s,t)}s,t∈R為雙參數(shù)有界算子C群。

定義2：雙參數(shù)有界算子C群{S(s,t)}s,t∈R的無窮小生成元是線性算子L:R2→B(X)，定義為：

定義3：在空間X上，若雙參數(shù)有界算子C群{S(s,t)}s,t∈R，滿足

則稱雙參數(shù)有界算子C群{S(s,t)}s,t∈R是范數(shù)連續(xù)的或具有范數(shù)連續(xù)性。

定義4：在空間X上，若?(s,t)∈R2時，雙參數(shù)有界算子C群{S(s,t)}s,t∈R都是緊的，則稱雙參數(shù)有界算子C群{S(s,t)}s,t∈R是絕對緊的或具有絕對緊性。

引理1：以下2個條件等價：

S(s,0)S(0,s)x=S(0,s)S(s,0)x。

由雙參數(shù)有界算子C群的定義得：

下證{T(s,t)}s,t∈R是范數(shù)連續(xù)的。

故定理得證。

故定理得證。