板的局部屈曲及屈曲后極限承載力分析

肖軍 叢磊 王海城 郭湘

摘要：板的局部屈曲受截面類型控制，Eurocode規(guī)范根據(jù)板的局部屈曲的情況劃分了四種截面，其中截面類型I～I(xiàn)II的承載能力由于構(gòu)件整體失穩(wěn)而降低，類型IV截面承載能力因板的局部屈曲而削弱。針對(duì)類型IV截面，板的屈曲臨界荷載及最大極限荷載進(jìn)行了算例計(jì)算。研究表明：①受壓板首先發(fā)生局部屈曲，在屈曲區(qū)域退出工作后，外部框架繼續(xù)承載直至材料屈服;②屈曲后最大極限荷載較屈曲臨界荷載提高約36%;③考慮加勁肋的板的極限承載力較無加勁肋的板有較大程度的提高。

Abstract： The local buckling of the plate is controlled by the type of section. The Eurocode proposes four sections according to the local buckling of the plate， of which the bearing capacity of the type I～I(xiàn)II is reduced because of the global buckling， and the bearing capacity of type IV section is weakened by the local buckling of the plate. The buckling critical load and the maximum ultimate load of the type IV section plate are calculated. The research shows that： ①the local buckling of the compression plate is first occurred， and the external frame continues to bear until the material yield after the buckling region exit;②the maximum ultimate load after buckling is about 36% higher than that of the critical buckling load;③the ultimate bearing capacity of plates considering stiffeners is greatly improved compared with those without stiffeners.

關(guān)鍵詞：受壓板;局部屈曲;屈服;極限荷載

Key words： compression plate;local buckling;yield;ultimate load

中圖分類號(hào)：U442 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1006-4311（2020）15-0145-04

0 ?引言

屈曲是一種不穩(wěn)定的現(xiàn)象，當(dāng)寬厚比較大的薄壁板（平的或者彎曲的都有可能）承受軸向壓力（即壓縮）時(shí)，就有可能發(fā)生這種現(xiàn)象[1]。在一個(gè)特定的臨界荷載下，板有可能在橫向面外方向突然失穩(wěn)。如果結(jié)構(gòu)單元夠粗壯，則其承載能力是由材料的屈服強(qiáng)度所控制，而不是屈曲強(qiáng)度。相反，如果結(jié)構(gòu)長(zhǎng)細(xì)比較大或者是薄壁結(jié)構(gòu)，屈曲強(qiáng)度由所謂的長(zhǎng)細(xì)比所控制——屈曲長(zhǎng)度與圓柱或者支柱整體失穩(wěn)的回轉(zhuǎn)半徑之比，或者加載寬度與板局部屈曲的厚度之比。板的屈曲與受壓柱或桿的整體失穩(wěn)正好相反，也不同于梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，板的局部屈曲有一種屈曲后的承載能力，即使得屈曲后進(jìn)一步承載成為可能。一塊內(nèi)部超靜定的板，在屈曲后不會(huì)馬上發(fā)生崩潰，反而會(huì)達(dá)到一個(gè)更高的加載水平[2～4]。

一種增大長(zhǎng)細(xì)比較大且薄壁形式板的承載力的方法是借助于加勁肋，它能最小化受壓區(qū)的自由間距。薄板梁橋，或者船體主要在縱向和橫向上進(jìn)行加強(qiáng)，以提高其承載能力。倘若加勁肋足夠強(qiáng)，板的屈曲就會(huì)被限制在加勁肋之間的區(qū)域。這些被加勁肋分隔開的板的最大承載能力取決于板的局部屈曲的同時(shí)，還應(yīng)考慮板的屈曲后效應(yīng)。

本文首先介紹歐規(guī)關(guān)于四種截面類型的分類，而后以未考慮加勁肋的板的屈曲臨界荷載和最大極限荷載的對(duì)比分析來說明板的屈曲后強(qiáng)度儲(chǔ)備，同時(shí)對(duì)比不考慮和考慮加筋的板的屈曲臨界荷載及屈曲后最大極限荷載分析來說明加勁肋對(duì)板的穩(wěn)定性的影響。

1 ?四種截面類型

Eurocode規(guī)范[5]根據(jù)局部屈曲的情況劃分了4種截面類型。區(qū)別各種截面類型的參數(shù)主要是各個(gè)構(gòu)件的寬厚比。寬厚比的大小決定了塑性轉(zhuǎn)動(dòng)的能力，對(duì)于承受彎矩的主梁也就是其受拉側(cè)伸長(zhǎng)，另一側(cè)壓縮（有屈曲的可能）的能力。Eurocode規(guī)范規(guī)定的4種截面類型針對(duì)的是如下定義的受彎梁的情況。極限狀態(tài)下最大的可能承載能力是由如下條件所決定（其中下標(biāo)c表示最大承載能力取決于承受壓應(yīng)力的能力，即考慮局部屈曲的情況）：

（1）

1.1 類型I

截面足夠的粗壯（足夠小的寬厚比或者良好的塑性轉(zhuǎn)動(dòng)能力）以至于有可能在超靜定結(jié)構(gòu)中形成一個(gè)塑性鉸裝置以平衡掉極限狀態(tài)的彎矩差異，全截面高度全部塑化，如圖1所示。

1.2 類型II

截面粗壯，但是不足以在超靜定結(jié)構(gòu)中形成塑性鉸裝置。設(shè)計(jì)彎矩的分布與彈性響應(yīng)一致。然而，縱向彎矩最大的區(qū)域可以設(shè)計(jì)成在全截面高度全部塑化，這與類型I的截面形式是一致的。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)體系，類型I和類型II是沒有區(qū)別的，如圖2所示。

1.3 類型III

截面可以定義為半粗壯，在受壓側(cè)由于局部屈曲僅能發(fā)生部分塑化。如同截面類型II，設(shè)計(jì)彎矩分布與彈性響應(yīng)一致，區(qū)別在于最大應(yīng)變區(qū)域應(yīng)力分布呈三角形，如圖3所示。

針對(duì)不對(duì)稱的截面形式（類型III），例如，較寬的受壓翼緣（較受拉翼緣），有可能在受拉側(cè)發(fā)生屈服;然而，受壓側(cè)的應(yīng)力限值受制于最外側(cè)纖維的屈服強(qiáng)度。當(dāng)截面的腹板屬于類型III截面，并且受壓翼緣屬于類型I或者類型II任一種時(shí)，Eurocode認(rèn)為此時(shí)的截面屬性是基于截面類型II的作用，即全截面屈服，但是在承受壓力的腹板中心部分，這種性質(zhì)（即全截面屈服）是被忽略的。

1.4 類型IV

截面是薄壁的，即寬厚比很大以至于屈曲會(huì)在最外層纖維達(dá)到屈服前發(fā)生。屈曲后儲(chǔ)備效應(yīng)使得最外層纖維在設(shè)計(jì)極限狀態(tài)下達(dá)到屈服。在截面發(fā)生部分屈曲并退出工作的情況下（屈曲區(qū)域喪失剛度），截面應(yīng)按照有效凈截面積加以分析，如圖4所示。

對(duì)于純壓柱體或者支撐桿件，截面類型I～I(xiàn)II的承載能力由于構(gòu)件整體失穩(wěn)（歐拉失穩(wěn)）而降低。除此之外，在類型IV截面形式中，承載能力還會(huì)因?yàn)榘宓木植壳魅酢１疚膶⒅饕槍?duì)截面類型IV進(jìn)行板的屈曲分析和屈曲后承載力分析。

2 ?板的屈曲及屈曲后承載力分析

2.1 板的屈曲臨界荷載

受壓板示意如圖5所示，其翹曲后中面的撓曲方程為[6，7]：

（2）

式中：，為單位寬度板的抗彎剛度;w為板中面的撓度。

式（2）的通解為：

（3）

式中：m—x方向板翹曲的半波數(shù)目;

n—y方向板翹曲的半波數(shù)目;

a—板的長(zhǎng)度;

b—板的寬度;

Cmn—待定系數(shù)。

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支板，當(dāng)n=1且令α=a/b時(shí)，得到板的臨界屈曲應(yīng)力為：

（4）

其中，k為屈曲影響系數(shù)，，其隨著應(yīng)力分布的形式和板的長(zhǎng)寬比（a/b）而變化（不同長(zhǎng)寬比下的k的取值見圖6所示）;b/t表示板的寬厚比。

2.2 算例分析

與壓桿不一樣，板的力學(xué)性能展示了一種內(nèi)部超靜定特性：在板屈曲以后還可以內(nèi)力重分布。其最大的承載能力由更為剛性的區(qū)域因其達(dá)到屈服強(qiáng)度fy而控制，這是由馮·卡門在1932年提出來的[8]。

接下來，分別對(duì)不帶加勁肋的板和帶加勁肋的板的屈曲臨界荷載及最大極限荷載進(jìn)行分析。

算例I：四邊簡(jiǎn)支的不帶加勁肋的板。板的寬度為500mm，長(zhǎng)度2000mm，厚度6mm，見圖7所示。鋼材性能：屈服強(qiáng)度fv=275MPa，E=210GPa，μ=0.3。

假定截面類型屬于類型III，則板的寬厚比應(yīng)滿足：，然而實(shí)際的寬厚比：，因而截面類型屬于類型IV。

由于？叟1，取k=4，則臨界屈曲應(yīng)力為：

屈曲臨界荷載為：

采用Abaqus有限元程序計(jì)算得到其一階屈曲臨界荷載為321.0kN，屈曲模態(tài)見圖8所示。

綜上所述，根據(jù)經(jīng)典理論，板將在超過33t的壓力作用下才屈曲（即所謂的屈曲分叉點(diǎn)）。然而，由于初始缺陷和殘余應(yīng)力的存在，真實(shí)的屈曲荷載將會(huì)低于計(jì)算荷載。

然而，當(dāng)板發(fā)生屈曲后，屈曲的區(qū)域退出工作，應(yīng)力發(fā)生重分布而轉(zhuǎn)移到外側(cè)未屈曲的板條上，如圖9所示。

根據(jù)馮·卡門假設(shè)，研究一塊板的屈曲后強(qiáng)度，需要給出更為剛性的區(qū)域的有效寬度。

折減系數(shù)ρ為：

有效寬度為：

在獲取有效寬度后，板的極限承載力為：

同樣地，采用Abaqus首先進(jìn)行屈曲模態(tài)分析，而后引入不同程度初始缺陷并考慮彈塑性，分析得到不同初始缺陷下板的最大極限荷載如圖10所示。

由圖10可見，最大承載能力從屈曲荷載的約33t（甚至更低）增長(zhǎng)到最小約45t，與馮·卡門理論得到的計(jì)算值吻合較好。由此可見，屈曲后儲(chǔ)備強(qiáng)度較屈曲臨界荷載至少增長(zhǎng)了大約36%。

算例II：在算例I板上橫向間隔500mm設(shè)置一道加勁肋，縱向在板中心位置處設(shè)置一道加勁肋，如圖11所示。

如果僅考慮橫向加勁肋（如圖11a），由于加勁肋將板等分成4個(gè)等大的矩形單元，因而每一塊嵌套版的長(zhǎng)寬比都是a/b=1，這將不會(huì)改變板的臨界屈曲荷載——屈曲相關(guān)系數(shù)k，仍舊為4。對(duì)于這些無加勁肋的板，屈曲將會(huì)在這些矩形的嵌套板中形成，無論是否存在加勁肋，如圖12所示。

如果加勁肋布置得更密一些的話，嵌套板的長(zhǎng)寬比a/b就會(huì)小于1，這將會(huì)使得屈曲系數(shù)k增大。同樣地，其極限荷載也等同于無加勁肋的情況。

如果在考慮橫向加勁肋基礎(chǔ)上考慮縱向加勁肋（如圖11b所示），在屈曲分析基礎(chǔ)上考慮不同的初始缺陷分析得到對(duì)應(yīng)的極限荷載如圖13所示。

由圖13可見，由于考慮了縱向加勁肋，板的極限承載力較無加勁肋的板提高了約50%。

3 ?結(jié)語

本文在介紹Eurocode關(guān)于板的四種截面類型基礎(chǔ)上，針對(duì)截面類型IV板的屈曲臨界荷載及最大極限荷載進(jìn)行了分析對(duì)比，得到以下結(jié)論：

①受壓板首先發(fā)生局部屈曲，在屈曲區(qū)域退出工作后，外部框架繼續(xù)承載直至材料屈服; ②屈曲后最大極限荷載較屈曲臨界荷載提高約36%;③考慮加勁肋的板的極限承載力較無加勁肋的板有較大程度的提高。

綜合而言，在由板所組成的結(jié)構(gòu)中，選擇一種在任意局部屈曲前就完全塑化的截面形式是不經(jīng)濟(jì)的，在薄壁結(jié)構(gòu)中應(yīng)該盡量考慮板件屈曲后的強(qiáng)度儲(chǔ)備;同時(shí)，應(yīng)當(dāng)設(shè)置適當(dāng)?shù)募觿爬咭蕴岣甙宓那R界荷載和最大極限荷載。

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[8]Von Karman. The Strength of Thin Plate in Compression[J]. Trans Asme， 1932， 54.

收稿日期：2020年3月10日。

基金項(xiàng)目：湖南省交通運(yùn)輸廳科技項(xiàng)目（編號(hào)：201615）。

作者簡(jiǎn)介：肖軍（1987-），男，四川廣安人，工學(xué)博士。