含完全數的非線性方程φ(mn)=4φ(m)+7φ(n)+28的解

阿克木·優力達西

（喀什大學 數學與統計學院，新疆 喀什 844008）

Euler函數φ(n)是數論中一個重要的函數，有著廣泛的應用．關于包含Euler函數φ(n)的不定方程整數解，文獻[1-5]討論了形如φ(mn)=k1φ(m)+k2φ(n)的線性方程的可解性；文獻[6-11]討論了形如φ(mn)=k1φ(m)+k2φ(n)+b的非線性方程的可解性．本文討論包含完全數的方程

的可解性.

引理1[12]229對于任意正整數m與n，若，則.

引理2[12]228對于任意正整數m與n，有，其中：d=g cd(m,n)．

引理3[12]225當m≥3時，φ(m)為偶數．

定理方程（1）有正整數解（m,n）=（15,61），（15,77），（15,122），（15,124），（15,154），（16,61），（16,77）,（16,93）,（16,99）,（20,61）,（20,77）,（20,93）,（20,99）,（24,61）,（24,77）,（30,61）,（30,77）,（5,47）,（8,47）,（10,47）,（12,47）,（5,94）,（15,21）,（15,36）,（15,42）,（24,21）,（30,21）,（12,92）,（15,25）,（15,50）,（20,25）,（30,25）．