沙堡最佳形狀持續時間研究

呂佩玨 王浩然 王子淳 北京理工大學

1 . 引言

兒童和藝術家喜歡用沙子建造城堡。不可避免地，海浪的流入加上漲潮會侵蝕沙堡。因此，我們需要構建一個數學模型，以確定用作沙堡基礎的最佳3 維幾何形狀，確定最佳的沙水混合比，在下雨時調整模型，使用其他策略來延長沙堡的使用壽命，撰寫一篇描述模型及其結果的文章。

2 . 侵蝕模型

2.1 基本模型

(1）模型的基礎

首先，我們分析了波浪對砂堆的沖蝕作用，使每單位時間在所有區域損失的砂的重量為M。根據水力知識，在礫石類型與坡度相同的條件下，水不可避免地會消耗一部分能量來去除沙子，也就是說，水確實在沙子上起作用，這意味著兩者是成正比的，下面的公式（1）（2）反映了這種聯系。

其中y 是水的密度，h 是水的深度，U 是水的速度，J 是斜率降，q 是流量。

坡度下降對沙子的侵蝕作用不能完全用水流的力量來表示。又經過分析我們可以得到單位時間內單位面積沖走的沙粒重量的公式（3）：

因為兩個參數的尺寸不完全相等，所以系數c 是尺寸常數。查閱信息后，得出c=0.218。經過進一步分析，不同的水沙比會改變沙堆的密度。如果引入y/y1-y 進行調整，則可以更好地表達水沙比的特性。其中，y 是水的密度，y1 是沙堆的密度。沙堆的密度也將在1200到1600 之間變化。簡化值為每立方米1600 千克。使用曼寧公式，當前斜率可以寫為：（4）

其中n 是曼寧粗糙度，R 是水力半徑。如果流域是寬還是淺，則可用水深h 代替水力半徑R。經過審查，曼寧粗糙度與表面光滑度有關。對于具有光滑表面的對象，n 可以取為0.025。

由此，我們得到公式（5），該公式表示單位時間每單位面積流失的沙粒重量：

所有物理量均以（kg-ms）單位制。

基于水力學和土壤力學的知識，獲得了單位時間每單位面積沙的重量損失，發現在確定土壤力學性能參數的條件下，該函數與水深有著密切的函數關系。為了能夠計算出沙堆坍塌所需的時間，我們還需要計算每單位時間與水接觸的所有表面上的沙的重量損失。根據開始時的假設，我們可以將沙堆分成N 個相同的三角形金字塔，其中a 是底部三角形的高度，b 是三角形的高度，c 是底部圖形的邊長。當總砂體積V 固定并定義N 時，a，b 和c 的值將更改。它們之間的關系可以用以下等式表示：

此方程組將在以后用作限定。如果對侵蝕區域進行了積分，則每單位時間與水接觸的區域的沙子重量損失A 為A，其中A 是與c 相關的函數。用上面給出的值代替系數為0.838。

其中x 是代表沿接觸面水深變化的變量。

閱讀相關文獻后，我們發現當沙堆的坡度降至0.2 時，波浪對沙堆的沖刷作用會明顯減弱，因此我們假設當b 等于0.2a 時，沙堆的形狀就開始了。穩定下來。以下公式可用于計算時間。

獲得的時間將是評估沙堆形狀的最終依據。

2.2 模型優化

得到模型后，我們需要解決相關參數以獲得最佳的沙堡形狀。我們需要優化的問題是：在一定體積下獲得最佳的邊數n 和底部邊的長度c。在這里，我們采用總體積V=4，最大波高h=0.1。

蟻群算法：

為了確定函數的參數，我們使用蟻群算法搜索解空間。在自然界中，僅對每只螞蟻而言，其能力是非常有限的。但是，蟻群可以找到從洞穴到食物的最短路徑。

結果：

通過對獲得的數據進行分析可以知道，一開始，所有螞蟻的位置都是完全隨機的。但是，當達到迭代次數時，所有螞蟻都會聚集在極端點。

隨著迭代次數的增加，在每次迭代中，最優螞蟻的極值不斷增加，并最終趨于穩定，這證明我們已經找到了最佳參數。在我們的值范圍內，當n=25 且c=4.1 時，沖刷時間f 取最大值，即5432。還可以得出當n 接近無窮大時，函數值不斷增加。因此，n 的最佳值應該是無限的，即底面形成一個圓。