巧用幾何直觀，化難為易

黃曉瑜 江蘇省昆山市千燈中心小學(xué)校

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011 版》指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。”幾何直觀是一種意識(shí)，是一種思維方式，也是一種教學(xué)手段，它的主旨是加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。尤其是在小學(xué)階段，幾何直觀的巧用更能有效地把小學(xué)生難于理解、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、清晰、形象的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、巧埋伏筆，讓問(wèn)題迎刃而解

在學(xué)習(xí)3 倍數(shù)的特征前先學(xué)習(xí)2、5 倍數(shù)的特征，教材的安排是讓學(xué)生通過(guò)列舉2 和5 的倍數(shù)，然后觀察這些倍數(shù)的特征，學(xué)生很容易觀察出這些倍數(shù)的特征，教學(xué)目標(biāo)也很容易達(dá)成。但是等到學(xué)習(xí)3 倍數(shù)特征的時(shí)候，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)之前列舉、觀察的方法不好用了，教師也覺(jué)得無(wú)從去引導(dǎo)學(xué)生從其他角度去觀察，教學(xué)顯得很被動(dòng)，到最后勉強(qiáng)得出3 倍數(shù)特征，這樣的教學(xué)顯然是索然無(wú)味的。

我們不妨在教學(xué)2、5 倍數(shù)特征的時(shí)候，就巧用幾何圖形為后面教學(xué)埋下伏筆。嘗試引導(dǎo)學(xué)生思考：2、5 倍數(shù)的特征為什么只要看個(gè)位就可以了？比如任意一個(gè)三位數(shù)都是由整百整十和個(gè)位數(shù)組成，整百整十確定是2、5 的倍數(shù)，所以只要看個(gè)位上的數(shù)是否是2、5 的倍數(shù)。以214 為例，它是由2 個(gè)百，1 個(gè)十和4 個(gè)十組成的，即200+10+4。

200 是2、5 的倍數(shù)，10 是2、5 的倍數(shù)，4 是2 的倍數(shù)，所以214是2 的倍數(shù)，而4 不是5 的倍數(shù)，所以214 不是5 的倍數(shù)。其實(shí)計(jì)算214÷2，就是在計(jì)算（200+10+4）÷2=200÷2+10÷2+4÷2，214÷5=（200+10+4）÷5=200÷5+10÷5+4÷5。如果前期教學(xué)中作了這樣的伏筆，那么在教學(xué)3 倍數(shù)的特征時(shí)，學(xué)生會(huì)自然而然想到從數(shù)的組成方面去思考。214÷3=（200+10+4）÷3，我們知道，1 個(gè)百除以3 會(huì)余1，2 個(gè)百除以3 會(huì)余2,3 個(gè)百除以3 沒(méi)有余數(shù)，依次循環(huán)……1 個(gè)十除以3 會(huì)余1，2個(gè)十除以3 會(huì)余2，3 個(gè)十除以3沒(méi)有余數(shù)，依次循環(huán)……200 除以3 余2，2 和10 合起來(lái)得12 除以3 沒(méi)有余數(shù)4 除以3 有余數(shù)，所以214 不是3 的倍數(shù)。

有心的老師會(huì)發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)判斷一個(gè)非整百的年份是平年還是閏年時(shí)，除了簡(jiǎn)單的用非整百年份除以4，還可以只看非整百年份的后兩位是否是4 的倍數(shù)，那這是為什么呢？假如一個(gè)四位數(shù)的年份，千位上的整千數(shù)除以4 沒(méi)有余數(shù)，百位上的整百數(shù)除以4 也沒(méi)有余數(shù)，所以前兩位數(shù)可以不看，只要看后兩位數(shù)是否是4 的倍數(shù)，這樣道理也就顯而易見(jiàn)了。

二、巧畫幾何直觀，揭開(kāi)易錯(cuò)題神秘的面紗

四年級(jí)下學(xué)期學(xué)完“運(yùn)算律”后，學(xué)生遇到這樣兩道題時(shí)，容易混淆并產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。題1：（240+330）÷30，題2：360÷（40+20）。

因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)分配律時(shí)，學(xué)生都知道乘法有分配律，也知道除法沒(méi)有分配律，但是，對(duì)于為什么（a+b）÷c可以等于a÷c+b÷c,而a÷（b+c）為什么不等于a÷b+a÷c 的算理上還是知之甚少。我們不妨用長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬及面積的關(guān)系來(lái)幫助學(xué)生理解。

題1 圖：

題2 圖：

方法1：（240+330）÷30 =570÷30 =19（米）

方法2：（240+330）÷30 =240÷30+330÷30=8+11=19（米）

題1圖由左右兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，左邊長(zhǎng)方形的面積是240 平方米，右邊長(zhǎng)方形的面積是330 平方米，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬都是30 米，如圖求大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是多少米？可以先算出總面積再除以寬，或者用兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積除以寬，分別求出兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再把兩個(gè)長(zhǎng)加起來(lái)，通過(guò)驗(yàn)證，兩種答案相同。

題2 圖，求兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一共有多少米？只能用長(zhǎng)方形的面積除以各自的寬，得出各自的長(zhǎng)，然后再把各自的長(zhǎng)相加，即360÷40+360÷20，想一想，如果這時(shí)用360÷（40+20） ，計(jì)算的就不是兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一共是多少米了。顯然，360÷40+360÷20 不等于360÷（40+20）。

三、巧擺算理，讓計(jì)算不再澀而無(wú)味

從中年級(jí)起，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這種輔助于算理的幾何直觀圖形漸漸淡出學(xué)生的視野，更加注重算理的文字表達(dá)。但我們教師可以利用幾何直觀圖形巧擺算理，讓計(jì)算不再澀而無(wú)味。比如，三年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)階梯式的遞進(jìn)，如果教師只是簡(jiǎn)單照本宣科，學(xué)生往往不理解豎式的結(jié)構(gòu)及其原理。以14×12 的豎式為例，如果教學(xué)時(shí)結(jié)合矩陣圖給學(xué)生解釋，那么其算理就清晰明了。

五年級(jí)下冊(cè)教材中有一課是關(guān)于探討和的奇偶性，如果單純的從數(shù)的角度列舉、猜想、驗(yàn)證，雖然通過(guò)驗(yàn)證學(xué)生也能掌握奇偶性，但大部分學(xué)生也只是浮于表面，知其然而不知其所以然。這時(shí)，如果教師能巧擺幾何直觀，能達(dá)到“一針見(jiàn)血”的效果。

用小正方形代表奇數(shù)和偶數(shù)，奇數(shù)是兩個(gè)兩個(gè)配對(duì)不成功、有落單的情況，偶數(shù)則是配對(duì)成功的，用1 個(gè)正方形代表奇數(shù)，用2 個(gè)疊起來(lái)的正方形代表偶數(shù)。

(1）表示奇數(shù)+偶數(shù)，結(jié)果有落單的，所以是奇數(shù)。（2）奇數(shù)+奇數(shù)，配對(duì)成功，所以是偶數(shù)。（3）偶數(shù)+偶數(shù)，配對(duì)成功，所以也是偶數(shù)。探討多個(gè)數(shù)時(shí)，學(xué)生自然而然會(huì)想到，無(wú)論偶數(shù)的個(gè)數(shù)是幾個(gè)，結(jié)果都能配對(duì)，所以只要看奇數(shù)的個(gè)數(shù)，如果奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，落單和落單的能配對(duì)，如果奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么不管怎么配，總有一個(gè)落單。

顯然，幾何直觀的運(yùn)用遠(yuǎn)不止這些，自覺(jué)運(yùn)用幾何直觀是一種意識(shí)，更是我們教師日常教學(xué)的一種思維方式，經(jīng)常性地站在兒童形象思維的角度構(gòu)造幾何直觀，巧用幾何直觀，能使很多復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單易懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生真正愛(ài)上數(shù)學(xué)。