核心素養角度下探究高考數學試卷中的三角函數問題“一題多解”展現數學魅力

崔海光 廣東省清遠市華僑中學

在19 年高考全國1 卷，不僅增強試題開放性和探究性，對學生獨立思考能力要求更高，引導學生打破常規，自主發現問題、解決問題，而且更以實際背景為依托，要求學生能夠對圖像、表格、統計數據、特殊符號、實景照片等轉化成數學問題，能夠創造性的完成答卷。因此研究高考卷對復習備考有明確的導向性，一線教育工作者如何從一份高考卷中盡可能大的發揮其作用，為下一年備考提供精準方向，實現試卷資源最大化，是一線教師要鉆研的一個重要課題。

教學過程是一個不斷反思不斷總結的過程，尤其面對高三備考，既要面對過去總結前人的經驗又要展望未來把握最新高考動向。2019 年高考剛剛落下帷幕，2020 年高考已經悄然進行。接下來就以2019 年高考全國1 卷理科數學第17 題為例，剖析一下這個題目的解法以及解法背后隱含的對學生能力的要求。

這種方法比較形象直觀，符合大部分學生的認知結構。完全平方式真開后就得到我們熟悉的關于三角函數角度的齊次方程，接下來正、余弦定理的綜合應用就水到渠成。

這種方法屬于劍走偏鋒的無奈之選。直接先入為主的利用內角和定理換掉一個角，達到減少參數的目的，看似合情合理實則不然，這種方法會導致計算量陡增，加大出錯的風險，對學生計算能力要求較高。

全國卷第17 題無論是考察三角函數亦或數列，都是以函數與方程作為出發點，要求學生具備這種數學思想。本題有了第一問的結論才有第二問的開始，研究第二問一定要有第一問作為支撐。但是不少學生往往第一問就無從下手，給出的條件與以往做過的題目相似又不同，不能很好的運用劃歸與轉化的思想建立這個題目與以往題目之間的聯系，也就是數學抽象等基本數學素養方面訓練的還不夠，接下來我們在第一問的基礎上再研究一下第二問的解法。

以上幾個角度各有千秋。角度1雖然起點低，學生比較容易入手，但是難點是最后要對所得函數值進行取舍，想拿滿分不太容易。角度2 要進行配角運算，要求學生有“慧眼識珠”的能力，面對高考的緊張環境，不少同學都有“舌尖現象”會頭腦短路，影響正常水平的發揮，而這種能力的形成必須是建立在大量的基礎運算之上。角度3 的解法雖然有學生恐懼的“角的范圍討論”問題，但是本題不難，方法也簡單明了，通俗易懂。

以上兩個角度都是基于余弦定理作為切入點，這兩個角度將方程思想體現的淋漓盡致，不斷的替換、代入、消去、求值從而一步一步的逼近真相，靠近謎底。但是兩種做法相對正弦定理作為切入點的方法就顯得頗為繁瑣，這就對學生核心素養中的數學運算方面素養要求比較高。

這種解題方法就比較有靈性了。但是要求學生在數形結合思想指導下，理清兩邊關系的前提下才能迸發出靈感，達到快速解題的目的，所以在教學過程中也要不斷的培養學生的直觀想象、邏輯推理、數據分析等基本的數學素養。

當然關于這道高考題的解法遠不止以上這些，解題方法也本無優劣，仁者見仁智者見智，適合自己的才是最好的。本文只是希望起到一個拋磚引玉的作用，希望我們能夠培養學生從多個角度去思考同一問題的習慣。多角度地思考同一問題的前提是必須掌握常用的方法和基本的套路，只有在熟悉方法、套路的基礎上才會有靈性解法的升華，否則無異于緣木求魚。多角度地思考同一問題就是要啟發、引領學生在學習過程中靈活運用學過的知識，善于發現數學問題的本質，逐步提煉出更加簡潔、快速的解題方法。從“一題多解，多題一解”中提升解題境界，就題論題、論法、論道。長此以往有助于提高學生學習自信心，從而提高學生學習熱情；也有助于解決實際問題，讓數學和實際生活緊密相連，學以致用；更能幫助學生激發探索精神，使學生受益終生。