直線與平面平行判定與性質(zhì)

方赟吉

【摘 要】直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)之一。想要在高考當(dāng)中獲得一個(gè)高分，對(duì)于直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理必然得要掌握。如何才能對(duì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理掌握得宜，這就是本文探究的重點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】直線;平面平行;性質(zhì);判定

一、前言

在近幾年的高考試題當(dāng)中，直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)一直都在題目中有所體現(xiàn)。主要的考察方式是通過錐體或者柱體作為載體，用線面平行的關(guān)系定理去論證題目。在這種幾何體中，對(duì)于學(xué)生的計(jì)算能力的要求與其他題目相比就就比較的少，更多的是側(cè)重于想象能力，推理能力的考察，或者是對(duì)于圖形轉(zhuǎn)換所用到的轉(zhuǎn)換思想的運(yùn)用。

二、線面平行的判定定理

在高中階段，線面平行定理對(duì)學(xué)生的要求并不是很高，從各大數(shù)學(xué)試卷的考題分布來看，我們可以得知幾何圖形的題目一般是分布在大題的第二小問或者第三小問。從這種題目的分布情況我們可以知道，難度系數(shù)并不是很高，對(duì)于很多學(xué)生來講都是得分的重點(diǎn)，如何讓學(xué)生通過解題得到分?jǐn)?shù)，這需要強(qiáng)調(diào)線面平行判定定理的相關(guān)性質(zhì)。畢竟通過學(xué)習(xí)我們可以知道直線與平面的關(guān)系其實(shí)是多種的，第1個(gè)關(guān)系就是直線在平面上，第2個(gè)就是直線與平面相交，第3個(gè)變式直線與平面平行，在這三種關(guān)系當(dāng)中如何判斷直線與平面平行是一個(gè)難題，因?yàn)樵谶@三種直線與平面的關(guān)系當(dāng)中，又可以分出許多細(xì)枝末節(jié)，這需要讓學(xué)生理解直線在平面內(nèi)的概念，即如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l。異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。直線與平面相交的概念：直線與平面有一個(gè)交點(diǎn)。如何讓學(xué)生更好的判斷線面平行必須讓學(xué)生熟記定理。常用的線面平行的判定定理主要有兩個(gè)：定理1說的是平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。常用的證明方式便是：設(shè)直線a‖直線b，a不在平面α內(nèi)，b在平面α內(nèi)。假設(shè)若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條不一定直線與這個(gè)平面平行。若直線a與平面α不平行，且由于a不在平面α內(nèi)，則有a與α相交，設(shè)a∩α=F。過點(diǎn)F在平面α內(nèi)作直線c‖b，由于a‖b則a‖c.又F∈a，且F∈c，即a∩c=F，這與a‖c相矛盾.所以假設(shè)不正確，原命題正確。∵a∥b，∴A不在b上，在α內(nèi)過A作c∥b，則a∩c=A，又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，與a∩c=A矛盾。∴假設(shè)不成立，a∥α。用向量法證明：設(shè)a的方向向量為a，b的方向向量為b，面α的法向量為p。∵b?α，∴b⊥p，即p·b=0。∵a∥b，由共線向量基本定理可知存在一實(shí)數(shù)k使得a=kb，那么p·a=p·kb=kp·b=0即a⊥p，∴a∥α。

定理2，平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行。在學(xué)習(xí)這一個(gè)定理時(shí)，教師可以通過常見的例子進(jìn)行舉例，在授課過程中，教師可以把黑板當(dāng)做一個(gè)平面，把粉筆垂直于黑板這一個(gè)平面做平面的垂線。之后用游離于黑板這一個(gè)平面之外的課本作為一條直線，當(dāng)這條直線與粉筆垂直時(shí)，我們就可以讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)，書本與黑板這一個(gè)平面平行的事實(shí)。通過這樣一個(gè)實(shí)物取景，能夠讓學(xué)生更好的了解直線與平面平行的判定定理。

三、線面平行的性質(zhì)

當(dāng)我們掌握了線面平行的判定定理時(shí)，就對(duì)于線面平行的性質(zhì)容易理解了。線面平行的性質(zhì)，最常用的也有兩條，第1條便是一條直線和一個(gè)平面平行則國(guó)智調(diào)直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行。當(dāng)我們一看到這一條性質(zhì)時(shí)就比較的繞，而且練出來也比較的拗口。連講出來都這么的費(fèi)力，所以有很多的學(xué)生對(duì)于這個(gè)性質(zhì)比較模糊不好理解，有時(shí)還沒有掌握全。可是高考講究的就是突然襲擊，講求的是全面的掌握，如何讓學(xué)生更好的掌握這一條性質(zhì)。其實(shí)就是直線平行一個(gè)平面，則過此平面與已知平面的交線一定與此直線平行。可能當(dāng)我們簡(jiǎn)單的進(jìn)行言語(yǔ)表達(dá)時(shí)，還有很多的學(xué)生對(duì)于這一條性質(zhì)。還是很難理解，這樣的話我們就得從實(shí)際生活當(dāng)中取景，通過聯(lián)系學(xué)生，讓學(xué)生更好的理解這一條性質(zhì)，例如，我們可以用講臺(tái)與粉筆作為平面和直線，當(dāng)粉筆與講臺(tái)平行時(shí)，那么經(jīng)過直線的一個(gè)平面也經(jīng)過講臺(tái)時(shí)，與講臺(tái)所產(chǎn)生的交線就會(huì)與粉筆平行。當(dāng)我們?yōu)閷W(xué)生演示了這一個(gè)概念時(shí)，為了加強(qiáng)學(xué)生之后的理解鞏固知識(shí)，還可以從別的方式來為他們進(jìn)行理解。例如，證明：假設(shè)a與b不平行，設(shè)它們的交點(diǎn)為P，即P在直線a，b上。∵b∈α，∴a∩α=P，與a∥α矛盾，∴a∥b。此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。當(dāng)老師在講這一條性質(zhì)時(shí)，需要注意一些特殊情況，這條性質(zhì)有著一定的范圍限制。當(dāng)直線與平面平行時(shí)，并不代表著平面內(nèi)的所有直線都與該直線平行，如果不為學(xué)生講清這一點(diǎn)他們可能會(huì)產(chǎn)生思維誤區(qū)，但是如果直線與平面垂直時(shí)，那么這條直線將垂直于平面內(nèi)所有的直線。

第2條就是一條直線與一個(gè)平面平行，則該直線垂直于此平面的垂線。這一條性質(zhì)相比于前一條性質(zhì)就比較容易理解。當(dāng)然為了讓學(xué)生更好的理解這一條性質(zhì)，也可以采用聯(lián)系實(shí)際生活的辦法。就拿粉筆，書本和講臺(tái)講臺(tái)作為道具，分別作為直線與講臺(tái)這一個(gè)平面平行時(shí)，我們?cè)趯W(xué)用課本作為平面的垂線，可以看出平行于講臺(tái)的粉筆與課本也垂直。常見題目便是已知：a∥α，b⊥α。求證：a⊥b。證明：由于α的垂線有無數(shù)條，因此可將b平移至與a相交，設(shè)平移的直線為c，a∩c=M，c與α的垂足為N。∵兩條相交直線確定一個(gè)平面，∴設(shè)a和c構(gòu)成的平面為β，且α∩β=l。∵N∈c，N∈α，c?β，∴N∈l，且由定理1可知a∥l。∵c⊥α，l?α，∴c⊥l。∴a⊥c，最后由于平移不改變直線的方向，因此a⊥b。

四、結(jié)語(yǔ)

線面平行可以說是高中知識(shí)點(diǎn)當(dāng)中一個(gè)很重要的內(nèi)容了，其考察的范圍也比較的廣泛，主要涉及到高中階段的所有幾何體題目當(dāng)中。這一些知識(shí)點(diǎn)可以通過變形廣泛運(yùn)用到數(shù)學(xué)題目里。當(dāng)然之所以要如此廣泛地運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)，是因?yàn)槠渲匾越缑嫫叫卸ɡ碜鳛閹缀误w當(dāng)中不可缺少的一部分，它能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，幾何意識(shí)，想象能力，對(duì)于學(xué)生的能力培養(yǎng)具有十分重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.數(shù)學(xué)目標(biāo)再思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育.2012

（作者單位：江西省信豐縣第二中學(xué)）