非多重集群音程循環(huán)算法與有限移位模式的拆分

非多重集群音程循環(huán)與梅西安有限移位模式具有同構(gòu)關(guān)系，本人在《非多重集群音程循環(huán)算法與有限移位模式拓展》一文中 已經(jīng)計(jì)算出了相關(guān)運(yùn)算數(shù)據(jù)，并引申出5種新的具有非多重集群音程循環(huán)特點(diǎn)的有限移位模式以及相關(guān)運(yùn)算公式即 ：

Ord.PCI（1，3）-Cycle ?SUM=4 d=4 L=6 四次移位，音數(shù)6; （六聲音階）

Ord.PCI（1，2，3）-Cycle 0 1 3 6 7 9 0 SUM=6 d=6 L=6 ;六次移位，音數(shù)6，

Ord.PCI（1，3，2）-cycle 0 1 4 6 7 10 0 SUM=6 d=6 L=6，六次移位，音數(shù)6，

Ord.PCI（1，5）-Cycle 0 1 6 7 0 SUM=6 d=6 L=4，6次移位，音數(shù)4。

下文筆者通過(guò)拆分運(yùn)算模型對(duì)相同的有限移位模式進(jìn)行了不同可能性的音列拆分并總結(jié)運(yùn)算過(guò)程。

一、相同有限移位模式拆分不同非多重集群音程循環(huán)的可能

以音程循環(huán)的方式去看待有限移位模式時(shí)，便會(huì)發(fā)現(xiàn)同一有限移位模式可以拆分為不同的非多重集群音程循環(huán)的可能，如以：（4，5）-cycle，為循環(huán)該循環(huán)產(chǎn)生一個(gè)八聲音階，即04916T37，同時(shí) Ord.PCI（1，2）也能產(chǎn)生一個(gè)相同的八聲音階，即0134679T0，經(jīng)驗(yàn)證兩者是完全相同的音階結(jié)構(gòu)。

那么我們便可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)循環(huán)的SUM值9與3，在模12空間內(nèi)為互補(bǔ)關(guān)系，即它們與12的最大公約數(shù)相同。因此依據(jù)愛(ài)德華所提供的雙音程混合循環(huán)音數(shù)長(zhǎng)度計(jì)算公式：

“L=2（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y（mod12）”則它們的音數(shù)必然是相同的，即d值不變的情況下，L是等值的。

因此我們便可以在音數(shù)不變的情況下，只需確保新的循環(huán)中每次循環(huán)的音高級(jí)結(jié)果僅一次出現(xiàn)在原始的有限移位模式中，便可將所有有限移位模式盡數(shù)拆分。筆者在計(jì)算出除梅西安第一有限移位模式單音程循環(huán)外的其他六種具有非多重集群循環(huán)特性的有限移位模式，以及新生成的五種有限移位模式的所有可用混合音程循環(huán)拆分結(jié)果。結(jié)果中僅列出拆分后的原始排列，其轉(zhuǎn)位形式可以通過(guò)順次將第一個(gè)有序音級(jí)音程移至最后來(lái)求得。如（1，8）cycle其轉(zhuǎn)位包括（8，1）。 （2，1，5）cycle其轉(zhuǎn)位包括（1，5，2）（5，2，1）。

二、相同有限移位模式拆分不同非多重集群音程循環(huán)的運(yùn)算方式

（1）雙音程循環(huán)的有限移位模式拆分步驟

設(shè)：SUM=x+12n（n為自然數(shù)），雙音程循環(huán)為（a，b）-cycle.

a+b=SUM=x+12n，則b=x+12n-a

為確保音程循環(huán)所生成的音高級(jí)僅出現(xiàn)一次則，

a+b+a≠12n，且b+a+b≠12n，

則a+b+a=a+x+12n-a+a=x+12n+a≠12n，;

b+a+b=2x+24n-2a+a=2x+24n-a≠12n

則確定所要拆分的模式原型，并列出音列，確定SUM值x，帶入公式上一步公式中，確定a的值≠多少，并順次帶入音列中音高與0的音程差，求得所有可能。如（1，5）cycle模式展開(kāi)為0 1 6 7 0;SUM=6，帶入x+12m+a=6+12n+a≠12n，則a≠6，帶入2x+24n-a=12+24n-a≠12n，則a≠0，則相對(duì)于該模式a只能等于1或7，并算出相應(yīng)的b值，可得循環(huán)（1，5）;（7，11）.

（2）三音程循環(huán)的有限移位模式拆分步驟

三音程循環(huán)的有限移位模式拆分需先將SUM拆分為兩個(gè)音程的循環(huán)，方法見(jiàn)雙音程循環(huán)有限移位模式的拆分。則在拆分為雙音程的基礎(chǔ)上（a，b）cycle，將b拆分為c、d.便可得到三音程循環(huán)（a，c，d）-cycle，則為了確保該三音程循環(huán)所產(chǎn)生的音高級(jí)僅出現(xiàn)一次，則a+c≠12n，d+a≠12n. a=SUM-c-d，帶入可得SUM-c-d+c≠12n，則SUM-d≠12n，SUM-c-d+d≠12n，則SUM-c≠12n，順次帶入所要拆分的有限移位模式中的音高級(jí)差值，得出所有結(jié)果。如，模式五（1，4，1）cycle展開(kāi)為0 1 5 6 7 11 0，則依據(jù)雙音程循環(huán)的拆分法可以得到a≠6，且a≠0.將SUM值6帶入三音程循環(huán)拆分的兩個(gè)范圍公式可得6-d≠12n;6-c≠12n;則d，c均不等于6.第一步拆分為（1，5）（5，1）（7，11）（11，7）第二步拆分為，（1，4，1）（1，10，7）（5，2，11）（5，8，5）（7，4，7）（7，10，1）（11，2，5）（11，8，11）

（3）四音程循環(huán)的有限移位模式拆分步驟

四音程循環(huán)的有限移位模式拆分，需先將有限移位模式拆分成三音程循環(huán)的有限移位模式，方法見(jiàn)三音程循環(huán)的有限移位模式拆分。將（a，c，d）-cycle拆分成（a，c，e，f）-cycle，則為了確保該四音程循環(huán)所產(chǎn)生的音高級(jí)僅出現(xiàn)一次，則c+e≠12n;f+a≠12n，SUM-e或f不等于12n，順次帶入所有音程差，求得所有可能。如我們以模式四（1，1，3，1）-cycle為例，先將其拆分成三個(gè)音程的循環(huán)，我們以其中一個(gè)（5，2，11）則e≠10 f≠7 e或f不等于6，則順次帶入所有音高級(jí)差可得（5，2，1，10）（5，2，7，4）

（4）五音程循環(huán)有限移位模式的拆分步驟

五音程循環(huán)的有限移位模式的拆分，需先將有限移位模式拆分成四音循環(huán)的有限移位模式，方法見(jiàn)四音程循環(huán)的有限移位模式的拆分。將（a，c，e，f）-cycle拆分成（a，c，e，g，h）-cycle，則為了確保該四音程循環(huán)所產(chǎn)生的音高級(jí)僅出現(xiàn)一次，則h+a≠12n，g+e≠12n，c+e+g≠12n，h+a+c≠12n，SUM-h或g≠12n.順次帶入音列中的音高級(jí)差，求得所有可能。如以模式七（1，1，1，2，1）-cycle為例先將其拆分為四音循環(huán)模式，我們以其中一個(gè)（11，4，5，10）為例，則g不等于7或3，h不等于1或9，g與h均不等于6，順次帶入音高級(jí)差，可得（11，4，5，5，5）（11，4，5，11，11）兩種可能。

三、有限移位模式拆分不同非多重集群音程循環(huán)的結(jié)果列表

在對(duì)相同有限移位模式拆分成不同非多重集群音程循環(huán)的實(shí)驗(yàn)中，得到了對(duì)11種有限移位模式拆分為不同非多重集群循環(huán)的列表，并總結(jié)出算法過(guò)程。該表中的數(shù)據(jù)可以應(yīng)用于創(chuàng)作與分析研究，同時(shí)該分類表具有對(duì)艾倫福特音集集合理論應(yīng)用在音程循環(huán)方面的解讀，筆者將另作文章進(jìn)行研究論述。

課題項(xiàng)目：周口師范學(xué)院校本項(xiàng)目ZKNVB32 01808

參考文獻(xiàn)：

[1]張晨明：《淺談愛(ài)德華格林音程循環(huán)參數(shù)算法理論》《音樂(lè)生活》，2019年第9期。

[2] 2007. “Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

張晨明 周口師范學(xué)院音樂(lè)舞蹈學(xué)院助教