基于漸近均勻化理論的黃土高原草本植物固土效果模擬

黃建坤，王學林，及金楠，陳麗華，張之偉

基于漸近均勻化理論的黃土高原草本植物固土效果模擬

黃建坤，王學林，及金楠，陳麗華，張之偉

（1. 山西吉縣森林生態系統國家野外科學觀測研究站，北京林業大學，吉縣 042200；2. 北京林業大學水土保持學院水土保持國家林業局重點實驗室，北京 100083；3. 北京林業大學水土保持學院，北京 100083）

黃土高原是中國水土流失和淺層滑坡災害最嚴重的地區之一，而植被根系能有效抑制淺層滑坡。黃土高原草系分布廣泛，根系在空間配置上具有鮮明的周期重復特征，計算大量根系的邊坡固土效果非常復雜。該文利用漸進均勻化理論，構建“根系-土體”復合土體本構關系，通過與已有研究對比說明，該文所述方法計算三維本構關系具有較高精度。為說明均勻化方法在含根群邊坡中的準確性和高效性，該文基于有限元軟件ANSYS，進一步模擬了含草邊坡和無草邊坡的應力和應變分布規律。數值模型設置為3組，分別是無草邊坡模型、含草邊坡的分離式模型，以及基于該文均勻化理論的含草邊坡模型。該文進一步采用觀察等效塑性應變區是否貫通作為邊坡失穩臨界狀態的標準，利用強度折減法計算了邊坡安全系數。研究表明：1）漸進均勻化理論不僅能準確地構建根土復合體本構關系，而且極大地減少了模型計算工作量（減少了95.58%的單元數）。2）披堿草根系能改善邊坡淺層土體的應力場，使得根系分布區內的剪應力更加均勻，使坡體淺層更趨于穩定。3）當邊坡坡度較小時（坡角為30°），無草邊坡安全系數較大（=4.28），根系對邊坡的穩定性加持較小（平均僅提高2.92%）；當坡角增大到45°時，無草邊坡安全系數下降為2.90，而含草邊坡平均安全系數提升了13.45%，根系固土效果更加顯著。

邊坡穩定性；根系；固土；均勻化理論；有限元法

0 引 言

中國是世界上水土流失和滑坡災害最嚴重的國家之一，山地面積占國土面積的2/3。黃土高原是中國水土流失最嚴重的地區，滑坡等重力侵蝕相當嚴重。傳統的土木工程護坡方式不僅造價高昂，而且破壞了原有的生態環境。植被是防治水土流失最積極、有效的因素，特別是植物根系固持表層土壤、防止淺層滑坡的作用更是不可忽視。因此，植被措施是一種經濟、可靠、環保的滑坡防治措施，具有不可替代的重要作用，在國內外越來越受到重視[1-9]。

通過根系形態分析、拉伸試驗、剪切試驗和數值模擬等方式，研究人員探討了根系力學特性[3,10-12]、分布特點[13-14]以及根土相互作用[15]，推動了根系固土力學機理的揭示過程。新材料、新技術的引入，加快了根系固土的研究歷程[16-20]。植被根系屬于生物有機材料，具有不連續、非均勻、各向異性等特點，其本構關系要比普通工程材料復雜得多。目前，關于根系固土的研究多關注于單根或根束對土體的影響，而此方面的研究還不能對現實中廣泛存在的根群固土效應做出全面而準確的評價。植物根系固土護坡能力的研究主要包括了對根強度的研究和根土復合體強度的研究，根與土之間呈弱耦合關系；自然界中根土復合體像鋼筋混凝土一樣，可以看成一個整體，即一種“新材料”，根土之間呈強耦合關系。在科學和工程方面都迫切需要深入研究根系與土體之間的力學關系，為邊坡穩定性評價提供準確理論支持。

黃土高原地區草本和灌木受地質和氣候條件的影響，根系具有如下明顯的形態特征：根系以豎向根系為主，且較為發達，在地表以下有較長的延伸；根系生長方向較為一致，排列比較均勻，側根比較少，根系分布大致呈現周期性的特征。根土復合體可以看成長纖維加強的周期復合材料，形成強耦合關系。三軸壓縮試驗表明，基于均勻化理論構建的根土復合體模型具有計算高效、結果準確的特點[18]。與簡單地將根土復合體視為各向同性材料不同，均勻化理論的思想是基于對根系-根周土“單胞”的分析，推導根土復合體的各向異性本構關系，能夠將微觀根系形態特征量與宏觀邊坡力學分析結合，建立不同尺度之間的聯系，有利于揭示根系固土力學機制。

本文引入周期復合材料的漸進均勻化理論，針對黃土高原淺層滑坡問題，開發用于探討草本植物根土復合體本構關系的三維力學模型，從周期復合材料的視角推進理解含林（草）邊坡的固土機制，解決準確評價根群固土效果的困難，為含林（草）邊坡穩定性分析提供理論支撐。

1 漸進均勻化理論

1.1 控制方程

根據山西省黃土高原優勢固土護坡植物的生長特性，草本根系的長度遠大于根系的直徑，因此可以將根系和土壤看成周期性分布的長纖維根土復合材料（如攝于山西吉縣森林生態系統國家野外科學觀測研究站的圖 1）。針對該地區植物根系生長的特點，可以忽略側根（或須根）的影響，并假定根系在土壤中呈單向周期性分布，因而可以把植物根系和土壤簡化成周期性分布的長纖維增強復合材料。因此，該文提出基于均勻化理論的根土強耦合固土機制，先從較為簡單的直根系出發，不考慮復雜形態的根系等問題，根土復合體可以由單根-根周土“單胞”表示，如圖2所示。

圖1 具有周期性長纖維復合材料特征的根系分布

注：a為單胞尺寸，cm。

以具有周期性細觀“單胞”結構Y的根土復合體為例，假設在空間坐標系某處存在此復合材料Ω，其全部邊界為，并分別受體力和面力作用。根據虛位移原理，控制方法為[21]

式中0與細觀尺度無關，描述了根土復合體宏觀尺度的位移，1描述了細觀尺度的位移，由方程（4）可得

引入[22]

式中,1,2,3代表微觀坐標系的坐標，以示與和表示的宏觀坐標系區別，根系-土體復合體等效密度可以表示為

1.2 等效剛度求解

將函數用插值函數近似表示為

式中是形函數矩陣；是節點的廣義坐標；表示有限元系統中的自由度總數。因此式（6）可寫成有限元的標準形式[23]

其中和分別為應變和彈性矩陣。有效剛度矩陣，即方程（8）可表示成

1.3 三維本構關系具體形式

二維平面應變問題的本構關系可以表示為[24]

而自然根系為有限長度，猶如微型錨桿，是典型三維空間問題。其本構關系具有典型的正交各向異性特征，形式為[24]

（15）

為了將二維應變問題升維為三維問題，根據方程[25]

最終可以確定三維根系-土體復合體的正交各向異性的本構關系。

1.4 方法驗證

表1 材料參數

表2 材料參數均勻化結果對比

注：EE、E分別指、、方向彈性模量；υ、υ υ分別指、、方向泊松比。下同。

Note: EE, Eare elastic modulus in,,direction; υ υυarePossion’s ratioin、,plane, respectively. The same below.

2 實例數值建模

2.1 植被根系和研究區域選擇

本文以披堿草根系為研究對象，播種當年，節根入土深度可達70 cm，第二年能達110 cm以上[18]。在灌溉條件下，雖然根深可達100 cm，但是50 cm土層以下，根系極少，約占總根量的4%[18]。為突出根系固土效果，本文根長統一取為50 cm，根半徑取為0.11 cm，根系體積填充率為0.01，“單胞”尺寸取為=2 cm。由于“單胞”具有對稱性，計算中僅取1/4“單胞”進行計算，如圖3所示。根系和土體的材料參數主要通過文獻[18]獲得，如表1所示。

圖3 “單胞”有限元模型

2.2 本構關系計算

通過本文方法，根土復合體本構關系計算如表3所示，為了便于比較，本文同時給出了文獻[25]所述簡化方法的計算結果，使簡化方法和本文提出的方法相互校核，可以驗證結果控制在一定誤差范圍內，從而避免得到錯誤的結果。從表3中可以看出，本文方法和簡化方法除了在υ計算中存在一定偏差之外，其他彈性參數誤差均較小。平面內的泊松比υ對應力分布影響較小，這一點將在數值模擬中得到驗證，因此誤差在可接受范圍。

表3 根土復合體本構參數

注：G、G、G分別表示平面剪切模量。

Note: G,G,Gare shear modulus inplane, respectively

2.3 有限元模型建立

在披堿草根系固土效果數值分析中，將邊坡坡度設為30°，坡長5 m。本文所建的模型為3D模型，邊坡剖面位于平面，方向上為一個“單胞”厚度=0.02 m，有限元模型如圖4。邊坡體的底面完全約束，坡面完全自由，兩側平面上的面采用向約束，厚度方向平面上采用對稱邊界[28]。

模型統一采用SOLID45單元，充分模擬邊坡及根系的三維特性，模型假設所有界面理想連接，僅受自重應力影響。為對比含草邊坡和無草邊坡的應力分布規律，以及本文所述方法的準確性，數值模型設置3組，分別是無草邊坡模型、含草邊坡的分離式模型，以及基于均勻化理論的含草邊坡模型。在含草邊坡的分離式模型中，根系分布如圖5所示。

注：O、x和y分別為全局坐標系原點和坐標軸；O′、x′和y′分別為局部坐標系原點和坐標軸。

圖5 根系邊坡分離式模型

雖然該文建立的是單排草根的直根系工況建模，該模型兩側設置為對稱邊界。對稱邊界可以模擬邊坡在方向無限延伸。因此，該模型本質上模擬的是左右無限擴展的多行多排根系情況。該文分離式模型中，根系分布區已經含有250根草根，能體現含根邊坡的真實性和典型性，也有利于說明均勻化理論的高效性。如果繼續擴大根系規模，勢必難以計算（收斂）。同時，調查發現，黃土高原灌草植被存在一定量的直根系，如圖1。該地區的草本和灌木受土壤和氣候條件影響，不僅具有發達的豎向根系，可從坡面延伸至深層土坡，總體呈現出生長方向一致、排列均勻的周期性特征。因此，直根系模型也常被用于數值模擬中[15,18]。

在基于均勻化理論的含草邊坡模型中，圖5中的矩形區域視為根土復合體，采用本文均勻化理論計算得到的參數，即表3中數據，等效密度H= 1 363.6 kg/m3。因此，均勻化參數具有方向性，在數值模擬中，該模型使用了局部坐標系以準確定義計算得到的均勻化參數。

3 數值模擬結果及分析

3.1 邊坡應力分布

圖6為邊坡平面剪應力分布等值線圖。從圖中可以看出，無草邊坡應力分布比較均勻，且與含草邊坡模型結果不同；含草邊坡分離式模型和含草邊坡均勻化模型的結果幾乎是一致的，3種工況都在坡腳產生了一定的應力集中現象。由于草根的存在，含草邊坡應力分布較為分散。因為根系有較強的抗拉和抗剪剛度，邊坡自重荷載產生的應力向根系轉移，根系分擔了較多的土體應力，并將其擴散到根周土中，因此，改變了自然邊坡的應力場。根系明顯對邊坡應力場分布的影響集中在邊坡淺層，特別是根系分布區，即圖6中虛線矩形區，使得根系分布區內的剪應力更加均勻，提高了淺層邊坡土體穩定性。對比圖6b和6c可以看出，本文提出的均勻化理論計算結果和根土分離式模型計算結果具有高度的一致性，充分驗證了本文均勻化理論計算結果的準確性，也說明了υ的誤差對應力分布影響不顯著。

圖6 邊坡xy平面內剪應力等值線圖

圖7為邊坡von Mises應力分布等值線圖。從圖中可以看出，3種工況都在坡腳產生了一定的應力集中現象，根系的存在對von Mises應力場的影響比對平面剪應力場的影響小。根系的影響主要在根系分布區，使得根系分布區內的von Mises應力分布更加均勻。

圖7 邊坡von Mises應力等值線圖

3.2 邊坡安全系數分析

本文采用強度折減法[5,29-30]對邊坡安全系數進行計算。邊坡失穩可以通過數值迭代計算是否收斂、特征部位的位移拐點和等效塑性應變區是否貫通進行判斷。本文中采用觀察等效塑性應變區是否貫通作為邊坡失穩臨界狀態的標準。

無草模型和均勻化模型都使用規則的六面體單元，計算收斂性穩定可靠。但是在分離式模型中，根系直徑僅為0.11 cm，劃分網格時不可避免地出現三棱錐等低質量單元，極易造成收斂性提前失穩，無法得到準確的安全系數。因此，在本小節分析中，采用Link單元代替實體單元模擬根系狀況，提高計算穩定性。根土復合體試驗研究表明[16,26,31]，根系對提高土體的內摩擦角十分有限，主要是提高黏聚力，根據文獻[18]，本節計算中，設定土體黏聚力=9.56 kPa，內摩擦角=24.716°，根土復合材料黏聚力提高為[31]：c=42.08 kPa，內摩擦角保持不變。

邊坡最大等效塑性應變隨折減系數的變化，如圖8所示。從圖8a中可以看出，最大等效塑性應變隨折減系數增大而增大。無草（素土）模型在折減系數為4.28時，出現峰值拐點。而3種含草模型的峰值拐點對應的折減系數都比無根模型略大。含草邊坡分離式模型由于收斂性問題，最大等效塑性應變曲線與其他含草模型差別較大，且不易得到拐點，因此，不適合用于安全系數求解。

從圖8b中可以看出，當坡角從30°增大到45°時，無根邊坡最大等效塑性應變隨折減系數增大而迅速出現拐點，且最大等效塑性應變的數值也從0.47增至0.77。而含草模型最大等效塑性應變的拐點對應的折減系數都比無根模型大很多，且最大等效塑性應變的數值較低。再次說明根系的存在使得邊坡應力分布更加均勻，滑坡的潛在風險降低。圖8a和8b中，均勻化模型與含草邊坡Link模型的應變曲線變化規律基本一致，說明了均勻化模型的準確性。

本文定義首次出現峰值拐點的折減系數為安全系數，根據圖8中的實（空心）點標注，不同工況下邊坡的安全系數如表5所示。邊坡安全系數與邊坡幾何參數和材料參數有密切關系[32]。當坡角為30°時，由于坡角較小，邊坡安全系數較高。無草邊坡的安全系數為4.28，含草邊坡均勻化模型與含草邊坡Link模型的安全系數分別為4.40和4.41，兩者相對誤差為0.22%，后者安全系數比前者提高了2.92%，說明草根起到一定的固土作用。受制于草根根系較淺且根系直徑較小，根系對邊坡穩定性的影響有限。

圖8 最大等效塑性應變隨折減系數的變化規律

當坡角為45°時，無草邊坡安全系數下降為2.90，含草邊坡均勻化模型與含草邊坡Link模型的安全系數分別為3.28和3.30，兩者相對誤差為0.69%，而平均安全系數提升了13.45%，說明在高角度邊坡情況下，根系固土效果更加顯著。由于邊坡坡度較小時，無草邊坡安全系數較大，根系對邊坡的穩定性加持較小。當邊坡坡度增加時，無草邊坡安全系數降低，根系固土的作用更加明顯。

表5 邊坡安全系數

圖9a-9c分別給出了坡角為30°時，無草邊坡和兩種含草邊坡模型的等效塑性應變云圖。從圖9中可以看出，無草邊坡的滑動面較淺，含草邊坡的滑動面較深。無草邊坡坡腳變形較小，坡頂變形較大；2種含草邊坡的坡腳處都有較大的隆起，坡頂有較大的豎向和水平位移。塑性區由坡角發展至坡頂，并從坡腳貫通至坡頂。由于根系的存在，塑性區主要分布在根系分布區以下部分，且更加分散，因此提高了含草邊坡的穩定性。含草邊坡均勻化模型與含草邊坡Link模型的等效塑性應變云圖分布規律基本一致，說明了本文所述均勻化方法的準確性。

圖9 等效塑性應變分布

為達到必要的模擬精度，分離實體式模型含有155 513個三維實體單元，而本文提出的均勻化理論模型僅僅使用了6 873個單元，減少了95.58%的單元數。雖然兩者在應力分布上可以取得類似精度，但是均勻化模型在計算速度上得到極大提高。當計算安全系數時，分離實體式模型由于異形單元的存在，極易造成收斂性失穩。而含草邊坡Link模型在邊坡工況不過分復雜的情況下可以解決此問題，但是依然使用了16 397個實體單元和250個Link單元，且建模過程復雜。本文僅列舉了簡單的直根系工況，并且建模時考慮到計算效率，在方向上采用了對稱邊界。如果按照自然界草根系多行多排方式直接建立模型，分離實體式和Link模型都將面臨巨大困難，而本文方法將受干擾極小，優勢將會進一步體現。因此，邊坡根系含量越多，本文方法的優勢將越明顯。

4 結 論

本文提出了一種基于漸進均勻化理論的含草邊坡本構關系的計算方法，通過對比研究和數值分析，驗證了本文所述方法的準確性和高效性。本文選取黃土高原草本植物披堿草為對象，進一步研究了植物根系固土護坡的能力，得到以下結論：

1）本文所述方法研究含大量根系的邊坡具有明顯的效率優勢，極大地減少了模型計算工作量（減少了95.58%的單元數），為含根群的邊坡穩定性研究開拓了新思路。

2）草根根系的存在，改善了坡體淺層土體的應力狀態，提高了邊坡安全系數，保持了邊坡的水土穩定性。

3）當邊坡坡度較小時（坡角為30°），無草邊坡安全系數較大（=4.28），根系對邊坡的穩定性加持較小（平均僅提高2.92%）；當坡角增大到45°時，無草邊坡安全系數下降為2.90，而含草邊坡平均安全系數提升了13.45%，根系固土效果更加顯著。

本文基于理想的豎向根系，下一步研究工作將以植物單株為“單胞”，考慮單株根系分布形態，形成真實三維“單胞”模型，提高計算精度和方法通用性。

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Numerical simulation of root reinforcement for herbs in Loess Plateau based on asymptotic homogenization theory

Huang Jiankun, Wang Xuelin, Ji Jinnan, Chen Lihua, Zhang Zhiwei

(1.,,,042200,; 2.,,,100083,; 3.,,100083,)

Loess Plateau is the most severe soil and water loss area in the world, as well subjected to shallow-landslide disaster in China. Currently, grass system has been widely distributed in the Loess Plateau, while the root system shows obviously periodic characteristics in spatial distribution. In order to accurately evaluate the influence of root groups on root reinforcement, and the coupling relationship between roots and soils, a constitutive relation of the “root-soil” composite was constructed via the “unit cell” of the root and soil based on the asymptotic homogenization theory. The “root-soil” composite in the nature similar to the reinforced concrete, can be regarded as a “new composite material”, with a strong coupling relationship between roots and soil. In the deduction, some numerical methods including the perturbation method, periodic boundary conditions, subsection integral method and divergence theorem, were used to derive the expression of the equivalent stiffness matrix, and the equivalent density of the root-soil composite. The detailed solution to these functions was also given based on the finite element method. The two-dimensional elastic parameters of the root-soil composites were calculated by MATLAB program. The three-dimensional equivalent elastic parameters of the root-soil composite were eventually obtained, where the two-dimensional plane strain problem can be extended to three-dimensional one by additional equations. The calculation accuracy and stability of the present method are better than those of the simplified method, particularly on calculating the three-dimensional constitutive relationship. There was a certain deviation (up to 29.4%) in the calculation of equivalent Poisson's ratioυ, whereas, the calculation errors of other equivalent parameters are less than 7.1%. To illustrate the accuracy and efficiency of the homogenization method in root reinforced slopes, the influence of the’s roots on the stress and strain field of the slope was analyzed based on the finite element software ANSYS. Three types of numerical models were constructed, including the slope model without grass, root reinforced slope with separated root elements, and root reinforced slope based on the present homogenization theory. The slope safety factor was calculated using the strength reduction method considering the penetrated equivalent plastic strain zone or not. The results show that: (1) The asymptotic homogenization theory can accurately construct the constitutive relation of “root-soil” composites, while reduce the calculation work (the element number reduced up to 95.58%). The error ofυhas little effect on the stress distribution of the simulated slopes with homogenized materials. (2)root system can modify the stress field of the shallow slope, indicating more uniform of the shear stress in the root distribution zone. Therefore, the slope stability can be improved. (3) If the slope angle is small (30°), the safety factor of the slope without grass is large (= 4.28). The root system has a small effect on the slope stability (an average increase is only 2.92%). If the slope angle increases up to 45°, the safety factor of the slope without grass reduces to= 2.90, while the averaged safety factor of slopes with grass increases by 13.45%, indicating the dominated reinforcement effect of root system on slopes. These findings can open up a new way to set “root-soil” periodic composites for root reinforced slopes.

slope stability; roots; reinforcement; homogenization theory; finite element method

黃建坤，王學林，及金楠，等. 基于漸近均勻化理論的黃土高原草本植物固土效果模擬[J]. 農業工程學報，2020，36(9)：168-176.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.019 http://www.tcsae.org

Huang Jiankun, Wang Xuelin, Ji Jinnan, et al. Numerical simulation of root reinforcement for herbs in Loess Plateau based on asymptotic homogenization theory[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(9): 168-176. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.019 http://www.tcsae.org

2019-11-6

2020-03-09

國家自然科學基金（31700637）；中央高校基本科研業務費專項資金（2015ZCQ-SB-01）

黃建坤，副教授，博士，主要從事防災減災、水土保持等方面的研究工作。Email：jiankunhuang@bjfu.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.019

TU 441

A

1002-6819(2020)-09-0168-09