動靜轉(zhuǎn)換 化繁為簡

?浙江省寧波市仁愛中學(xué) 王雪君

1 引言

我們常說“動靜結(jié)合”，其實從某種角度而言，動和靜之間并不存在本質(zhì)性的差異，只是所選擇的參照物不同而已.以靜止的物體為參照物，才能體現(xiàn)出其他物體的動態(tài)性.如果以動態(tài)的物體為參照物，那么靜止的物體才是運(yùn)動的.因此可以知道，動和靜之間始終是存在相互轉(zhuǎn)化的.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，我們可以采用動靜結(jié)合的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而降低數(shù)學(xué)問題解答的難度，而且也能夠通過這樣的方式有效提高數(shù)學(xué)問題的實際性解答效果.比如在數(shù)學(xué)問題上，我們可以利用相對運(yùn)動觀念，把原來運(yùn)動的圖形看成靜止的，把原來靜止的圖形看成運(yùn)動的，這樣不僅能為解決問題提供新的手段，往往還能達(dá)到化繁為簡的效果.下面結(jié)合具體實例說明.

2 動靜轉(zhuǎn)換典例分析

例1(2017年浙江舟山嘉興)如圖1所示，一副含30°和45°的三角板ABC和DEF疊合在一起，其BC邊和EF邊重合，且AB和DC相交于點H.現(xiàn)在知道BC邊(即EF邊)的長度為12 cm，G為邊BC的中點.

(1)BH的長度為.

(2)現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針的方向旋轉(zhuǎn)60°，如圖2所示，在三角板DEF轉(zhuǎn)動的過程中，點H移動的距離為.(結(jié)果保留根號)

圖1 圖2

分析：本題第(2)問中點H的運(yùn)動過程比較復(fù)雜，直觀的感受是BH的長度慢慢變短，因此很多人都把初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)算一下就得出了結(jié)果.造成這種情況是因為在運(yùn)動過程中很難看出BH長度變化.但利用相對運(yùn)動的觀念，把三角板DEF看成不動的，三角板ABC繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60°，這樣就很容易看出GH長度的變化是先變小，當(dāng)GH⊥DF時，GH最小，然后再逐漸變大.根據(jù)GH的值，我們可以求出BH的值，于是就很容易得到結(jié)果，問題就轉(zhuǎn)化成了解直角三角形問題[1].

解:(1)如圖3，當(dāng)BC和EF重合時，作HM⊥BC于點M.設(shè)HM=CM=x.

∵∠ABC=30°，∠BCD=45°，

圖3

圖4

(2)如圖4，當(dāng)GH⊥DF時，GH最小，此時BH也最小.作GN⊥AB于點N.

∵∠F=45，GF=6，

∵BG=FG=6，∠ABC=30°，

∴NH=3.

圖5

如圖5，當(dāng)點H和F重合時，

∵GF=BG，

∴∠GBF=∠GFB=30°.

圖6

圖7

點P從點A運(yùn)動到點O的過程中，點Q的運(yùn)動路程為1.

綜上所述，點Q運(yùn)動的總路程為4 cm.

例3(2013年天津)如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-2,0),B(0,4),點E在OB上，且∠OAE=∠OBA.

(1)略；

(2)如圖9，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B，BE′.

②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標(biāo).

圖8 圖9

分析:本題的第(2)問，如果用代數(shù)法解決，會出現(xiàn)兩個二次根式.欲求其最值，在初中階段有一定的難度，顯然考慮用幾何法解決.此題中，點B為定點，線段AE水平向右移動，這種情況學(xué)生也不熟悉，對于標(biāo)答提供的構(gòu)造全等的方法，雖然非常巧妙，學(xué)生卻不易想到.若利用相對運(yùn)動，將線段AE看成靜止的，點B水平向左運(yùn)動，問題就轉(zhuǎn)化成了學(xué)生熟知的將軍飲馬問題了[2].

解:(1)略；

(2)如圖10，過點B作直線l平行于x軸，取點F與A關(guān)于l對稱，連結(jié)FE交l于點B′，顯然AB+BE≥AB′+BB′EEF.

圖10

由A(-2，0)，B(0，4)，

可得F(-2，8)，E(0，1).

設(shè)直線y=kx+b過點F，E，

即直線EF的解析式為

(1)略；

(2)略；

(3)如圖12，現(xiàn)將△BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，當(dāng)∠PBP′=∠OAC，點P的對應(yīng)點P′落在坐標(biāo)軸上時，求P點的坐標(biāo).

圖11

圖12

分析：第(3)問的難度較大，首先，很難判斷具體有幾個點P，然后有些點P的坐標(biāo)也較難計算.當(dāng)△BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，可簡化為線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn).由于點P為拋物線上的點，問題就轉(zhuǎn)化為：整個拋物線繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)∠OAC的度數(shù)與坐標(biāo)軸相交，求交點坐標(biāo).此時很容易判斷這樣的點有三個，同時新的問題也產(chǎn)生了，此時的拋物線解析式如何求.可以說，在初中階段這樣的拋物線的解析式是無法求出的.但利用相對運(yùn)動的觀念，我們一樣可以解決問題.把拋物線看成靜止的，那么坐標(biāo)軸所在的直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)∠OAC的度數(shù)，與拋物線的交點，就是我們要求的點P，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了求直線和拋物線的交點問題，可以輕松解決.

圖13

解:(1)(2)略；

(3)如圖13，將y軸所在直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)∠OAC的度數(shù)交拋物線與點P1.

由∠CBP1=∠OAC，得BP1⊥AC.

3 結(jié)束語

通過上述例題可以看出，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，動和靜之間是相互結(jié)合的，學(xué)生只有把握好動與靜之間的相互轉(zhuǎn)化，才能夠更好地保證動點與靜點之間的有效性結(jié)合，也才能夠更加有效地學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)知識，切實提升數(shù)學(xué)解題能力.