變模數、變壓力角修緣滾刀在齒輪加工中的研究與應用

路興飛，許婷，王博文

（第一拖拉機股份有限公司齒輪廠，河南洛陽471003）

0 引 言

在齒輪滾齒加工中，需驗算滾刀參數及所滾切齒輪的齒頂修緣起始點是否合適，一種是由刀具廠家根據齒輪參數設計專用滾刀，另一種是滾刀代用，減少貴重刀具投入。而對于產品圖樣有齒頂修緣量要求的齒輪，則需要精確計算滾刀所加工齒輪齒頂修緣起始點半徑。通常使用的滾刀與被加工齒輪的法向模數和法向壓力角相同，但有時刀具廠家設計的滾刀為變模數、變壓力角的，給滾刀的驗算帶來一定的難度。本文通過對齒輪嚙合原理及參數轉換方法的研究，利用CAD漸開線展成程序，繪制變模數、變壓力角修緣滾刀所加工齒輪的修緣起始點半徑，并運用迭代運算的方法計算齒輪齒頂修緣起始點半徑。

1 嚙合原理

一對漸開線齒輪或者齒輪與齒條正確嚙合的條件是相鄰兩齒同側齒廓間的法向齒距相等，或者說兩齒輪的基節（法節）應相等，即只要基節相等，采用模數和壓力角不同的刀具滾切的齒輪，就能互相正確嚙合。

設兩齒輪分度圓模數為m1、m2，壓力角為α1、α2，基節相等，則有等式：m1·cos α1=m2·cos α2。若兩齒輪為斜齒輪，分度圓端面模數為mt1、mt2，端面壓力角為αt1、αt2，要正確嚙合，則有mt1·cos αt1= mt2·cos αt2[1]。斜齒輪傳動正確嚙合除滿足上述條件外，其另一個重要參數螺旋角必須匹配。對于外嚙合的斜齒輪，還必須使斜齒輪節圓柱上螺旋角βb1、βb2相等，螺旋線的方向相反[2]。設兩斜齒輪分度圓柱上螺旋角為β1、β2，端面嚙合角為α′，則有tan βb1·cosα′=tan β1·cos αt1，tan βb2·cos α′=tan β2·cos αt2，βb1=βb2，所以tan β1·cos αt1=tan β2·cos αt2。由mt1·cos αt1= mt2·cos αt2得sin β1/sin β2=cos αn2/cos αn1=mn1/mn2，即分度圓螺旋角的正弦與分度圓法向壓力角的余弦成反比，與模數成正比[1]。

2 參數轉換

齒輪滾刀加工齒輪的過程，猶如一對相錯軸漸開線圓柱齒輪的嚙合過程[3]，應滿足一對漸開線齒輪正確嚙合的條件：mt1·cos αt1= mt2·cos αt2；sin β1/sin β2=cos αn2/cos αn1=mn1/mn2。

若要采用變模數、變壓力角滾刀滾切齒輪，齒輪的法向壓力角變成了滾刀的壓力角，相應地改變了其模數和分度圓螺旋角，改變后的齒輪分度圓上的法向弧齒厚及螺旋角與改變前相同直徑處的法向弧齒厚和螺旋角應相等[4]。即通過參數轉換后，相當于已知另一個與滾刀同模數、同壓力角的齒輪參數，可按驗算標準模數滾刀的方法進行驗算。

1）改變后齒輪分度圓上螺旋角β′計算[4]。

式中：αn為改變前齒輪法向壓力角；αn′為改變后齒輪法向壓力角；β為改變前分度圓螺旋角。

2）改變后齒輪分度圓端面壓力角αt′計算[4]。

3）改變后齒輪分度圓法向壓力角αn′計算。由齒輪嚙合原理可知，滾刀法向壓力角αn刀與改變后齒輪法向壓力角αn′相等，即αn′=αn刀。

4）改變后齒輪分度圓直徑d′計算。當采用變模數、變壓力角滾刀滾切齒輪時，齒輪的模數和壓力角變為刀具的模數和壓力角，此時齒輪的分度圓已不再是原來的分度圓，分度圓螺旋角也隨之改變[5]。計算公式為

5）改變后齒輪法向模數mn′計算。齒輪與齒條只要兩者的法節相等就能正確嚙合，則有：P齒輪′=P刀；π·mn′·cos αn′=π·mn刀·cosαn刀。得mn′=mn刀。其中，mn刀為滾刀法向模數。

6）改變后齒輪分度圓法向弧齒厚Sn′計算。由任意圓法向弧齒厚可得

式中：αt′為法向模數為αn′時的端面壓力角；αt為法向模數為αn時的端面壓力角；Sn為改變前齒輪分度圓弧齒厚；z為齒輪齒數。

由上述計算可得改變后齒輪參數：法向模數mn′，法向壓力角αn′，分度圓螺旋角β′，齒數z，分度圓直徑d′，法向弧齒厚Sn′。

3 實例應用

已知齒輪參數：齒數z=33，法向模數Mn=4 mm，法向壓力角αn=20°，分度圓螺旋角β=20°，分度圓直徑d=140.471，頂圓直徑da=149.075，分度圓法向弧齒厚s=6.448。刀具參數：模數M=3.9102 mm，壓力角α=16°，螺旋升角ω=2°40′。滾刀法向齒形如圖1所示。驗算滾齒工序滾刀滾切齒輪的修緣起始點半徑。輪所需截面齒厚s′、分度圓直徑d′、頂圓直徑da=149.075，通過CAD繪圖軟件，利用漸開線應用程序，繪制齒輪展成齒形（如圖2），可得修緣起始點半徑為R73.959，也可以根據漸開線展成圖，得知滾切齒輪的根圓直徑及根切量是否滿足漸開線有效起始長度。經過滾齒滾切齒輪加工驗證，實際加工修緣大小與驗算結果基本一致。9）根據滾刀修緣切削刃與齒輪齒頂修緣尺寸間的關系，求得所滾削齒輪漸開線齒廓上齒頂修緣起始點半徑[6]與CAD展成所得數值進行驗證。

圖2 滾刀滾切輪齒漸開線展成圖

已知滾刀修緣部分的齒廓參數：修緣高hD=4.984，修緣角度αψ=48°。據此可求得齒輪漸開線齒廓上的修緣起始點半徑rk。在齒輪加工行業中，常常遇到根據現有滾刀判斷能否加工出所需齒輪修緣大小的情況。計算公式如下：rk=rcos α/cos{arcinv[hD(tan αψ-tan α)/r+inv(arccos r·cos α/rk)+inv αψ-inv α]}。rk的初始近似值（rk）0＜ra（齒輪齒頂圓半徑）的值代入作迭代運算[6]。通過17次的迭代運算，計算結果rk=73.920與CAD展成所得數值R73.959近似，如表1所示。

圖1 滾刀法向齒形圖

參數轉換計算如下：1）改變后齒輪模數Mn′=3.9102；2）改變后齒輪壓力角αn′=16°；3）由式（1）得改變后齒輪分度圓螺旋角β′=19.53276°；4）由式（2）得改變后齒輪端面壓力角αt′=16.92265°；5）由式（3）得改變后齒輪分度圓直徑d′=136.9161；6）由式（4）得改變后齒輪分度圓法向弧齒厚Sn′=7.4510；7）改變后滾切齒輪所需滾刀軸截面齒厚S′=(Mn′·π-Sn′)/cos ω=4.838478；8）根據計算所得的滾切齒

表1 齒輪齒頂修緣起始點迭代運算表（省略2～15次迭代）

4 結 語

在齒輪滾齒加工中，常常遇到既要保證滾齒切深量、頂隙、根切量，還要保證齒頂修緣量要求，確保齒輪與齒輪嚙合過程中漸開線有效長度滿足產品技術要求，減小齒輪傳動中附加動載荷。標準模數的修緣滾刀可通過齒輪計算和CAD軟件等工具進行計算。而變模數、變壓力角修緣滾刀的驗算相較于標準模數的修緣滾刀復雜，本文通過理論學習與研究，利用變模數、變壓力角滾刀參數轉化的方法及迭代運算的方法，解決了變模數、變壓力角修緣滾刀在齒輪滾齒加工中應用的困惑，使其更好地應用于齒輪生產加工中。