基于GA-BP神經網絡的機床主軸剛度預測研究

田祎軒， 楊慶東

（北京信息科技大學機電工程學院，北京100192）

0 引 言

隨著機床不斷向高精度、高自動化發展，機床剛度已經成為提高加工精度和加工效率的重要因素。為保證工件質量，機床必須具備良好的剛度，而機床主軸作為機床的核心部件，其剛度對于機床剛度而言至關重要。主軸靜剛度是指在切削力的作用下主軸抵抗變形的能力，通常以主軸前端產生單位位移時，在位移方向上所施加的作用力來表示[1]。

在國外，E.Abele等[2]推導出主軸的變形公式；Reddy和Sharan[3]利用有限元模型分析了機床主軸的動態特性；Jiang T和Chirehdast M等[4]通過分析機床整機的有限元模型，對聯結的位置和數量進行優化；國內，徐俠[5-6]研究了傳動力對主軸y向剛度的綜合影響；仇健、劉志強等[7]通過對臥式加工中心主軸靜剛度的仿真和實驗，得出主軸在加載曲線和卸載曲線不閉合的特征，并分析了產生原因及危害；寸花英等[8]建立了一種高性能加工中心主軸-軸承的系統模型。

BP算法擁有簡單、易行、計算量小等優點，但傳統的BP神經網絡算法易震蕩、收斂速度慢，易陷入局部最小值。所以利用遺傳算法（GA）優化BP神經網絡的初始權值和閾值，建立基于GA-BP神經網絡來預測機床剛度，預測精度更高。本文以主軸剛度計算模型獲得的主軸剛度數據為樣本，建立基于GA-BP神經網絡的機床主軸剛度預測模型，可對不同結構機床主軸剛度進行批量、快速、精準預測，具有較強的實用性。

1 機床主軸剛度分析

機床主軸在機床部件中占據重要地位，該部位與機床刀具直接連接，直接影響到機床加工精度。主軸本身結構形式、材料參數、軸承參數等都是主軸部件剛度的影響因素。為完成機床主軸部件的剛度分析，將主軸簡化為如圖1所示的力學模型，計算機床主軸受力情況下的變形情況。

圖1中：a為主軸懸伸量；b為前軸承C1和后軸承C2之間的距離；P為主軸末端承受的載荷。在載荷P作用下，主軸末端變形δ1和軸承受力變形δ2的疊加變形視為主軸系統的總變形δ：即：

圖1 主軸結構簡圖

其中主軸末端變形為

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩（I=（πD4-πd4）/64）；d為主軸內徑（實心時取零）；D為主軸當量外徑，由于主軸的不同軸段外徑不同，可轉化為當量直徑進行計算：

式中，Dn和Ln分別為第n段軸的外徑和長度。

軸承軸向剛度Ka和徑向剛度Kr在軸承預緊后的理論計算公式為：

式中：Z為滾動體數目；α為接觸角；Fa和Fr分別為作用在軸承上的軸向載荷和徑向載荷；db為滾動體直徑。其中前后軸承徑向載荷計算公式為：

式中：R為軸承外載荷；F0為軸承預緊力。

則因徑向載荷產生的前軸承變形：

所以總變形：

主軸剛度：

2 GA-BP神經網絡模型構建

基于遺傳算法的BP神經網絡由BP神經網絡和遺傳優化算法兩部分組成。

2.1 BP神經網絡構建

BP神經網絡主要包含輸入層、隱含層、輸出層三部分，層與層之間通過權值和閾值相連接。隱含層的個數會對神經網絡的計算結果產生影響，理論上，神經網絡計算結果的準確性會隨著隱含層數目的增多而提高，但是過多的隱含層個數會降低神經網絡的運算效率。實驗證明，一個三層的BP神經網絡就可以完成一個完整的從任意輸入層數到任意輸出層數的神經網絡映射[9]。因此，本模型采用三層神經網絡模型，如圖2所示。

由上述主軸剛度建模可篩選影響主軸剛度的主要參數作為神經網絡輸出，該網絡中，x1、x2、x3、x4、x5分別代表主軸懸伸量a、前后軸承間距b、主軸當量外徑D、前軸承徑向剛度Kr1、后軸承徑向剛度Kr2。設置隱含層單元為10。輸出層y代表主軸剛度。迭代次數設置為1000，學習速度為0.01，均方根誤差為0.001，其余參數均使用默認值。

圖2 神經網絡結構圖

2.2 GA-BP神經網絡構建

BP神經網絡的學習算法是基于梯度降低的，這種方法存在局部最優問題，容易使問題的解陷入局部極值[10]。并且BP神經網絡的初始權值和閾值是隨機給定的，也無法通過確切的方式獲得。具有全局搜索能力的遺傳算法能夠克服傳統BP算法的問題，并且可以獲得優化后的權值和閾值，提升了BP神經網絡的性能[11]。遺傳算法最初由J.H.Holland在1962年提出，它是模擬達爾文的自然選擇和遺傳選擇的生物進化過程的數學模型[12]。遺傳算法優化的BP神經網絡主要有以下步驟：1）編碼權值和閾值，獲得初始值；2）隨機產生一個種群；3）以期望輸出值與網絡輸出值的誤差（Eg）的倒數作為適應梯度fg[13-14]；4）復制適應度較高的個體；5）通過對個體的交叉和變異產生新種群；6）重復步驟2）、3），直到滿足終止條件，遺傳算法結束；7）利用遺傳算法得到最佳初始權值和閾值，并讓神經網絡利用此最佳值進行訓練。

GA-BP神經網絡的構建流程如圖3所示。其中左側為未經優化的BP網絡部分，右側為遺傳算法部分。

圖3 BA-BP神經網絡構建流程圖

由2.1節分析可知，BP神經網絡拓撲結構參數如表1所示。

表1 BP網絡結構參數

設置遺傳算法迭代次數為100次，種群規模為50，采用幾何規劃排序選擇法選擇適應度較高的染色體，選擇函數參數為0.09，采用算術交叉方式，交叉函數參數為2，變異函數選擇非統一變異函數，參數為[2 100 3]。

3 主軸剛度預測

根據本文第一部分機床主軸剛度分析模型，收集到30組主軸結構數據，并計算得到主軸剛度。為保證模型驗證的準確性，選取的主軸結構為兩點支撐的實心主軸，材料為45鋼，彈性模量為206 GPa，主軸剛度預測模型部分樣本如表2所示。

表2 主軸剛度預測模型部分樣本

選取25組數據為訓練樣本，5組數據為測試樣本，以主軸懸伸量a、前后軸承間距b、主軸當量外徑D、前軸承徑向剛度Kr1、后軸承徑向剛度Kr2為輸入，以主軸端部剛度K為輸出，對剛度進行了未經遺傳算法優化的BP神經網絡預測和經過遺傳算法優化的GA-BP神經網絡預測，預測結果如表3、表4所示。

表3 BP網絡預測結果

表4 GA-BP網絡預測結果

由表3可得，未經遺傳算法優化的BP神經網絡預測最大絕對誤差為-23 N/μm，最大相對誤差為10.09%，平均相對誤差為7.52%。

由表4可得，經過遺傳算法優化的GA-BP神經網絡預測最大絕對誤差為11 N/μm，最大相對誤差為5.14%，平均相對誤差為3.69%。結果表明，經過遺傳算法優化的BP神經網絡的預測結果優于普通BP神經網絡預測結果，故采用GA-BP神經網絡模型預測機床主軸剛度穩定性和精度更高。

4 模型實例驗證

為驗正預測模型的準確性，選取一主軸借助ANSYS軟件對該主軸進行了仿真分析。

已知該主軸材料為45鋼，彈性模量為206 GPa，截面慣性矩I=1.256×10-7，a=75 mm，b=190 mm，當量外徑D=40 mm。主軸末端施加P=1500 N的載荷，前軸承徑向剛度kr1=250 N/μm，后軸承徑向剛度kr2=280 N/μm。根據GABP神經網絡預測得主軸剛度為215.52 N/μm。

根據機床主軸尺寸進行SolidWorks建模，將模型導入到Workbench軟件當中，以四面體實體單元對該主軸進行網格劃分，劃分單元的大小為0.272 mm，共計126 689個節點，57 316個單元體。將軸承簡化成帶阻尼的彈簧，忽略阻尼影響，在主軸末端X方向施加P=1500 N的載荷。解析結果如圖4所示。

由分析結果可知，機床主軸的X向最大變形為7.4821 μm，剛度為200.48 N/μm，相對GA-BP模型預測結果的誤差為6.98%。因此，GA-BP主軸剛度預測模型可用于主軸剛度預測。

5 結 論

構建了一種神經網絡模型，預測機床主軸剛度，采用遺傳算法優化BP神經網絡的初始權值和閾值，以主軸關鍵結構為輸入，主軸末端剛度為輸出，在MATLAB中訓練神經網絡，并對GA-BP網絡和BP神經網絡預測結果進行對比。結果表明，采用遺傳算法優化的GA-BP神經網絡預測結果更準確，穩定性更高。用主軸的有限元分析結果對GA-BP神經網絡預測結果進行了驗證，實驗表明，該神經網絡預測模型可用于主軸剛度的準確、快速預測，對主軸剛度計算具有理論指導意義。

圖4 主軸仿真結果