超深層碳酸鹽巖儲層孔隙彈性動力學起裂規律

韋世明 夏陽 陳勉 盧運虎

1. 油氣資源與探測國家重點實驗室；2. 中國石油大學(北京)石油工程學院

0 引言

超深層碳酸鹽巖地層埋深超過6 000 m，儲層裂縫發育，鉆進過程易發生漏失。為保證不發生地層流體侵入和井噴，故要求鉆井液密度大于地層壓力當量密度，并在鉆井液中加入可酸溶暫堵劑，堵住漏失點。在堵漏劑承壓能力足夠的情況下，必須保證鉆井液不會壓裂地層。

以往對于井壁破裂壓力的計算沒有考慮到井眼周圍應力場的時變特性，而且忽略了井筒與地層的流動耦合。井壁破裂模式主要可以分為H-W模式和H-F模式。Hubbert和Willis［1］在1957年通過三軸壓縮實驗總結出了H-W模式，Matthews和Kelly［2］在1967年提出的修正H-W模式，引入了骨架應力系數代替經驗性的上覆壓力系數，但骨架應力系數的使用需要大量的實際壓裂資料，因此限制了此方法的應用。1969年，Eton［3］認為上覆壓力梯度隨井深變化，并將地層看作是平面應變問題求解，在H-W模式中引入了泊松比。Anderson［4］在1973年將Biot彈性多孔介質理論引入到井壁問題分析，使用有效應力系數修正孔隙壓力的影響，同時，Anderson首次提出由測井資料計算破裂壓力。Stephen［5］在1982年首次考慮構造應力對破裂壓力的影響。以上均是在H-W模式的基礎上進行修正，其最大的限制因素就是沒有考慮巖石抗拉強度的影響。黃榮樽［6］在1984年提出了黃氏模型，模型中引入了兩個水平方向的構造應力系數，并考慮了巖石抗拉強度的影響。黃氏模型與H-W模式形式上相同，因此可以歸為H-W模式的一種。HW模式始終沒有考慮滲流對破裂壓力的影響，Haimson與Fairhurst［7］在1967年提出的H-F模式結合了有效應力與滲流的影響，認為井內流體壓力的變化將引起井壁應力狀態發生變化，當井壁應力超過巖石抗拉強度時發生破裂。

在鉆井過程中，新地層被瞬間揭開后，井壁上的應力狀態瞬間發生變化，由此引起的井壁載荷變化將以彈性波的形式向地層內部傳遞［8-10］；同時，井內流體也將與地層發生滲流作用。本文使用Biot孔隙彈性動力學理論，采用H-F模式，將地層中的滲流看作是不穩定滲流，研究了不同井底壓力引起的井周應力場變化規律，以及井壁的破裂響應規律。

1 物理模型

圖1是本文研究問題的物理模型，井眼形成后，在井壁上施加的載荷以彈性波的形式向地層內部傳播，井壁上的載荷為井內液柱壓力pw，在實際鉆井過程中隨時間發生變化。

圖1 處于兩向應力狀態下的井眼—地層模型Fig. 1 Borehole-strata model in the state of two-dimension stress

考慮地層為平面應力狀態，且兩個水平主應力不相等，取水平主應力方向為x-y軸，最大水平主應力與最小水平主應力分別為 σH, σh，原始地層壓力為p0。

2 數學模型

根據Biot孔隙彈性動力學理論［11］，假設井眼周圍的介質為均質且各向同性的固體-流體的兩相系統，則應力張量 σij和平均孔隙壓力p為(本文采用拉為正、壓為負的記法)

其中

式中，?為梯度算子；G為巖石的剪切模量，MPa；?為孔隙度；K、Ks、Kf分別為干巖石、巖石骨架顆粒和孔隙流體的體積模量，MPa；Ku為飽和流體的巖石體積模量，MPa；分別為巖石內部一點處的固體、流體的位移向量，m；δij為克羅內克符號，當i=j時，δij=1，否則δij=0；eij為應變分量；ui為固體位移分量，m；ui,j為位移導數，即ui,j=ui/xj，uj,i=uj/xi，xi與xj為坐標系；α為有效應力系數。

根據孔隙彈性動力學理論，孔隙流體流動的連續性可由耦合平衡方程表示。考慮孔隙流體的流動，Biot理論控制方程的位移形式為［12］

式中，ρs、ρf分別為巖石骨架的密度和孔隙流體的密度，kg/m3；v為巖石泊松比，k為巖石滲透率，μm2；μ為流體黏度，mPa· s 。

3 模型求解

圖1所示問題直接求解較為困難，故將其分解為一種軸對稱和一種非軸對稱問題［13-15］，分別進行求解后再疊加，這在很多問題中都可以起到降低求解難度的目的。

3.1 問題分解

遠場應力可分為兩部分：兩向相等應力作用的軸對稱模式和不等應力作用的非軸對稱模式。(0)模式為軸對稱模式，(2)模式為非軸對稱模式。對式(3)和式(4)進行拉普拉斯變換，消去時間項，之后根據Xia等的推導結果［16］，兩種應力模式疊加問題的拉氏空間解為

求解式(3)、(4)可以得到兩種模式中的解為

其中

式中，s為拉氏空間內的時間具有時間量綱，時間已被換成了無因次時間，當無因次時間為1時，對應的真實時間為2.87×10?5s。

將式(9)～(14)代入到式(6)～(8)即可得到圖1所示問題的解。

3.2 初始和邊界條件

在井眼被瞬間鉆開的極短時間內，鉆井液內的暫堵劑將對井壁進行封堵，在地層被壓裂之前，鉆井液在井眼與儲層間保持緩慢滲濾，故可將內邊界看作是定壓邊界。

在所建極坐標下，邊界條件以增量形式，在拉氏空間表示為

初始條件為

式中，σrr、σθθ分別為徑向、切向的正應力，MPa。

由以上邊界條件和初始條件，使用Stehfest算法［17-18］進行反演即可得到真實時間域的應力場和孔隙壓力場。

3.3 破壞準則

文中采取“拉為正、壓為負”的記法，故隨著井底壓力和時間進行，地層中各點的第三主應力將最先變為正值。第三主應力可以寫作［19］

取破壞函數為σFailure，當σFailure>0時地層起裂

式中，σ3為地層最小主應力，MPa；St為巖石抗拉強度，MPa。

4 結果及討論

選取塔河油田的一口深井的地層參數，具體參數見表1。

表1 所選地層的參數［20］Table 1 Parameters of the selected strata

4.1 井周應力場分布

選擇井底壓力90 MPa，研究近井周圍地應力隨時間變化規律。圖2給出了不同時間下井周應力分布，井周應力均采用原始平均地應力進行了無因次處理。由圖2可知，徑向正應力最大值始終在0°方向最大，周向正應力在90°方向最小，切向應力在45°方向最大，這與彈塑性力學求解結果相同［21］。但是，隨著時間的進行，井壁上的載荷變化向地層中傳遞，近井處的應力場變化明顯。

4.2 不同井底壓力對起裂的影響

選擇不同的井底壓力，研究它們引起的最大水平應力值在不同時刻的變化，選擇最容易發生破裂的點，即最大主應力方向井壁處，得到圖3。由圖3可知，隨著時間的進行，井壁處的破壞函數逐漸增大，當井底壓力達到135 MPa時，井壁在tˉ=105時起裂；當井底壓力增大到150 MPa時，井壁的拉應力迅速增大，在tˉ=64時即發生起裂。故增大井底壓力，不僅可以使井壁起裂，當井底壓力達到破裂壓力后，繼續增大井底壓力將加速井壁起裂。

圖2 不同時刻井周應力分布Fig. 2 Stress distribution around the well at different time

圖3 危險點的破裂函數Fig. 3 The rupture function in the peril point

4.3 巖石彈性參數對起裂的影響

為了方便觀察井壁破壞程度，將破壞函數進行二值化處理得到式（22），即破壞函數 σFailure大于0時令其為1，小于0時令其為0。

選取彈性模量和泊松比來表征各向同性均質地層的力學性質，圖4、圖5給出了井底壓力150 MPa，無因次時間100（即2.87×10?3s時）不同彈性模量（22、33、44 GPa）和泊松比（0.21、0.26、0.31）情況下的井壁起裂情況。由圖4可知，在選定時間點，井壁在原始最大水平主應力方向均發生破裂，且起裂規模很接近，故彈性模量的變化對井壁起裂產生影響很小。由圖5可知，在選定的時間內，當泊松比為0.21時，井壁沒有發生起裂；泊松比為0.31時，井壁發生起裂的范圍明顯大于泊松比為0.26的情況；由此可知，隨著泊松比的增大，井壁起裂對井底壓力的響應更加迅速，起裂的范圍增大。

圖4 彈性模量對井壁起裂的影響Fig. 4 The influence of elasticity modulus on fracture intiation

圖5 泊松比對井壁起裂的影響Fig. 5 The influence of Poisson's ratio on fracture initiation

5 結論

(1)運用孔隙彈性動力學理論，研究了碳酸鹽巖儲層在鉆進過程中的瞬態拉伸破壞響應。在儲層被鉆開的瞬間，井壁上受到的載荷變化以壓力波的形式向地層內傳播，引起井眼周圍的地應力和孔隙壓力發生明顯變化。

(2)選擇塔河一口井為算例，在鉆開井眼的瞬間，井壁上所受到的最大拉應力尚不至于引起井壁拉伸破壞，但是在很短時間內，隨著時間進行，井壁上的最大拉應力迅速增大，當井內壓力達到135 MPa時，井壁在tˉ=150，即經過4.3×10?3s起裂。

(3)井底壓力越高、地層泊松比越大，井壁的起裂響應越迅速。考慮到所選井的垂深為6 980 m，以及鉆井液在循環過程中的摩阻，由此給出塔河深部碳酸鹽巖油藏在儲層鉆進時，最大安全鉆井液的密度不能超過1.93 g/cm3。如果繼續增大井底壓力，則地層迅速起裂。