彈丸在炮口的狀態參數對地面密集度影響研究

錢林方, 陳光宋， 王明明

(1.西北機電工程研究所， 陜西 咸陽 712099; 2.南京理工大學 機械工程學院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

火炮發射無動力飛行彈丸的地面密集度是衡量中大口徑火炮性能優劣的一個重要指標，影響密集度的主要因素有彈丸在炮口的狀態參數、彈丸參數(物理和幾何)、氣象條件、氣動載荷等隨機誤差。彈丸在炮口的狀態參數由火炮發射過程賦予，理清彈丸在炮口的狀態參數誤差對地面密集度影響，為火炮總體設計提供依據，對提高火炮射擊精度具有重要意義。

火炮射擊精度問題一直是火炮設計和工程應用研究的熱點和難點。眾多的國內外學者在射擊精度方面發表了大量研究成果。例如：韓子鵬等[1]通過建立不同復雜程度的外彈道方程，系統地分析了影響彈丸落點分布的因素，并給出了炮口狀態參數對射擊精度影響的物理解釋；郭錫福[2]對遠程火炮射擊精度的計算分析模型、影響因素、試驗技術等進行了深入研究；王寶元[3]討論了影響火炮射擊密集度的因素，并歸納了火炮武器型號研制和提高射擊密集度所采取的技術措施；芮筱亭等[4]基于最大熵法對武器系統的射擊密集度進行了分析，結果顯示，彈丸落點的分布為具有偏態性質的類正態分布；張領科等[5]計算分析了點火具點火延遲時間、底排裝置工作時間和底排藥劑部分脫落質量偏差對射程散布影響；曹寧等[6]利用逐步回歸法研究了彈丸初速、質量和偏心距等因素對火炮射擊密集度影響；張海燕等[7]基于拉丁超立方試驗設計方法和極差分析法進行了射擊密集度靈敏度計算，分析了結構參數對射擊密集度的影響規律；王瑞林等[8]研究了高、低射擊頻率對射擊精度的影響；王麗群等[9]提出一種面向指標要求的隨機因素參數區間計算方法，在給定密集度指標的前提下，給出了最終的優選參數方案；李建中等[10]分析了影響彈丸起始擾動的重要參數，重點研究了彈丸質量偏心對大口徑火炮射擊精度影響；Qian等[11]采用基于統計信息的區間方法分析了彈炮耦合系統的不確定性傳播問題。在國際上，國際彈道會議以及相關的其他會議和學術論文等對火炮射擊精度相關的理論和技術進行了探討，例如：Dursun[12]探討了炮架剛度、彈丸初速和制造公差等對彈丸散布影響；Rabbath等[13]通過比較樣本標準差置信區間的假設檢驗方法來評估火炮的射擊精度；Khalil等[14]利用基于工程算法的火箭彈、導彈、炮彈快速設計平臺PRODAS軟件建立了M107型155 mm彈丸6自由度的發射動力學模型，分析了彈丸質量、初速、炮口擺角與偏角對射擊精度影響。國內外眾多的研究和取得的成果對認識和深入研究火炮射擊精度提供了重要的幫助，也為進一步提高火炮射擊精度奠定了良好的基礎。

近年來，不確定性問題逐漸成為國內外學者研究的熱點，開展了深入廣泛的研究，發展了多種不確定性量化和分析方法，例如概率方法[15-16]、非概率方法[17-18]、混合方法[19-21]等，這些方法為解決工程中的具體問題提供了有效途徑。最近，稀疏網格數值積分(SGNI)方法被成功引入到不確定性傳播分析中，并取得了較好的效果[22-23]，它是基于一種特殊的張量積法則，通過低階積分點的嵌入式配置方法，在多變量空間構建高階的積分點，形成積分精度較高的SGNI點，有效避免傳統高維積分法因維度較大而引起的“維度災難”問題。

本文基于6自由度剛體外彈道方程，考慮無動力飛行彈丸參數和炮口狀態參數誤差影響，采用SGNI獲得彈丸落點的統計特性參數，在此基礎上利用最大熵估計方法，獲得彈丸落點散布的統計特性。最后，通過與蒙特卡洛方法對比驗證了本文方法的有效性，并利用本文方法計算分析了某155 mm加榴炮的地面密集度。

1 剛體外彈道方程

將彈丸視為空間運動的剛體，則彈丸有6個自由度。定義慣性坐標系為Oixiyizi，彈體坐標系為Opxpypzp，其中Op為彈丸的幾何中心點，Opxp沿彈軸方向，Opypzp平面垂直于Opxp，則彈丸的運動可用Opxpypzp相對Oixiyizi的3個平動位移量u和3個角度位移量ψ描述，相應速度量分別為v和ω，加速度分別為a和ε.

為推導動力學方程方便，令

(1)

彈丸運動關系可表示為

(2)

彈丸運動的虛功率方程可表示為

(3)

由外彈道理論可知，作用在彈丸上的合外力f包含了阻力fx、升力fy、馬格努斯力fz、哥氏力fk和重力fg，則合力f為

f=fx+fy+fz+fk+fg.

(4)

作用在彈丸上的合外力矩t包含了靜力矩tz、赤道阻尼力矩tzz、極阻尼力矩txz、馬格努斯力矩ty，則合外力矩t為

t=tz+tzz+txz+ty.

(5)

(2)式代入(3)式，根據變分原理可得彈丸動力學方程為

(6)

F=DTQ.

(7)

(6)式中左端兩項均為慣性力，其中：第1項為主慣性力，與加速度有關；第2項為附加慣性力，包括離心力、哥氏力等。

2 彈丸落點統計參數的求解

2.1 基于SGNI的彈丸落點統計矩求解

考慮上述參數影響，無動力飛行的彈丸外彈道方程可表示為

(8)

式中：t為彈丸飛行時間。

隨機初始條件為彈丸在炮口的狀態參數

(9)

為分析參數誤差對彈丸落點分布的影響，需要根據已知隨機參數ξ的聯合概率密度函數fξ(ξ)求解方程(8)式獲得彈丸落點的概率分布。記彈丸落點的縱向和橫向位置分別為x=g(ξ)和z=h(ξ)，彈丸落點中心矩即是對地面密集度的衡量。以縱向落點分布為例，落點分布的e階原點矩μe與中心矩ce分別為

(10)

(11)

式中：Ωξ為隨機參數ξ的空間。由前4階統計矩轉化而來的均值μ、標準差σ、偏度τ和峰度κ分別為

(12)

(13)

對于上述積分點，相應的積分權重可根據Smolyak方法[25]計算：

(14)

(15)

ωi(ξ)=(ξ-ξ1)(ξ-ξ2)…(ξ-ξi).

(16)

2.2 基于最大熵原理的彈丸落點分布估計

最大熵原理[26]可以描述為在給定部分信息推斷概率分布時，所有可能的分布中存在一個使信息熵取最大值的分布，該分布是最小偏見的。文獻[27]對常見分布的最大熵估計進行了推導和證明，并給出了一般分布的最大熵估計求解方法?？紤]到彈丸落點服從類正態分布[4]的特性，可利用該方法對彈丸落點分布進行估計。

以縱向落點x=g(ξ)分布為例，定義彈丸落點參數x的信息熵S為

(17)

式中：fx(x)為彈丸縱向落點的概率密度函數；Ωx為積分空間。

將落點分布的前r階中心矩(本文中取r=4)作為信息熵約束條件，則可建立如下求解fx(x)的優化模型：

(18)

(18)式為等式約束優化問題，可采用拉格朗日方法進行變換，定義如下形式的拉格朗日函數：

(19)

式中：λe(e=0,1,…,r)為拉格朗日乘子。令(19)式對fx(x)求導等于0，則滿足最大熵原理的fx(x)[27]可表示為

(20)

將表達式(20)式代入約束方程可得如下非線性方程：

(21)

(21)式中待定系數λe與方程數相同，理論上存在一組最優解，通常將(21)式的非線性方程轉化為無約束優化問題來求解，定義誤差函數最小，即

(22)

式中：λ={λ0,λ1,…,λr}T.

為確保上述優化問題能夠得到較為準確的解，本文利用遺傳算法和序列二次規劃的方法進行求解，以此來滿足全局搜索和局部精細求解的目的。先通過遺傳算法求解(22)式，并將計算得到的結果作為初始值，利用序列二次規劃方法計算獲得最終的解。計算落點統計矩和概率分布的流程如圖1所示。

3 算例分析

以某155 mm加榴炮為研究對象，分析最大射程的彈丸落點散布，最大射程角為51°.

圖1 計算流程Fig.1 Flowchart of computation

3.1 有效性驗證

由于難以獲得彈丸落點分布統計特性的解析解，為了驗證本文方法的有效性，本文將蒙特卡洛方法的計算結果作為參考解。采用稀疏網格積分的精度水平取k=2，根據前文的推導，n=11個參數的總積分點數N=2n2+2n+1=265. 計算得到的彈丸落點縱向和橫向概率密度函數(PDF)如圖2和圖3所示，落點參數的統計值如表2所示。從計算結果可看出，本文方法和蒙特卡洛方法獲得的落點統計分布特性吻合得很好，從而驗證了本文方法的有效性。

表1 彈丸不確定性參數

圖2 落點縱向分布Fig.2 Longitudinal dispersion of projectiles

3.2 彈丸在炮口的單狀態參數影響分析

本節考慮7個炮口狀態參數單獨作用對彈丸落點密集度影響。參考文獻[3]和型號研制工程經驗，將參數范圍進行適當放大，給定炮口狀態參數的均值和均方差的范圍如表3所示；彈丸參數的統計特性與表1所示相同，在具體分析中也可根據不同型號火炮的特點確定對應的參數范圍。采用稀疏網格積分的精度水平取k=2，根據前文的推導，單變量的積分點數N=2n+1=7. 炮口狀態參數誤差與地面密集度的影響呈近似二次關系，為此，建立如下所示的炮口單狀態參數均方差和落點均方差二次形式的參數化模型：

圖3 落點橫向分布Fig.3 Transverse dispersion of projectiles

表2 落點統計特性

Tab.2 Statistical parameters of projectiles dispersion

方法方向均值/m均方差/m偏度峰度計算次數本文縱向30185148.8-0.05062.7656265方法30182146.8-0.06903.02998000蒙特卡縱向30183147.2-0.01542.988110000洛方法30182147.8-0.02412.975815000本文橫向1214.751.7-0.01012.9960265方法1214.051.80.03772.99108000蒙特卡橫向1214.151.70.03773.013810000洛方法1214.251.80.00283.003415000

表3 彈丸在炮口的狀態參數

(23)

(24)

(25)

根據炮口單狀態參數影響的數據，通過擬合得到各個模型系數如表4和表5所示，其中R2為擬合模型的可決系數。將(23)式、(24)式分別繪制成曲線得各炮口狀態參數均方差對彈丸落點縱向和橫向地面密集度Axi和Azi的影響規律，如圖4～圖10所示。

表4 模型(23)式的系數

表5 模型(24)式的系數

圖4 初速均方差對地面密集度影響Fig.4 Effect of σv0 on ground dispersion

圖5 高低擺角均方差對地面密集度影響Fig.5 Effect of σφv on ground dispersion

圖6 方向擺角均方差對地面密集度影響Fig.6 Effect of σφa on ground dispersion

圖7 高低擺角速度均方差對地面密集度影響Fig.7 Effect of on ground dispersion

圖8 方向擺角速度均方差對地面密集度影響Fig.8 Effect of on ground dispersion

圖9 高低偏角均方差對地面密集度影響Fig.9 Effect of σψv on ground dispersion

圖10 方向偏角均方差對地面密集度影響Fig.10 Effect of σψa on ground dispersion

3.3 彈丸在炮口的多參數變量影響分析

彈丸在炮口的多狀態參數影響的綜合模型可表示為

(26)

(27)

式中：σxi0和σzi0為0階綜合模型，表達式為

(28)

其含義是僅考慮與表1中給定的彈丸參數統計特性時彈丸落點的均方差。

為驗證該模型的準確性，在表3給定的炮口均方差范圍內隨機抽樣5組，將(26)式、(27)式計算得到的結果和稀疏網格法得到的結果進行對比驗證，結果如表6所示。從表6中可看出，(26)式和(27)式的計算結果和稀疏網格的計算結果吻合較好，從而驗證了(26)式和(27)式的準確性和可行性。

表6 彈丸在炮口的狀態參數均方差樣本

(26)式、(27)式對火炮射擊精度設計具有指導作用，當給定彈丸最大射程密集度指標xi和zi時，(26)式和(27)式轉換成由7個變量構成的空間超曲面方程fxi()=xi和fzi()=zi，火炮總體密集度設計的任務是根據給定的最大射程密集度要求xi和zi，設計一組火炮關鍵參數，確保彈丸在炮口的狀態參數誤差i的綜合作用滿足條件fxi(i)≤xi和fzi(i)≤zi.

以最大射程xi,max=30 km，縱向地面密集度Axi=1/300為例，由密集度計算公式反求彈丸縱向落點的均方差

(29)

另外，將表4中的模型系數帶入(28)式得到僅考慮表1中給定的彈丸參數分布特性時彈丸縱向落點的均方差

(30)

式中：σxi0占(29)式均方差σxi的36%，此時，彈丸在炮口的狀態參數分布導致的彈丸縱向落點均方差占64%.

4 結論

本文考慮了彈丸在炮口的狀態參數誤差影響，采用SGNI方法獲得了落點散布的統計特性參數，并利用最大熵估計方法獲得了落點散布的概率密度函數；重點分析了彈丸在炮口的狀態參數誤差對地面密集度影響規律，其結果可為火炮總體設計提供理論指導。根據理論分析和數值仿真結果，得到如下主要結論：

1) 通過與蒙特卡洛方法計算的統計矩和概率密度對比，驗證了本文方法求解彈丸落點統計矩及其概率密度的正確性和有效性。

2) 通過炮口單狀態參數對地面密集度影響分析，除了初速誤差外，炮口其他6個參數的誤差對地面密集度均有影響，而且其影響近似呈二次規律。

3) 通過炮口多狀態參數對地面密集度影響分析，建立了彈丸在炮口的狀態參數均方差與彈丸落點均方差之間的綜合映射模型，該模型可為火炮射擊密集度的總體設計提供理論指導。

4) 若以射程30 km，縱向地面密集度1/300為指標要求，則彈丸參數ξp對縱向地面密集度的貢獻約為36%，彈丸在炮口的狀態參數ξ0對縱向地面密集度的貢獻約為64%.