梁的疲勞開裂各向同性彎曲損傷分析

王天風 盛冬發，* 董春雷 齊榮慶

（1.西南林業大學土木工程學院，昆明650224；2.西南林業大學材料工程學院，昆明650224）

0 引 言

疲勞失效是機械工程領域中一類十分普遍的物理現象，它的基本特征為材料在遠低于其靜強度極限的交變荷載的持續作用下，萌生多種類型的內部缺陷（如位錯、滑移、孔洞、微裂紋、應力誘發相變等），并逐步演化成為宏觀裂紋，以及由于裂紋擴展而最終導致結構破壞的過程。

據統計，在現代工業各領域，約有80%以上的結構破壞都是由疲勞失效所引發的，所以疲勞問題在航空工業、交通運輸、能源工業等領域受到越來越多的重視和關注。對于一般的機械結構來說，疲勞失效的過程可以分為裂紋形成與裂紋擴展兩個階段。對于裂紋形成階段多采用損傷力學分析方法，對于裂紋擴展階段多采用斷裂力學的分析方法。疲勞裂紋形成階段的過程，就是損傷演化的過程。人們只需要根據損傷演化發展的規律，就可以把握整個疲勞裂紋形成階段整個過程。因此，損傷力學已成為解釋疲勞裂紋形成階段的主流方法。

就疲勞損傷問題而言，大多數問題可歸結為如何獲取在給定載荷譜下構件的使用壽命問題。將連續損傷力學（CDM）應用到疲勞問題中，得到合理的疲勞損傷演化方程，被認為是預測疲勞壽命最有效的方法之一。許多學者對疲勞損傷演化方程的具體形式進行了研究，代表性的有Chaboche［1］首次系統地將CDM方法應用于疲勞壽命的預測中。Lemaitre［2］根據連續損傷力學理論，提出了一種疲勞損傷演化方程。Kim等［3］發展了Chaboche的損傷演化方程，并用于高溫下鎳基合金的疲勞蠕變壽命預測。Xiao等［4］發展了一個可以考慮平均應力效應的高周損傷演化方程。Bhattacharya等［5］提出了一種估算累積疲勞損傷的連續損傷力學模型，并從熱力學基本原理預測裂紋萌生時疲勞壽命。Wang等［6］提出了一種研究彈性體疲勞損傷行為的連續損傷模型，建立了損傷發展方程來預測給定的名義應變振幅循環載荷作用下的疲勞壽命。Dattoma等［7］提出了一種非線性連續損傷力學模型，能較好地預測復雜載荷作用下的疲勞壽命。Schwab等［8］將連續損傷力學（CMD）模型應用于韌帶蠕變和疲勞來揭示損傷機制，得到韌帶疲勞損傷的機制不同于蠕變損傷。楊鋒平等［9］將連續損傷力學應用到疲勞問題中，得到疲勞損傷演化方程可有效地預測疲勞壽命。羅璐等［10］基于連續損傷力學建立了兩種疲勞損傷擴展模型，兩種模型的計算結果與試驗結構吻合良好。

1 疲勞問題的損傷耦合理論

耦合損傷疲勞失效模型的基本方程如下。

1.1 幾何方程

小變形的位移與應變關系為

式中，ui與εij分別為位移與應變分量。

1.2 本構關系

考慮損傷的應力-應變關系為

式中：σij為應力分量；cijkl為無損材料的彈性常數；D為損傷變量，對于各向同性材料，損傷變量可被看作標量，同時，0≤D≤1。

1.3 平衡方程

式中，fi為體積力。

1.4 邊界條件

1.5 損傷演化方程

引入有效應力：

式中，sij為應力偏量分量：

式中，δij為克羅內克符號（Kronecker delta）。

定義為

應用Chaboche和Lemaitre等提出的疲勞損傷演化方程，即：

式中，N代表應力循環次數，a、p和q均為材料常數，取決于材料的疲勞性能曲線。需指出，σe應視為應力循環中的廣義力；而a則是應力比的函數。

2 梁純彎曲損傷模型

圖1所示為梁的純彎曲變形模型。梁的寬度為b，高度為h，假設梁是均質的。在純彎曲載荷作用下材料受到損傷，損傷只在受拉應力區出現，受拉區的損傷為各向同性損傷，并且可以假定沿梁的寬度方向損傷是均勻分布的。由于梁受拉區受損傷影響，承載能力下降，中性軸將向受壓區移動，設y0為中性軸偏離橫截面中心軸線的距離（圖1（a））。

圖1 梁的純彎曲損傷變形模型Fig.1 Damage deformation model of beams under pure bending loads

如果此時梁的平截面假設（Euler-Bernauli假設）仍然成立，則幾何關系（簡稱廣義應變等效條件）為

設受壓區應力為σc，受拉區應力為σt。單向拉伸的損傷變量D為kachanov各向同性損傷變量，應該說明，這里損傷變量D不但和循環荷載作用次數N有關，還和梁截面上任一點y方向的位置有關。根據Lemaitre應變等效性假設，受壓和受拉區應力可分別寫為

以新中性軸zC為參考軸，列力平衡方程：

將式（9）和式（10）代入式（11），可得：

上式表明受損梁中性軸移動的無量綱坐標ξ為材料損傷對中性軸y=-y0的一次矩。將式（9）和式（10）代入式（12），可得：

應用Chaboche和Lemaitre等人提出的疲勞損傷演化方程式（7），并設q=0，參考文獻［11］，可將矩形截面梁疲勞損傷演化規律寫為

這里，Dm(N)為梁底緣在循環荷載重復作用N次后的損傷量。為了表示方便，記利用參考文獻［11］，Dm(N)可表示為

（16a）式也可寫為

循環荷載重復作用N次后梁底緣的應變為

式中，εm(0)為梁底緣在循環荷載重復作用N=0次時的應變。

對于梁底緣Dm(N)=Dc時，矩形截面梁的疲勞壽命為式（18）所示。隨著循環荷載重復次數的增加，梁受拉區的疲勞損傷不斷累積。當梁底緣疲勞損傷值達到損度臨界值Dc時，梁處于疲勞裂紋開始形成、宏觀裂紋開始擴展階段。從理論上說，損傷臨界值Dc=1，但從試驗中發現，損傷臨界值Dc往往沒有達到1裂紋形成階段已經結束。在本文中，取損傷臨界值Dc=0.5。為了從理論上說明整個疲勞裂紋形成階段中疲勞損傷值和循環荷載的重復作用次數N的關系，可以對Dm在[0，0.5]區間上五等分點上取值。

為了說明上面這些公式的應用，并確定這些公式中的系數，可以設計一個簡支的小梁，并在梁的跨中作用循環集中荷載的作用。由于梁的跨度較大，可略去剪力的影響，在跨中截面可簡單視為只受彎矩的作用。根據疲勞實驗循環荷載作用N次后測得的跨中撓度wm(N)，求得梁跨中底緣處的應變εm(N)為

式中：h為梁高；l為梁的跨度。

這樣可以根據疲勞實驗測得的跨中撓度隨荷載循環次數的變化規律，得到梁底緣應變εm(N)與循環荷載重復作用次數N的關系曲線。由式（17）可得到λn與循環荷載重復作用次數N的關系曲線，利用可得到梁由于損傷而產生的中性軸偏移量y0與循環荷載重復作用次數N的關系曲線，也可得到梁的有效慣性矩與循環荷載重復作用次數N的關系曲線。利用εm(N)與循環荷載重復作用次數N的關系曲線取關系曲線中穩定段的斜率。從而應用式（18）可預測矩形截面梁疲勞壽命Nf。

3 純彎曲梁疲勞脆性開裂實例分析

用AC16型瀝青混合料成型50 mm×50 mm×240 mm的小梁試件（彈性模量E=1 800 MPa，強度極限σ=1.2 MPa），在MTS810材料試驗系統上進行三點加載的應力控制疲勞試驗（加載F=0.2 kN，頻率f=10 Hz，半正矢波，溫度T=15℃）。記錄循環加載次數N分別為0、1 500、3 000、4 500、6 000、7 500時的小梁底緣的撓度，并將實驗結果記錄在表1中。

表1 小梁疲勞損傷實驗結果Table 1 Small beam’s fatigue damage measured by experiment

由表1的記錄的實驗結果，應用最小二乘法進行曲線擬合得到小梁跨中撓度wm隨荷載循環次數N變化的關系曲線，可取關系曲線中穩定段的斜率記錄在表2中。首先，選定指數p=4.0［11］，對于不同的Dm，由式（16b）可求得相應的λn；然后，利用式（18）可求得相應的荷載循環次數N；最后，利用利用式（17）得到相應的梁跨中底緣的撓度wm，并將上面理論計算的結果記錄在表2中。這樣，可樣理論上可以得到小梁跨中撓度隨荷載循環次數變化的關系曲線。從圖2中理論計算結果和實驗結果比較可以看出，理論解與實驗解比較接近。

表2 小梁疲勞損傷的發展規律Table 2 The law of fatigue damage rule of small beam

圖2 梁跨中底緣應變與荷載循環次數關系曲線Fig.2 Relationship between beam midspan strain at the botom and number of load cycles

圖3 給出了小梁跨中底緣的損傷隨荷載循環次數的變化關系曲線。從圖中可以看出，跨中底緣損傷隨著荷載循環次數的增加而增大，當跨中底緣損傷達到0.5時，荷載循環次數達到7 827次，試驗結果的疲勞壽命為7 787次，也比較接近。圖4給出了中性軸偏移量y0隨荷載循環次數變化的曲線，從圖中可以看出，偏移量y0隨著荷載循環次數的增加而增大。圖5給出了有效慣性矩-I隨荷載循環次數變化的曲線，從圖中可以看出，有效慣性矩隨著荷載循環次數的增加而減小。

圖3 梁跨中底緣損傷與荷載循環次數的關系曲線Fig.3 Relationship curve between the damage of midspan at the bottom and number of load cycles

圖4 中性軸偏移量與荷載循環次數關系Fig.4 Relationship curve between neutral axis offset and the number of load cycles

圖5 有效慣性矩和荷載循環次數關系曲線Fig.5 Relationship curve between effective moment of inertia and the number of load cycles

4 結 論

應用損傷力學的理論分析梁的彎曲疲勞損傷的演化并預測其疲勞壽命，通過理論分析和實驗結果的比較，說明本文提出的梁的純彎曲損傷模型應用方便而結果比較可靠。通過實驗得到的小梁跨中撓度隨荷載循環次數變化規律與理論計算的結果吻合，說明本文提出的梁疲勞損傷模型是合理的。圖2-圖4均表明隨著荷載循環次數的增加，梁內的疲勞損傷在不斷地累積和發展，最后發生疲勞破壞。