基于雙層規劃的危險貨物高速公路運輸網絡收費

馮雪松，張路凱

（北京交通大學交通運輸學院，北京100044）

危險貨物是現代工農業生產中的重要原料成分和應用產品，對國民經濟發展起到不可或缺的作用。目前我國道路運輸危險貨物量多達3億t[1]，與此同時危險貨物運輸事故層出不窮，導致嚴重的經濟損失和社會影響。因此，在危險貨物生產運輸經營中控制運輸風險極為關鍵。同時，除監測、封裝、檢驗等常規技術手段外，科學合理地設計運輸網絡是一種有效實現安全目標的管理手段。

按照研究內容領域，危險貨物運輸網絡設計主要分為基本網絡拓撲設計、時間窗影響限制、不確定因素分析以及多式聯運體系等。在基本網絡拓撲設計方面，Taslimi 等［2］對于道路危險貨物運輸網絡進行了綜合優化建模研究，其優化目標包括危險貨物基本運輸網絡設計、應急中心選址以及風險的均衡控制。Kara等［3］提出了基于博弈思想的道路危險貨物運輸網絡設計雙層規劃模型，該模型應用對偶原理進行單層規劃轉換以求解。Marcotte 等［4］在Kara等［3］的研究基礎上進一步引入了收費策略，結果表明考慮收費的風險控制效果更為明顯也更為靈活。在時間窗影響限制方面，Fan等［5］考慮交通管制條件研究了城市區域危險貨物運輸網絡設計問題，其建立的多目標規劃模型采用啟發式算法進行求解。Hu 等［6］分析了交通限制條件的引入以及模型中的多目標、軟時間窗和備選路段。另外，也有學者研究了動態車輛路徑條件下的危險貨物運輸時間窗限制［7］。在不確定因素分析方面，Mohammadi 等［8］考慮不確定條件的影響，對多方式多種類危險貨物運輸網絡的可靠性進行研究，其基本框架為樞紐選址問題。Ghaderi等［9］采用隨機規劃方法對多方式危險貨物運輸網絡進行設計分析，其模型求解中應用了最大似然采樣法、平均近似采樣法及混合采樣法等三類方法對隨機因素條件進行處理。在多式聯運研究方面，Xie等［10］進行了公路與鐵路聯合運輸的優化研究，Bevrani等［11］也深入分析了危險貨物多式聯運網絡的設計問題。

從內容和方法來看，以往研究對問題的場景化假設均較為理想，尤其是對危險貨物運輸網絡中的復雜流量因素考慮趨于簡略，在政府管理部門決策方式上也多為簡單的路段“通”與“斷”，缺乏管控靈活性且難以兼顧運輸企業的運營公平性。鑒于此，該研究以危險貨物高速公路運輸網絡為研究對象，考慮社會車輛與危險貨物車輛混行且存在擁擠效應，參照交通網絡擁擠收費原理［12］，以路段上對危險貨物車輛進行收費作為政府管理部門決策方式，以控制總風險為目標對運輸網絡進行優化。

1 模型建立

該研究選取一定區域高速公路網絡為對象，高速公路一般具備全域監控設施或裝配有多岔口ETC設備等，現有的工程實踐條件足以提供硬件支撐實現基于路段的收費策略，因此可充分研究分析該問題的理論延伸和解析方法。針對一般以下危險性程度的貨物運輸［13］，考慮網絡中既有危險貨物車輛存在也有大量普通社會車輛，二者混行于相同路段上且車輛間存在擁擠效應，并且將危險貨物車輛對社會車輛司乘人員的風險影響納入考慮。優化目標為危險貨物運輸網絡總風險，政府的決策是在部分路段上對危險貨物車輛進行收費，對社會車輛無干預措施。危險貨物車輛在政府決策基礎上自由選擇路徑，社會車輛也自由選擇路徑，最終網絡中所有混行車輛達到均衡狀態，該問題雙層約束特點如圖1所示。

1.1 雙層規劃模型

圖1 雙層約束特點示意圖Fig.1 Illustration for bi-level constraint characteristics

定義模型所需的參數符號，以G=(V，A)表示危險貨物運輸網絡，節點集合為V，路段集合為A。且i，j ∈V，ij ∈A。單個運輸任務起訖點為一個OD對（origin to destination）。上層目標函數為最小化危險貨物運輸網絡總風險Z，見式（1）。式（2）為車輛在路段上的通行時間，采用美國聯邦公路局公路阻抗（bureau of public road，BPR）函數形式［14］。式（3）為社會車輛路段廣義成本，式（4）為危險貨物車輛路段廣義成本，式（5）為路段上對單位危險貨物車輛的收費。

式中：xij1和xij2為決策變量，分別表示路段ij 上社會車輛流量危險貨物車輛流量；ρij為路段ij 周圍暴露人口數；tij(Xij)為路段ij上以混合車輛流量為自變量的時間阻抗函數；ε為路段上社會車輛對于暴露人口的折算系數；μ 為目標函數中車輛通行時間權重系數。

式中：t0ij為路段ij 零流阻抗，即車輛在路段ij 上無擁擠自由流時間；Cij為路段ij通行能力，即路段ij單位時間通行車輛數；α 和β為BPR 函數參數，常用值分別為0.15和4［14］。

式中：Tij1(Xij)為路段ij上以混合車輛流量為自變量的社會車輛路段廣義成本函數。

式中：Tij2(Xij)為路段ij上以混合車輛流量為自變量的危險貨物車輛路段廣義成本函數；θ為收費對于時間成本的量綱轉化系數；τij為決策變量，表示路段ij上對單位危險貨物車輛的收費值。

式中：τmin和τmax分別為網絡中路段上對單位危險貨物車輛收費的最小值和最大值。

下層問題混合車流中不考慮車型對擁擠效應的影響，所有車輛在上層決策基礎上自由選擇路徑并最終達到均衡狀態（user equilibrium，UE）［12］，得到路段流量并反作用于上層目標。相比于常規單類型車輛UE問題，混合UE問題目標函數無法用直觀數學形式表示。均衡狀態下對于任意某個OD 對，車輛所使用路徑的成本相等且達到最小，且Tij1(Xij)與Tij2(Xij)均為嚴格遞增且連續可微的單調函數，因此采用變分不等式來確定混合車輛均衡目標狀態與路段流量形式變分不等式滿足具有兩種車輛類型，需求固定條件下的均衡原則，如式（6）所示：

下層約束條件中，式（7）為社會車輛的路段流量與路徑流量之間關系。式（8）為社會車輛的需求約束。式（9）為危險貨物車輛的路段流量與路徑流量之間關系。式（10）為危險貨物車輛的需求約束。式（11）為路段流量和路徑流量的非負約束。

式（7）～（11）中：fm，rs，1和fm，rs，2為輔助決策變量，分別表示OD對rs間第m條路徑上社會車輛流量和危險貨物車輛流量；qrs，1和qrs，2分別為OD 對rs 間的社會車輛流量和危險貨物車輛流量；δij，m，rs，1表示若路段ij在社會車輛OD對rs間第m條路徑上則其取值為1，否則為0；δij，m，rs，2表示路段ij 在危險貨物車輛OD 對rs間第m條路徑上則其取值1，否則為0。

1.2 最優性分析

在1.1 節雙層規劃模型中，上層問題為政府的路段收費決策，下層問題為混合車輛均衡狀態，整個問題的關鍵在于下層問題中最優混合流量的獲得。同時，對于規劃形式的極值優化問題，一階最優條件（庫恩塔克條件，KKT conditions）是使一組所求解成為模型最優解的必要條件［3］，因此引入拉格朗日乘子構建式（12）～（17）。

則下層優化問題的一階最優條件由式（7）～（17）構成，式（12）和式（15）中的wm，rs，1和wm，rs，2分別為社會車輛和危險貨物車輛的路徑廣義成本。變量λrs，1和λrs，2分別為式（8）和式（10）相對應的拉格朗日乘子，它們的物理意義分別為OD 對rs 間社會車輛和危險貨物車輛的最小廣義成本。從上述條件與變量的形式可直觀看出，下層問題中混合流量最優解的必要性是準確合理的。

2 算法設計

雙層規劃是典型的NP-hard 問題[3]，目前用于求解的常見精確算法有罰函數法、分枝定界法和靈敏度分析法等[15]，啟發式算法中以人工智能算法為主。考慮混合車輛均衡的問題復雜性以及計算效率，該模型應用粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)求解，其對于規劃模型中的函數性質沒有特殊要求。計算中假設每一個粒子的位置表示一種對危險貨物車輛的路段收費方案，下層問題中路段混合流量分配則通過對角化算法獲得。

步驟1：初始化。設置粒子群規模Np，最大速度Hmax，最大迭代次數Γ，以及計算學習因子c1、c2和慣性權重ω的參數c1f、c2f、c1g、c2g、ωmin、ωmax。初始化粒子的位置和速度，φ 為區間(0,1)內隨機數，每一粒子的初始飛行速度取Hn=Hmax· φ，并令迭代次數k = 1。

步驟2：求解下層規劃模型和評價粒子。對于群體中每一個粒子，求解下層規劃模型，獲得流量xij1(g,k)和xij2(g,k)。通過目標函數來評估得到每一粒子相應結果的適用性指標值。

步驟3：最優位置更新。①比較粒子當前的適用性指標值與個體的最優值Opb，若當前適用性指標值比Opb更優，則把當前粒子位置標記為個體的歷史最優位置pgd。②將粒子當前適用性指標值與粒子群體的整體最優值Ogb作比較，如果當前適用性指標值比Ogb更優，則當前粒子的位置即為群體最優位置pQd。

步驟5：令k = k + 1，循環回到步驟2，直到達到最大迭代次數。

下層問題是兩類車輛混合均衡狀態下的變分不等式模型，采用對角化算法進行求解。該算法基于對一系列數學優化子問題的求解，即每次迭代都求解一個優化子問題，每個子問題是一個非線性規劃。在每次迭代中，基于路段已知流量，通過當前結果更新阻抗函數，使之產生一個標準的用戶均衡問題，并求解路段剩余流量［16］。第v次迭代中要求解的規劃問 題 目 標 可 用 式（18）表 示，路 段 流 量Xij，v=(xij1，xij2)v。

步驟1：初始化，設置收斂誤差ξ1和ξ2，執行隨機網絡加載得到初始路段流量Xij,v=(xij1,xij2)v，置迭代次數為v=1。

步驟2.1：計算每一路段上的阻抗，即需求固定的兩類車輛的路段阻抗。

步驟2.2：尋求下降方向，在現有路段阻抗條件下分別尋求兩類車輛對應OD對之間的最短路徑和相應阻抗，利用“全有全無”方法加載，分別得到路段流量。

步驟2.3：流量更新，設置迭代步長為1 v，使用Frank-Wolfe算法進行流量更新。

步驟2.4：若滿足目標函數的收斂要求ξv≤ξ1，則迭代計算停止。否則令v=v+1，轉步驟2.1。

3 實例分析

如圖2 所示，選取天津地區高速公路網為研究對象，該網絡中共有72個節點（計算編號N1至N72）和135 條雙向路段（計算編號L1 至L135）。采用Matlab 編寫算法，設置計算相關參數：粒子群規模Np=15，最大迭代次數Γ=100，學習因子c1f=c2g=2.5，c1g=c2f=0.5，慣性權重系數ωmin=0.4，ωmax=1.4，最大速度Hmax=6。設路段上社會車輛對于暴露人口數的折算系數ε=2，成本量綱系數θ=0.7，τmin=0，τmax=50。

下文對目標權重系數、交通需求量以及危險貨物車輛需求比例對危險貨物運輸網絡優化效果的影響程度進行了分析。

3.1 目標權重系數對優化效果的影響

表1 和表2 給出了網絡總交通需求為2 000，危險貨物車輛占總需求比例為5%時，目標權重系數μ對優化效果的影響。由表1 可以看出，對于任意給定權重系數μ 值，收費后的目標函數值均小于收費前的相應值，收費起到了優化效果。隨著μ 值的增大，車輛總通行時間部分在目標函數中的影響越來越大，當μ≥5 時目標函數值呈現線性增長趨勢，暴露人口數不能在目標函數中明顯反映。

表1 目標權重系數對目標函數值的影響Tab. 1 Impact of objective weight coefficient on objective function value

表2 目標權重系數對收費后帕累托最優狀態的影響Tab.2 Impact of objective weight coefficient on Pareto optimal state after tolling

圖2 天津地區高速公路網Fig.2 Expressway network of Tianjin

危險貨物運輸多目標優化問題在加權條件下，網絡中的車輛總通行時間與總暴露人口數是帕累托改進的兩項要素［2］。由表2可看出，隨著目標權重系數值μ的增大，車輛時間的增加幅度先是逐漸變大，后趨于平穩。其原因是隨著μ 值的增大，車輛時間部分的影響越來越大，到達一定程度后目標函數中主要是車輛通行時間在起作用，再增大μ 對其變化幅度影響不大。網絡總暴露人口數的減少幅度先是逐漸變大，后減小并趨于平穩。其原因是初期隨著μ值的增大，收費對暴露人口數的控制起到了較好效果。后期μ 值過大時，目標函數中暴露人口部分影響極小，不能起到明顯的作用。

3.2 網絡總交通需求對優化效果的影響

表3 和表4 給出了危險貨物車輛占網絡總交通需求比例為5%，目標權重系數μ=0.2時，網絡總交通需求對優化效果的影響。

由表3可知，隨著網絡總交通需求的增大，收費前和收費后的目標函數值都隨之增大。在任意總交通需求條件下，收費后都使得目標函數有所減少，即收費方法是有效可行的。當網絡中車輛總需求較少（少于1 000）時，收費前后目標函數變化較小，這是因為網絡中車輛較少，收費對危險貨物車輛路徑選擇的影響作用較小。

表3 網絡總交通需求對目標函數值的影響Tab. 3 Impact of total traffic demand of network on objective function value

表4 網絡總交通需求對收費后子目標變化的影響Tab.4 Impact of total traffic demand of network on the changes of sub-objectives after tolling

由表4可知，無論網絡總交通需求為多少，收費后網絡中車輛總通行時間增加的百分比都小于總暴露人口數減小的百分比，即收費方法在實用效果上是正確的。隨著總交通需求的增大，車輛總通行時間增加的百分比與總暴露人口數的差距逐漸變小。這是因為網絡中車輛數逐漸增加，目標函數中危險貨物車輛對社會車輛司乘人員的風險部分影響作用趨于明顯。

3.3 車輛比例對優化效果的影響

表5 給出了網絡總交通需求為2 000，目標權重系數μ=0.2時，網絡中危險貨物車輛所占總交通需求比例（0.01、0.05、0.15）對優化效果的影響。由表5 可以看出，隨著危險貨物車輛比例的增大，目標函數值、車輛總通行時間以及總暴露人口數都是增大的。但危險貨物車輛比例從0.01增大到0.05時，目標函數值和總暴露人口數的增大不明顯，這是因為網絡中危險貨物車輛數仍較少，其自身的風險性并未對路段周圍暴露人口和社會車輛司乘人員造成較大影響。危險貨物車輛比例從0.01增大到0.05時，車輛總通行時間有一定的變化幅度，其原因是社會車輛在網絡車輛中占多數，其路徑選擇只要受到影響就將導致一定的車輛總通行時間增加。

表5 不同危險貨物車輛比例下的收費后結果Tab.5 Results after tolling under different propor tion of hazardous materials vehicles

4 結論與展望

在危險貨物運輸網絡優化問題中，相比于傳統網絡設計方法，收費方法具有更強的靈活性和網絡可達性。考慮社會車輛的混行影響更接近外界現實條件，更能確保網絡交通流量結果的準確性，且高速公路現有的工程實踐條件足以提供硬件支撐實現基于路段的收費策略。該研究提出的基于雙層規劃的道路危險貨物高速公路運輸網絡收費問題從實際需求出發，圍繞外界影響和客觀限制因素，應用合理的規劃建模進行網絡優化研究，體現了科學決策的價值作用，相應方法體系可為危險貨物運輸管理部門提供基礎理論依據和工程實踐參考。

同時，該研究所建立模型中的參數設置還不夠完全精確合理，忽略了車型對擁擠效應的影響，對折算系數、量綱系數等參數的設定也較為簡單，不能確保完全反映實際情況，在以后的研究中可進一步與實際結合加以改進。此外，該研究可進一步為危險貨物運輸管理決策支持系統（DSS）開發提供理論架構支撐，進而更為直接地體現決策參考作用。