時域傳輸線方程隨機負載問題多項式混沌分析

楊 蕾，陳韋韋，閆麗萍，趙 翔

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610065)

0 引言

傳輸線是傳遞信息和能量的重要載體，是電子電氣設備的重要組成部分。由于電子設備工作的環境，例如氣候因素[1]、機械因素或者電磁干擾等復雜多樣[2-4]，使得傳輸線連接的負載隨機變化，因此，研究負載隨機問題對于時域傳輸線方程的影響很有必要。

目前,對于隨機傳輸線問題的典型研究方法是蒙特卡羅方法和多項式混沌方法[5]。蒙特卡羅方法主要是通過對隨機模型參數進行大量采樣和實驗來獲得隨機響應[6-8]，該方法的優點在于容易實現，但是同時具有工作量大、計算時間長等缺點[9]，張瑛[10-11]等人利用蒙特卡羅方法分析了傳輸線制造工藝參數隨機變化對傳輸線傳輸性能的影響。多項式混沌方法[12-14]主要是通過隨機變量的概率分布，利用正交多項式混沌對于隨機變量和隨機響應進行展開，結合隨機Galerkin方法將隨機方程轉變為確定性方程組進行求解，進而可以獲得隨機響應[15-16]。程市[17]等人利用多項式混沌方法對傳輸線的加工材料和結構參數隨機不確定性對傳輸性能的影響進行了研究，文獻[18]利用多項式混沌分析方法對傳輸線的高度隨機不確定性對傳輸線響應進行了研究，李湛宇[19]等人利用多項式混沌分析方法對輻射場的不確定變量對傳輸線響應的影響進行分析。但是上述文獻都沒有研究隨機負載對傳輸線響應的影響，所以本文提出利用多項式混沌分析方法對負載隨機不確定性對傳輸線響應的影響進行分析。

本文利用多項式混沌分析方法對時域傳輸線方程隨機負載問題進行分析，并通過實例計算，將多項式混沌分析與蒙特卡羅方法的統計信息結果進行對比來驗證本文方法的正確性和高效性。

1 時域傳輸線方程隨機負載問題的多項式混沌分析

以單導體傳輸線模型為例，含有電壓源和隨機負載的傳輸線電路如圖1所示。

圖1 含源和隨機負載的傳輸線電路Fig.1 Circuit diagram of transmission line with source and random load

傳輸線遠端電阻RL=μL+σLξ，ξ為隨機變化參數，滿足標準正態分布，μL，σL分別為RL的均值和標準差。具有隨機參數ξ的時域傳輸線方程表達式[20]為：

(1)

(2)

式中，l為單位長度電感；c為單位長度電容。

利用標準Hermite正交多項式對電壓響應v(z，t，ξ)和電流響應i(z，t，ξ)進行多項式混沌展開。由于二階展開在大多數情況下是足夠精確的，因此在本文的其余部分中，如果沒有另外指定，則在多項式展開中將忽略高次多項式[18]。

v(z，t，ξ)≈v0(z，t)φ0(ξ)+v1(z，t)φ1(ξ)+

v2(z，t)φ2(ξ)，

(3)

i(z，t，ξ)≈i0(z，t)φ0(ξ)+i1(z，t)φ1(ξ)+

i2(z，t)φ2(ξ)，

(4)

式中，v0，v1，v2，i0，i1，i2是多項式系數，前3個基于標準正太分布的Hermite正交基函數為：

φ0=1，

(5)

φ1=ξ，

(6)

(7)

Hermite內積滿足：

(8)

式中，w(ξ)為隨機變量ξ的概率密度函數；當m=n時，δmn=1，否則δmn=0。

本文以傳輸線第一個方程為例，將式(3)和式(4)帶入式(1)中變換整理有：

(9)

對式(9)使用隨機Galerkin方法進行處理[21]，即使用φm(ξ)(m=0，1，2)和等式兩邊做內積：

(10)

式(10)可表示為：

(11)

式中，m=0，1，2。類似傳輸線第二方程可表示為：

(12)

式中，m=0，1，2。

通過使用上述方法可將式(1)和式(2)轉化為如下形式：

(13)

(14)

式中，

可以看到原問題表達方程式(1)和式(2)將轉換為式(13)和式(14)所示的三導體傳輸線問題，單導體的分布參數與單位矩陣的乘積即為三導體的參數矩陣。

考慮負載邊界條件：

(15)

利用標準Hermite正交多項式對遠端電阻RL(ξ)進行多項式混沌展開，如下：

RL(ξ)≈r0φ0(ξ)+r1φ1(ξ)+r2φ2(ξ)。

(16)

將式(1)、式(2)和式(16)帶入式(15)可得：

(17)

對式(17)進行隨機Galerkin方法處理，即使用φm(ξ)(m=0，1，2)和等式兩邊做內積：

(r0α00m+r1α10m+r2α20m)i0(z，t)|z=L+

(r0α01m+r1α11m+r2α21m)i1(z，t)|z=L+

(r0α02m+r1α12m+r2α22m)i2(z，t)|z=L=

vm(z，t)|z=L，

(18)

式中，αknm=〈φk(ξ)φn(ξ)，φm(ξ)〉=

m=0，1，2。

將式(18)進一步變換整理可得：

(19)

式中，R=r0A0+r1A1+r2A2，

使用多項式混沌分析方法，將隨機負載條件下的時域傳輸線方程式(1)和式(2)轉變為由式(13)、式(14)和式(19)組成的關于電壓響應和電流響應的正交多項式展開系數的確定性方程組問題，即構成了一個三導體傳輸線問題，如圖2所示。

圖2 含源和負載的傳輸線電路Fig.2 Circuit diagram of transmission line with source and load

由文獻[18]可知，利用等效電路圖中三導體傳輸線遠端電壓可以獲得隨機響應電壓的均值和標準差為：

E{v(t)}=v0(t)，

(20)

(21)

2 算例與分析

以圖1所示的含源和隨機負載的傳輸線電路為例，對時域傳輸線方程隨機負載問題的多項式混沌分析進行實例計算，將所得結果與蒙特卡羅方法的計算結果進行對比。

算例1的傳輸線長L=10 cm，半徑r=0.5 mm，遠端電阻RL=μL+σLξ，ξ滿足標準正態分布，均值μL=50 Ω，標準差σL=10 Ω。激勵電壓波形如圖3所示。

圖3 算例1激勵電壓波形Fig.3 Excitation voltage waveform of example 1

計算在該隨機電阻邊界條件下的傳輸線遠端電壓響應的統計信息，如圖4所示。

圖4 算例1傳輸線的遠端電壓隨機分析Fig.4 Random analysis of the far-end voltage of the transmission line in example 1

算例2的傳輸線長L=20 cm，半徑r=0.5 mm，遠端電阻RL=μL+σLξ，ξ滿足標準正態分布，均值μL=50 Ω，標準差σL=10 Ω。激勵電壓波形如圖5所示。

圖5 算例2激勵電壓波形Fig.5 Excitation voltage waveform of example 2

計算在電阻邊界條件下的傳輸線的遠端電壓響應的統計信息，如圖6所示。圖4(a)和圖6(a)分別是算例1和算例2的傳輸線遠端電壓響應的均值對比圖，圖4(b)和圖6(b)分別是算例1和算例2的傳輸線遠端電壓響應的標準差對比圖，其中，灰色線條是100次蒙特卡羅方法的結果，圓圈標注的黑色線條是100次蒙特卡羅方法的統計信息結果，三角形標注的黑色線條是多項式混沌分析方法的統計信息結果，可以看出蒙特卡羅方法的結果和多項式混沌分析的結果一致，同時多項式混沌分析計算時間僅為蒙特卡羅方法的計算時間的9%，說明了本文針對時域傳輸線方程隨機負載問題的多項式混沌分析方法的正確性和高效性。

圖6 算例2傳輸線的遠端電壓隨機分析Fig.6 Random analysis of the far-end voltage of the transmission line in example 2

3 結束語

本文將多項式混沌方法引入到時域傳輸線方程的隨機負載問題中，將隨機負載條件下的時域傳輸線方程轉化為一個關于電壓響應和電流響應的正交多項式展開系數的確定性方程組問題，通過實例計算，將多項式混沌分析的結果與蒙特卡羅方法的結果進行對比，結果顯示2種分析方法對于隨機電壓響應的均值和標準差結果完全一致，同時多項式混沌分析方法的計算時間是蒙特卡羅方法的9%，證明了本文提出的針對時域傳輸線方程隨機負載問題多項式混沌分析方法的正確性和高效性。