差分自回歸移動平均模型在企業物資采購中的應用

張 云

（西安航天動力試驗技術研究所，陜西西安 710100）

0 引言

采購預測是指企業的決策者在商品采購市場上調查取得資料的基礎上，經過分析研究，并運用科學的方法來測算未來一定時期內商品的供求及其變化趨勢，從而為商品采購決策和制定商品采購計劃提供科學的依據，保證供給平衡和利潤最大化的過程。

預測的理論和方法很多，按客觀因素分為定性方法和定量方法，其中定量方法又分為時間序列法、季節性預測和因果分析法。時間序列法是一種統計分析方法，因為歷史數據表現出比較強的規律性，因此可以根據它過去的變動趨勢預測未來。時間序列有4 種變動因素：①長期趨勢，在整個預測期內事物呈現出逐漸增加或漸減的趨勢；②周期變動，以某一時間間隔為周期的周期性變動，如危機和復蘇的交替；③季節變動，以一年為周期的周期變動，如服裝行業銷售額的季節性波動；④偶然變動，除上述3 種情況之外的不規則變動。時間序列法通常對4 種變動因素有側重地進行預處理，從而派生出剔除季節變動法、移動平均法、指數平滑法、自回歸法、時間函數擬合法等具體預測方法。

無論是制造業還是服務業，都在通過降低成本的方法取得更多的利潤。因為采購量決定庫存量，而成本降低的重要手段就是降低庫存，所以合理的采購預測成為降低庫存、增加收益的重要手段。文獻［1］使用梯度方法和拉格朗日松弛法構建了采購預測模型，對采購成本的優化問題做出了一個良好的解決。文獻［2］分析采購預測中存在的問題，并對在按訂單生產中供應鏈遇到的采購預測問題，給出了合理的前提條件和解決辦法。文獻［3］在考慮到所有與采購決策相關的成本的基礎上提出了基于數學規劃的采購預測模型，解決了鋼鐵制造公司軸承采購的預測問題。國內［4］基于小波變換的自回歸移動平均模型為框架，實現時間序列預測在醫用耗材采購管理中的應用。文獻［5］以石油企業物資采購現狀為切入點，對石油企業物資管理現狀信息化制約因素進行分析，提出詳細的信息化購買手段與實施措施。文獻［6］采用基于自回歸移動平均模型，且適用于小樣本情形的建模方法，然后分析政府采購和經濟增長之間的因果關系。文獻［7］構建自回歸移動平均（Autoregressive Moving Average，ARMA）（6，2）模型，并對模型進行白噪聲檢驗及數據擬合，并標明該模型適合預測PMI 的未來走勢。文獻［8］構建了基于分布式系統的醫院物資使用量精準預測方案，并對差分自回歸移動平均（Autoregressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型提出改進方法。文獻［9］先將數據進行卡爾曼濾波處理，再建立自回歸移動平均模型進行迭代預測，對配件需求進行了預測。文獻［10］構建多組ARIMA模型并對模型進行白噪聲檢驗及參數檢驗，提出了相應的幾條政策建議。

上述文獻中，利用或者改進算法提高預測精度在各行各業取得很好的應用。而目前算法的典型做法就是首先需要對數據進行白化操作，使得數據滿足平穩性。但是企業對物資的消耗具有明顯的季節特征，如果消除數據的此種內在特征，其預測偏差比如偏大。本項目根據物資消耗的季節性和延續性特點，設計了縱向和橫向預測模型對數據進行預測，縱向預測模型充分利用了物資消耗的季節特性，而橫向預測模型則考慮消費的趨勢和延續性特點。最后通過兩種預測結果的加權平均，最終實現了物資消耗更準確的預測。

1 模型選擇

時間序列是同一種現象在不同時間上的相繼觀察值排列組成的數字序列。時間序列預測常用的模型分為3 種，分別是回歸（Autoregressive，AR）模型、滑動平均（Moving Average，MA）模型以及自回歸模型和滑動平均模型。AR 模型的預測方式是根據過去的觀測值和現在的干擾值，構成線性組合進行預測，自回歸模型的數學公式為：

其中，p 為自回歸模型的參數，φi（i=1，2，…，p），εt為干擾值，yt為一個平穩時間序列。模型的目的是辨識待定系數φi，然后根據φi進行后續數據的預測。

而MA 模型的預測方式是通過過去的干擾值和現在的干擾值的線性組合預測。滑動平均模型的數學公式為：

其中，q 為模型的階數，θj（j=1，2，…，q）為模型的系數；εt為誤差；yt為平穩時間序列。同樣模型估計就是得到θj。

ARMA 模型，即自回歸模型和滑動平均模型的組合，其數學公式為：

從回歸方程可知，自回歸移動平均模型綜合了AR 和MA 兩個模型的優勢。在ARMA 模型中，自回歸過程負責量化當前數據與前期數據之間的關系，移動平均過程負責解決隨機誤差項的求解問題，因此該模型更為有效和常用。

AR/MA/ARMA 模型適用于平穩時間序列的分析，在現實生活中，存在很多非平穩的時間序列，它們的均值和方差隨著時間的變化而變化，當時間序列存在上升或下降趨勢時，這些模型的預測效果會迅速變差。統計學家們發現，很多時間序列本身雖然不平穩，但是經過差分（相鄰時間點的指標數值相減）之后，形成的新時間序列就變成平穩時間序列了。ARIMA 模型能夠用于齊次非平穩時間序列的分析，這里的齊次是指原本不平穩的時間序列經過d 次差分后成為平穩時間序列。因此，差分自回歸移動平均模型又寫成ARIMA（p，d，q）。其中，p 代表自回歸階數，d 代表差分次數，q 代表移動平均階數。因為其方法可以處理齊次非平穩時間序列，所以有更廣泛的應用。

采購數據的變化和波動不是一個零均值的平穩隨機過程，因此本項目采用多個ARIMA 模型對數據進行處理和預測。

2 分析和驗證

物資的消耗還具有延續性，因為相鄰兩個月的物資消耗變化不會很大。比如項目啟動時會需要特殊的物資，需求會一直延續直到項目結束，這種數據的預測用ARIMA 模型可以取得較好的結果。但是物資采購量具有顯著的季節性特征，比如棉衣，其最大消耗量出現在10 月份到次年的3 月份之間；而白糖消耗高峰則出現在6～8 月。因為需求量隨季節的突變，物資消耗的季節相關性特征使得無論模型如何選擇和優化，直接使用上幾個月的數據進行預測，都無法取得很好的預測結果。本項目中，把預測過程分為兩個獨立的預測模型，然后通過兩種模型預測值的加權平均，得到最終的預測結果。

對歷史采購數據以每年的月份為列，年份為行，構成兩維數據表格。此表中橫向表示了月份變化引起采購量的變化，而縱向表示不同年份中同一個月份采購量的變化。以2008 年開始到2018 年末每月某生活物資的采購量數據為例，可以構成一個11行、12 列的二維矩陣。

2.1 縱向預測

該矩陣中，沿著列的方向縱向看，可以看出每年的1 個月構成一個序列。例如，2008 年1 月，2009 年1 月，…，2018 年1 月的11 個數據構成一個序列。此序列用于預測2019 年1 月的物資采購數據。同理，2008 年12 月，2009 年12 月，…，2018 年12 月的11 個數據構成另外一個序列，用于預測2019 年12 月的物資采購數據。這樣每個月的同比歷史數據構成一個縱向預測序列。該序列主要用于預測物資需求的季節變化，例如2019 年12 月的棉衣量需求的縱向預測，由前11 年12 個月的棉衣量需求進行預測。

2.2 橫向預測

采購數據的增加或者減小是有延續性的，縱向預測僅利用了采購數據的季節特性，沒有反映數據的延續性特征。比如新的項目開始后，物資需求先持續增加，然后衰減，直到項目結束。但項目的啟動或者突發需求從二維矩陣的縱向中得不到任何信息可以預測這種情況。因此再構造一個連續的以每月環比采購量構成的序列，該序列沿著二維矩陣橫向進行預測。表格每行只有12 個數據，當需要取12 月份的下一個月時，該取的數據便是次年的1 月份，就是靠月的自然順序構造序列。例如：2019 年12月的棉衣量的橫向預測，由2019 年8 月、9 月、10 月、11 月，即前4 個月的數據進行預測。

綜上分析，本文對一種物資的采購數據預測由縱向和橫向預測共同構成，根據實際數據分析，選取縱向預測結果的0.6 倍加上橫向預測的0.4 倍構成最終的預測結果。

從單位歷史采購數據可知采購物資數量為一階單整時間序列，因此逐月差分階數d=l。對于非季節自回歸和移動平均階數p 和q，運用Eviews8.0 軟件并觀察序列的自相關函數和偏自相關函數，可以得到最優的模型參數為ARIMA（1，1，1）。

根據2008 年1 月到2018 年12 月、每年12 個月的歷史數據為樣本，建立橫縱向預測模型，并對2019 年1～7 月的采購需求進行預測。其縱向預測、橫向預測、加權結果和實際采購數據結果見表1。

表中可以看出，2019 年6 月橫向預測的結果根據過去數據的變化趨勢，需求量明顯上升，所以橫向預測的結果為9.4。但歷史數據顯示6 月份的需求量僅為6.2，加權后把明顯存在超調的數據拉回到和實際采購量比較接近的水平，這組數據反映了數據的季節性特征。又如2019 年7 月，縱向預測的結果偏小，而橫向預測則根據相鄰的數據預測，可以看出其充分反映了數據的延續性。從表中可以看出，1 月份～7 月份的加權結果最接近實際采購信息，表明了該方法的有效性。

3 結論

本項目的方法充分利用了采購數據的季節特性，利用了橫、縱向兩個模型對采購數據集進行預測，實驗表明該方法明顯優于常規的橫向預測方法。不足之處是需要的計算量變大，需要構造兩個序列進行預測然后再加權平均。但是隨著計算能力的提高，該缺點容易被克服。后續的研究中應該增加人為預警機制，如大項目的啟動時間預警、提前啟動物資采購等，以減少成本并保證供應的時效性。

表1 某物資的預測和實際采購結果 千件