對一次失敗比賽的反思
——在教學中如何詮釋數學的本質

■福建省漳州市第七中學 鄭喜紅

這次比賽我講課的內容是北師版九年級上冊第二章的一元二次方程，這節課教學目標是讓學生學會自如地運用各種方法解方程。在課堂上，我向學生呈現了3種方程的解法——公式法、配方法和因式分解法，并以從簡單到復雜的教學過程來教授一元二次方程的解法：先講解只含有二次項ax2的一元二次方程的解法，再講解含有一次項和二次項ax2+bx 的一元二次方程的解法，最后講解一元二次方程的一般方程ax2+bx+c=0的解法。下面是我的課堂實錄。

一、課堂實錄1：配方法

例1.某牧場試驗基地要建一個長方形羊圈，羊圈的一邊靠墻，墻長50m，另三邊用木欄圍成，木欄總長80m。

（1）羊圈的面積能達到200m2嗎？（精確到1m）

（2）羊圈的面積能達到400m2嗎？（精確到1m）

（3）羊圈的面積能達到450m2嗎？（精確到1m）解：設與墻垂直的一邊長x m，則與墻平行的一邊長（80-2x）m。

∵墻長50m，即0≤80-2x≤50，解得15≤x≤40

∴x1= 37，x2= 3（不合題意舍去）

答：羊圈的面積能達到200m2。

根據課標要求，講解上述例題的教學目標是讓學生了解和掌握用配方法解一元二次方程的過程，而課堂上的反饋也說明學生接受這種解法并不難，于是我讓學生利用配方法解剩下的兩小題，并準備在學生掌握配方法后將課堂知識拓展到一元二次方程幾種解法的對比上。

在講解完例1 后，我認為學生對配方法的認識不應只停留在解一元二次方程這樣粗淺認知上。于是我大膽嘗試，在此時引入二次函數知識（九年級下冊的知識）。

二、課堂實錄2：二次函數

這部分我通過以下5個問題引導學生思考。

1.上面的3 個小題中的200，400，450 可以換成其他數據嗎？

2.把等式中的200，400，450換成y。我們該如何認識y=x(80-2x)呢？它確切說是二次函數，為什么？

3. 只是把數字換成y，你會用配方法解y=x(80 - 2x)嗎？

4.這么配方的依據是什么？配方的方法與一元二次方程異同點是什么？觀察配方結果的式子你可有什么發現，得到什么結論？這結論與一元二次方程的關系是什么？

5.一元二次方程通過配方法你可以得到什么樣的學習經驗？二次函數呢？

三、反思學生的學習過程

雖然學生沒學過二次函數，但有學習一次函數的知識基礎，他們很快認識到隨著x的變化y也變化，且自變量的最高次數為2，這樣的函數可以定義為二次函數。當y= 0 時，經過提醒和類比一次函數，學生可以理解被求解方程的根的幾何意義就是二次函數與x 軸的交點坐標。但在對二次函數y=x(80 - 2x)進行配方時，相比較第1 問的解答，幾乎所有學生都無從下筆，這是最難的點，我認為學生主要是對配方原理摸不著頭緒，在運算時更多的是死記步驟，生搬硬套，換句話說在學習完全平方的公式時會算會化簡，在配方時會依葫蘆畫瓢，但他們對公式本質的認識是割裂的。

對比教學：

以上的對比學習充分說明了配方與完全平方的關系，它們同根同源，只是呈現方式不同而已。課上到這里，時間也到了。當時從學生表現上看，他們覺得這節課的知識并不是很難。可后面的畫風轉變，調動了他們學習的積極性。一節課就此節節盤旋上升，在一個知識點的后面還有一個個小高峰等著他們去挑戰，師生們都一同感覺到解決問題的酣暢淋漓和一節課應該有的充實感。更重要的是從配方法過渡到二次函數，讓學生興奮極了，感覺到配方法有了更深入的應用。

四、結語

我的課題名稱是對一次失敗比賽的反思，比賽過程不在此累述。我對這節課這樣上進行了反思：我本節的教學目標是什么？有否天馬行空，是否有踩香蕉皮滑到哪算到哪？我的教學過程符合教學邏輯嗎？處理教材方式有哪些值得保留。學生的思維有得到培養嗎？他們在學習過程中思維障礙很大嗎？這樣教適用于什么程度的學生呢？在介紹配方法解方程中跨越到二次函數求頂點，若學生順利學會，之前我該怎么教，這節課之后我又該怎么教？這節課的教法顛覆教材、顛覆舊教法。傳統上在教學二次函數是從y=ax2開始，畫圖，說性質，形數結合，漸進到y=ax2+bx，再學習y=ax2+bx+c。深入淺出，步步逼近難點，這樣上，老師心里踏實，一定也是符合學生認知水平。

在這節課后，我通過學生的反饋，發現同學們學得會，問題想得到，思路理得清。應該是在學習函數概念時可以提一次函數，反比例函數，二次函數都是y隨x變化而變化，在學習一次函數時就要突破圖像與性質間的互相說明印證，所以當提出y=x(80 - 2x)是什么函數，學生會答。當y= 0 時學生可以知道它代表函數與x軸交點，但是我們尚未學習任何一種二次函數的圖像，所以，如何說明當y取不同數值時求出的x值是什么意義。同時我還在思考配方法在二次函數中對求二次最值在這可以讓學生自己觀察配方后去思索二次式而生成對二次式子的性質。

但是從配方的結果中我們可以分析不論x取何值形如(x- 20)2是非負數，那么-2(x- 20)2最大值為0，而y=-2(x- 20)2+800的最值是800。那么當y取值400，450 時為什么有的是兩解，有的是無解，在這不做解釋，我們只是通過這樣一節課讓同學們體會配方知識的多姿多彩。