DRO計(jì)算及其在地月系中的攝動(dòng)力研究

吳小婧，曾凌川，鞏應(yīng)奎

（中國(guó)科學(xué)院空天信息創(chuàng)新研究院，北京100094）

隨著深空探測(cè)任務(wù)的開展，有許多不同的關(guān)鍵技術(shù)需要研究，首先需要解決的關(guān)鍵問題就是航天器的軌道設(shè)計(jì)問題。相較于近地空間，深空探測(cè)器所處的引力環(huán)境具有多樣性，不再局限于經(jīng)典的二體開普勒軌道，其基本動(dòng)力學(xué)模型可簡(jiǎn)化為一個(gè)受攝的圓形限制性三體問題（Circular Restricted Three-Body Problem，CRTBP）［1］。在CRTBP中，以地月（Earth-Moon，EM）系為例，由于地月系相較日地系，第二主天體的軌道偏心率更大、太陽作為第三引力體對(duì)地月系的引力影響更強(qiáng)烈，因此地月系三體軌道設(shè)計(jì)將面臨更大挑戰(zhàn)［2］。本文嘗試以地月系為背景對(duì)遠(yuǎn)距逆行軌道（Distant Retrograde Orbit，DRO）設(shè) 計(jì) 做 初 步研究。

DRO屬于圓形限制性三體問題中一類特殊的平面對(duì)稱軌道［3］，其圍繞較小主天體運(yùn)動(dòng)，在會(huì)合坐標(biāo)系中，運(yùn)行方向與主天體的公轉(zhuǎn)方向相反，因此，軌道是逆行的。理想的周期DRO只存在于圓形限制性三體問題中，在實(shí)際力模型中，由于攝動(dòng)力的影響，周期DRO變?yōu)閿M周期DRO［4-5］。當(dāng)這些擬周期軌道受到比其他三體軌道族更大的擾動(dòng)時(shí)，仍能保持穩(wěn)定［6-7］，因此非常適于深空導(dǎo)航組網(wǎng)、中繼通信以及科學(xué)數(shù)據(jù)采集等任務(wù)。

NASA 曾計(jì)劃在其木星冰月軌道任務(wù)（NASA’s Jupiter Icy Moon Orbiter，JIMO）中使用DRO來平衡木星和其衛(wèi)星的引力攝動(dòng)，該任務(wù)原計(jì)劃于2015年左右發(fā)射［8］。NASA的小行星重定向任務(wù)（ARM）曾計(jì)劃捕獲一顆近地小行星［9-10］，并使用低推力航天器將其拖拽到DRO上［11］，由于DRO的長(zhǎng)期穩(wěn)定性，當(dāng)受到如非對(duì)稱引力場(chǎng)、太陽輻射壓以及來自太陽系其他天體的引力等攝動(dòng)時(shí)，在未來的幾十年甚至更長(zhǎng)時(shí)間，小行星都不需要位置保持機(jī)動(dòng)［10，12］。學(xué)者們?cè)诨贒RO的深空探測(cè)方面也做了大量的研究工作。Ocampo和Rosborough提出利用日地系DRO構(gòu)建太陽風(fēng)暴預(yù)警系統(tǒng)的應(yīng)用設(shè)想［13］，介紹了日地系中DRO的幾種類型，并針對(duì)日地系DRO設(shè)計(jì)了脈沖轉(zhuǎn)移軌道。針對(duì)此應(yīng)用設(shè)想，Demeyer和Gurfil研究了從地球到日地DRO的轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)方法［14］；Scott和Spencer利用微分校正法計(jì)算了轉(zhuǎn)移到日地DRO的轉(zhuǎn)移軌道族［15］。Stramacchia等提出利用日地DRO部署天基望遠(yuǎn)鏡網(wǎng)絡(luò)探測(cè)近地危險(xiǎn)小行星的應(yīng)用設(shè)想［16］。徐明與徐世杰提出了將中繼衛(wèi)星布置在地月DRO的設(shè)想［17］，研究了空間雙圓模型下DRO的軌道穩(wěn)定性，并研究了轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)方法。Murakami和Yamanaka基于未來在月球附近建造一個(gè)新的空間站或燃料補(bǔ)給港的設(shè)想，對(duì)在地月DRO上的交會(huì)對(duì)接技術(shù)進(jìn)行了研究［18］。Conte等對(duì)直接從近地軌道（Low Earth Orbit，LEO）轉(zhuǎn)移到火星和采用月球DRO作為中轉(zhuǎn)站轉(zhuǎn)移到火星2種地火轉(zhuǎn)移方式開展了比較研究［19］。這些研究均是在CRTBP模型下，并沒有考慮月球的引力攝動(dòng)。

此外，為了設(shè)計(jì)DRO，Lara用攝動(dòng)分析方法得到了DRO的低階解析解和高階解析解［20］，并利 用 高 階 解 析 解 計(jì) 算 了 DRO 周 期 軌 道［21］。Bezrouk和Parker研究了在長(zhǎng)達(dá)數(shù)萬年的時(shí)間里，地月系中幾個(gè)不同大小的DRO的演化問題［22］。

以上研究主要針對(duì)需要完全放手、長(zhǎng)時(shí)間隔離軌道的任務(wù)，例如火星樣本返回任務(wù)或小行星重定向任務(wù)等對(duì)軌道精度要求不高的任務(wù)，而且高階模型存在形式復(fù)雜和計(jì)算繁瑣等不足。本文針對(duì)需要高軌道精度的深空導(dǎo)航和通信服務(wù)，著重高精度動(dòng)力學(xué)模型的建立，通過數(shù)值方法研究了DRO的設(shè)計(jì)問題。

考慮到設(shè)計(jì)符合動(dòng)力學(xué)環(huán)境需求的標(biāo)稱任務(wù)軌道不僅能有效地節(jié)省軌道保持的燃料［23］，而且可以為在軌導(dǎo)航制導(dǎo)提供理想的參考軌道。因此本文針對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用中標(biāo)稱任務(wù)軌道的設(shè)計(jì)問題，以地月系為背景，研究了DRO的設(shè)計(jì)方法，分析了在實(shí)際力環(huán)境下地月DRO擬周期軌道的軌道特性及主要攝動(dòng)因素。首先，針對(duì)地月DRO的動(dòng)力學(xué)特征，利用構(gòu)造流函數(shù)法求解其周期軌道，并通過周期軌道在地月會(huì)合坐標(biāo)系和地月慣性坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從共振角度對(duì)DRO軌道特性進(jìn)行了分析和總結(jié)；然后，在實(shí)際力模型下，研究地月DRO的主要攝動(dòng)因素，在考慮太陽引力攝動(dòng)和月球軌道偏心率攝動(dòng)的星歷模型中，分析地月DRO的非開普勒特征與穩(wěn)定性。仿真研究表明，構(gòu)造流函數(shù)法可以有效應(yīng)用于DRO的數(shù)值求解，從而擺脫了經(jīng)典微分校正法迭代初值對(duì)近似解析解的依賴，可以在近似解析解失效的更廣大區(qū)域求得DRO周期軌道的數(shù)值解。不同于以往的研究，本文通過不同攝動(dòng)力模型下DRO軌道特性的分析對(duì)比，得到影響地月DRO的主要攝動(dòng)因素及其影響程度，可以為設(shè)計(jì)符合動(dòng)力學(xué)環(huán)境需求的標(biāo)稱任務(wù)軌道提供理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系定義

1）地月會(huì)合坐標(biāo)系O-xyz。在圓形限制性三體條件下的地月會(huì)合坐標(biāo)系O-xyz，其原點(diǎn)在地月系的質(zhì)心O，x軸由質(zhì)心指向月心方向，z軸指向系統(tǒng)角速度方向，y軸與x軸、z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系［24］。

2）地月慣性坐標(biāo)系OE-XYZ。其原點(diǎn)在地球質(zhì)心OE，月球在地月參考平面上繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，t＝0時(shí)刻，地月慣性坐標(biāo)系和地月會(huì)合坐標(biāo)系的軸線對(duì)齊，月球位于＋X軸上［24］。

1.2 圓形限制性三體問題

根據(jù)開普勒定律，假設(shè)地球和月球這2個(gè)主天體都可看成1個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們圍繞彼此作圓周運(yùn)動(dòng)。第3個(gè)小天體航天器，受主天體的引力影響，但不影響主天體的軌道。對(duì)各單位進(jìn)行無量綱化處理，用兩主天體的質(zhì)量和作為單位質(zhì)量，較小主天體的質(zhì)量為m′。對(duì)于地月系，m′＝0.012 150 5。兩主天體間的平均距離無量綱化為1。本文中采用的地月距離為384 400 km。

CRTBP地月會(huì)合坐標(biāo)系會(huì)隨著兩主天體旋轉(zhuǎn)，由于它們之間的距離是恒定的，所以這2個(gè)主天體在會(huì)合坐標(biāo)系中看起來是靜止的。無量綱化處理后，原點(diǎn)位于2個(gè)主天體的質(zhì)心，2個(gè)主天體位于x軸上，較大主天體位于-μ處，較小主天體位于1-μ處，其中，μ＝m′＝0.012 150 5。z軸沿兩主天體軌道的法向，y軸與x軸和z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。對(duì)其進(jìn)行無量綱化處理使得兩主天體的軌道周期為2π。對(duì)于地月系，CRTBP的時(shí)間間隔2π對(duì)應(yīng)于27.28 d。CRTBP的運(yùn)動(dòng)方程 為［24］

式中：

其中：d1、d2分別為航天器到兩主天體的距離；r＝（x，y，z）為航天器的位置向量；v＝（vx，vy，vz）為速度向量。

CRTBP方程（1）有一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，被稱為雅可比積分：

式中：

雅可比積分實(shí)際上是質(zhì)點(diǎn)總能量的量度，雅可比積分越大，則質(zhì)點(diǎn)能量越小，反之亦然。雅可比積分雖然不能確定質(zhì)點(diǎn)的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但通過研究雅可比積分，仍能得到有關(guān)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的豐富信息。

2 利用構(gòu)造流函數(shù)法計(jì)算DRO

2.1 構(gòu)造流函數(shù)法

由于限制性三體問題的非線性，目前只有依靠微分方程的數(shù)值解法才能得到滿足實(shí)際任務(wù)精度要求的DRO周期解。經(jīng)典的微分校正法是利用軌道的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣構(gòu)造牛頓迭代過程的，迭代初值可以由CRTBP的線性化模型給出，也可利用Lindstedt-Poincaré攝動(dòng)分析方法得到更高階的初值。本文針對(duì)地月DRO的動(dòng)力學(xué)特征，利用構(gòu)造流函數(shù)法求解其周期軌道。該方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要以近似解作為迭代初值，因此不受非線性的影響，可以在近似解析解失效的更廣大區(qū)域求取周期軌道的數(shù)值解。

下面給出流函數(shù)的概念［25-26］。設(shè)系統(tǒng)式（1）以X（t0）＝X0為初始狀態(tài)的解軌跡為φ（t，t0），則φ（t，t0）：X（t0）→X（t）定義了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式（1）的流映射，它將t0時(shí)刻的初始狀態(tài)映射到t時(shí)刻狀態(tài)。這里的φ被稱為流函數(shù)。本文使用一種特殊的流函數(shù)，它能將初始狀態(tài)X0映射到未來某時(shí)刻位于x軸上的另一狀態(tài)，將其表示為φ（k，X0），其中k為流函數(shù)與x軸相交的次數(shù)，相對(duì)于φ以給定時(shí)間作為積分終止條件，則φ以與x軸的第k次相交作為終止條件。由于DRO屬于平面圓形限制性三體問題［3］，因此系統(tǒng)狀態(tài)向量可表示為X＝［x y vxvy］T，為了計(jì)算φ（k，X0）的值，引入如下判別函數(shù)：

由于DRO軌道具有沿X軸的對(duì)稱性，其與X軸相交時(shí)必須滿足垂直相交條件，即y方向速度為零。根據(jù)這個(gè)特征，判別函數(shù)具有簡(jiǎn)單形式，只是取狀態(tài)X的y分量，且初始積分狀態(tài)可以取為X0＝［x00 0 vy0］T。若限定雅可比積分為C，則根據(jù)雅可比積分公式可得

對(duì)初始狀態(tài)X0逐步積分，并在每一步積分中計(jì)算判別函數(shù)的值，當(dāng)其符號(hào)第k次發(fā)生改變時(shí)，表明流函數(shù)第k次跨越了x軸，這時(shí)以Crit（X）符號(hào)改變前后的t值作為初值，恰好可以應(yīng)用Brent方法來解方程：

設(shè)解為t*，則

顯然，φ（k，X0）的解算包含了一個(gè)數(shù)值積分和一個(gè)數(shù)值求根過程，雖然無法得到其解析表達(dá)式，卻仍然可以用數(shù)值方法研究φ（k，X0）的性質(zhì)。若以φvx表示φ的vx分量，則計(jì)算雅可比積分C下的DRO軌道等價(jià)于求解方程：

式中：φ*（x）為以x為自變量的軌跡函數(shù)在vx方向的分量。考慮到DRO屬于圓形限制性三體問題中的平面對(duì)稱軌道［3］，X表達(dá)式為

式（9）同樣可以應(yīng)用數(shù)值求根方法解出，迭代初值當(dāng)然也可以由線性化解析解給出，但本文采用更方便的方法，即觀察φ*（x）的曲線（見圖1（a）），尋找其與x軸的交點(diǎn)，由圖中得到交點(diǎn)P的近似坐標(biāo)作為初值。圖1（b）中L1和L2分別表示地月系的拉格朗日點(diǎn)L1、L2。

構(gòu)造流函數(shù)法利用了CRTBP的對(duì)稱性，它不但可以計(jì)算DRO軌道，而且可以系統(tǒng)地計(jì)算一大類具有x軸對(duì)稱性的周期軌道，如圖2所示。即利用構(gòu)造流函數(shù)法計(jì)算了1 ∶3地球共振軌道在地月會(huì)合坐標(biāo)系和地月慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡，在地月會(huì)合坐標(biāo)系下的一個(gè)軌道周期里，航天器在地月慣性坐標(biāo)系下環(huán)繞地球3圈，Re為地球半徑。從圖2可以明顯看出，共振軌道在地月會(huì)合坐標(biāo)系中是閉合的，其拱線在地月慣性坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)。這類軌道可以看做地月系中繞地球旋轉(zhuǎn)的DRO軌道。

圖1 地月系的φ*（x）曲線和以點(diǎn)P為初值迭代得到的DRO（C＝2.93）Fig.1 φ*（x）curve of the Earth-Moon system and DRO obtained by iteration with point P as initial value（C＝2.93）

2.2 DRO計(jì)算及其非開普勒特征分析

本文通過在圓形限制性三體模型下延拓雅可比積分C計(jì)算地月DRO周期軌道族。DRO存在較大的幅值范圍，當(dāng)幅值較小時(shí)，DRO完全可以看作低軌的環(huán)月軌道，此時(shí)，DRO具有較高的雅可比常數(shù)，接近L1（CL1＝3.18834）和L2（CL2＝3.17216）的雅可比常數(shù)。隨著雅可比常數(shù)的減小，DRO幅值將逐漸增大，越靠近地球時(shí)對(duì)應(yīng)的雅可比常數(shù)越小。圖3在很大的范圍內(nèi)繪制了地月CRTBP中的DRO周期軌道族。每個(gè)軌道的顏色表示雅可比常數(shù)，由右邊的顏色欄指定。很明顯，一些軌道已經(jīng)延伸到離月球很遠(yuǎn)的地方，因此被稱為DRO。越靠近月球，DRO的周期越短，隨著軌道周期通過與月球1∶4、1∶3和1∶2的共振，DRO的大小增加，并逐漸接近與月球1 ∶1的共振。

圖2 地球DRO（1∶3）共振軌道Fig.2 The Earth resonant orbit of DRO（1∶3）

圖3 DRO周期軌道族與雅可比常數(shù)CFig.3 DRO periodic family and Jacobi constant C

以上是在地月會(huì)合坐標(biāo)系下對(duì)DRO進(jìn)行了計(jì)算。然而，在航天器任務(wù)分析中，了解地月慣性坐標(biāo)系解的性質(zhì)是至關(guān)重要的。為此，本文定義了一個(gè)地月慣性參考框架，其具有以下性質(zhì)：參考框架的坐標(biāo)原點(diǎn)是地球，月球在地月參考平面上繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)。在t＝0時(shí)刻，地月慣性坐標(biāo)系和地月會(huì)合坐標(biāo)系的軸線對(duì)齊。因此，在t＝0時(shí)刻，月球位于地月慣性坐標(biāo)系的＋X軸上。由CRTBP的對(duì)稱性可知，判別式（7）的解t*即為1／2軌道周期，聯(lián)合式（9）和式（10）通過數(shù)值方法得到雅可比積分C與DRO軌道周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而可找到1∶2、1 ∶3及1 ∶4的月球共振軌道，圖4（a）、圖4（b）、圖4（c）分別展示了它們?cè)诘卦聭T性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡。從圖4可以看出，這3種共振軌道均為非開普勒軌道，它們?cè)诘卦聭T性坐標(biāo)系中是周期閉合的。圖4（d）是共振比非整數(shù)的DRO在地月慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)行情況，其軌跡不再是封閉的曲線，而看起來像是在月球軌道附近打水漂。

圖4 DRO在地月慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.4 Motion trajectory of DRO in the Earth-Moon inertial coordinate system

3 攝動(dòng)力模型下的DRO仿真分析

第2節(jié)DRO研究是基于圓形限制性三體模型的。本節(jié)研究地月攝動(dòng)力模型下，DRO的動(dòng)力學(xué)特性。地月系中，攝動(dòng)因素主要包括太陽引力、太陽光壓、月球非對(duì)稱引力、其他行星的引力等。表1顯示了以月球?yàn)橹行牡腄RO所受加速度的種類及其近似量級(jí)。在實(shí)際力模型下，CRTBP中理想的周期DRO不再呈現(xiàn)周期性，運(yùn)行軌跡為擬周期DRO。

為了衡量每種攝動(dòng)對(duì)DRO動(dòng)力學(xué)模型精度的影響，選用STK中的地月擬周期DRO軌道初值［x，y，z，vx，vy，vz］＝［155 932 km，0 km，0 km，0 km／s，-0.869 709 km／s，0 km／s］外 推1年，每 次 從高精度模型（考慮了月球非對(duì)稱引力、木星引力、金星引力、太陽光壓、太陽引力）中去掉一種攝動(dòng)項(xiàng)，然后和高精度模型下的DRO擬周期軌道形態(tài)進(jìn)行比較。具體模型如下所示。

表1 攝動(dòng)平均量級(jí)Tab le 1 Average m agnitude of perturbation

模型1：高精度模型。

模型2：高精度模型中不考慮月球非對(duì)稱引力。

模型3：高精度模型中不考慮木星引力和金星引力。

模型4：高精度模型中不考慮太陽光壓。

模型5：高精度模型中不考慮太陽引力。

模型1～模型5的外推結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，模型1到模型4，擬周期DRO形態(tài)無顯著變化，到模型5，由于模型中去掉了太陽引力，擬周期軌道形態(tài)發(fā)生了顯著變化。因此圖5的仿真結(jié)果表明，太陽引力是影響擬周期DRO形態(tài)最主要的攝動(dòng)因素，在實(shí)際工程建模中必須考慮太陽引力攝動(dòng)的影響。

接下來通過模型1的高精度模型和模型2～模型5的各種攝動(dòng)力模型的比較來分析各種攝動(dòng)模型的軌道外推精度。具體的，對(duì)地月會(huì)坐標(biāo)系中的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)以及到月球距離在各種攝動(dòng)模型與高精度模型之間做差，而后統(tǒng)計(jì)軌道差的均方差作為各種攝動(dòng)模型軌道外推精度的估計(jì)值。圖6為模型1和模型2的差值，即不考慮月球非對(duì)稱引力攝動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型軌道外推精度；圖7為模型1和模型3的差值，即不考慮木星、金星引力攝動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型軌道外推精度；圖8為模型1和模型4的差值，即不考慮太陽光壓的動(dòng)力學(xué)模型軌道外推精度；圖9為模型1和模型5的差值，即不考慮太陽引力的動(dòng)力學(xué)模型軌道外推精度。

圖5 攝動(dòng)力模型下地月擬周期DROFig.5 The Earth-Moon quasi-periodic DRO under perturbative forcemodel

圖6 模型1和模型2在x、y坐標(biāo)及到月球距離的偏差Fig.6 Deviation of x，y coordinate and distance to the Moon between Model 1 and Model 2

圖7 模型1和模型3在x、y坐標(biāo)及到月球距離的偏差Fig.7 Deviation of x，y coordinate and distance to the Moon between Model 1 and Model 3

圖8 模型1和模型4在x、y坐標(biāo)及到月球距離的偏差Fig.8 Deviation of x，y coordinate and distance to the Moon between Model 1 and Model 4

圖9 模型1和模型5在x、y坐標(biāo)及到月球距離的偏差Fig.9 Deviation of x，y coordinate and distance to the Moon between Model 1 and Model 5

從圖6～圖9可以看出，曲線隨著積分時(shí)間的推進(jìn)逐漸發(fā)散，下面分別對(duì)以上積分的前1、2、3個(gè)月的均方差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出，不考慮太陽引力的模型誤差最大，量級(jí)為幾千km，其次是不考慮太陽光壓的模型，誤差量級(jí)為幾十到幾百km，再次是不考慮月球非對(duì)稱引力的模型，誤差為1 km左右，最后為不考慮金星和木星引力的模型，誤差量級(jí)不到1 km。在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，在一定精度要求下，一些次要的攝動(dòng)因素可以忽略不計(jì)，本文提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的高精度地月DRO動(dòng)力學(xué)模型，下面就該模型的建立和精度進(jìn)行分析。

對(duì)于地月DRO飛行器而言，地月會(huì)合坐標(biāo)系相對(duì)地月慣性坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)直接反映了太陽引力和月球軌道偏心率對(duì)其運(yùn)行軌跡的影響。因此可以使用標(biāo)準(zhǔn)星歷數(shù)據(jù)來表示太陽和月球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，獲得星歷模型下的擬周期DRO，從而實(shí)現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)模型中考慮太陽引力和月球軌道偏心率等攝動(dòng)因素的目的。

表2 不同攝動(dòng)模型軌道外推精度的均方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab le 2 Statistical resu lts of m ean square error of trajectory extrapolation p recision for different pertu rbation m odels km

為了檢驗(yàn)星歷模型的精確性。本文在全力模型（考慮了月球軌道偏心率、太陽引力、金星引力、木星引力以及太陽光壓5種攝動(dòng)）和只考慮太陽引力和月球軌道偏心率的星歷模型下對(duì)STK中的地月擬周期DRO初值進(jìn)行了積分，積分器為龍格庫塔7～8階變步長(zhǎng)積分器，行星星歷表使用JPL的DE430。圖10展示了全力模型和星歷模型下，航天器坐標(biāo)y、坐標(biāo)x以及到月球距離在3個(gè)月積分時(shí)間內(nèi)2種模型差值的均方差隨時(shí)間的變化情況。

圖10的仿真結(jié)果表明，在前10天的積分時(shí)間內(nèi)，星歷模型的誤差在km量級(jí)，在前1個(gè)月的積分時(shí)間內(nèi)，模型誤差在幾十km量級(jí)，隨著積分時(shí)間的增加，模型誤差逐漸增大。雖然在軌道外推時(shí)，模型誤差很快達(dá)到km量級(jí)，但在地月系這樣大尺度的空間范圍內(nèi)，仍然可以利用星歷模型來分析DRO在實(shí)際力環(huán)境中的運(yùn)動(dòng)特性，為任務(wù)軌道設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。在工程實(shí)用中，導(dǎo)航測(cè)量弧段和軌道保持策略的確定要和模型精度統(tǒng)一進(jìn)行閉環(huán)考慮。

圖10 星歷模型和全力模型x、y坐標(biāo)及到月球距離偏差的均方差Fig.10 Mean square error of deviation between ephemeris model and full forcemodel of x，y coordinate and distance to the Moon

4 結(jié) 論

通過流函數(shù)法在圓形限制性三體模型下求解得到DRO周期軌道族，并分析了軌道的非開普勒特性以及軌道形狀在地月會(huì)合坐標(biāo)系與地月慣性坐標(biāo)系中隨共振比的變化情況。其后分析了在攝動(dòng)力模型下DRO航天器的運(yùn)動(dòng)特性以及影響DRO的主要攝動(dòng)因素及其影響程度。仿真分析表明：

1）利用流函數(shù)法可以在近似解析解失效的更廣大區(qū)域求取周期DRO的數(shù)值解。

2）整數(shù)共振比DRO（例如1∶2、1∶3、1∶4等）在地月慣性坐標(biāo)系中是閉合的非開普勒周期軌道，而非整數(shù)共振比DRO在地月慣性坐標(biāo)系中則是不閉合的，看起來像是在月球軌道附近打水漂。這是由于在CRTBP模型下，只有整數(shù)比的共振軌道航天器在地月慣性坐標(biāo)系下與月球的相對(duì)位置變化呈周期性，即如果共振比為1 ∶n（n為正整數(shù)），DRO航天器在旋轉(zhuǎn)系中逆行繞月n圈后，在地月慣性坐標(biāo)系中與月球同時(shí)完成繞地球一圈，回到起點(diǎn)位置，從而在地月慣性坐標(biāo)系中形成一條閉合的軌道。

3）攝動(dòng)力模型下，DRO將演變?yōu)閿M周期軌道，擬周期DRO仍可保持很好的穩(wěn)定性，并且在地月系中，影響DRO軌道穩(wěn)定性的主要攝動(dòng)力是太陽引力，其次是太陽光壓，接下來是金星、木星等行星引力攝動(dòng)，分別比前幾項(xiàng)攝動(dòng)小3～5個(gè)數(shù)量級(jí)，在實(shí)際力模型中可以不予考慮。

4）在地月系中，只考慮太陽引力和月球軌道偏心率的星歷模型能夠近似地反映DRO在實(shí)際力模型中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此在實(shí)際工程軌道設(shè)計(jì)中可以使用星歷模型來完成一些任務(wù)特性分析，為軌道設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ)。

本文不同于以往的研究，針對(duì)深空導(dǎo)航和通信應(yīng)用，得到了不同攝動(dòng)項(xiàng)對(duì)DRO動(dòng)力學(xué)模型精度的影響結(jié)果，提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的高精度DRO動(dòng)力學(xué)模型，可以用于高精度軌道方案設(shè)計(jì)，或者作為自主導(dǎo)航和軌道保持的在軌動(dòng)力學(xué)使用。但是，本文最后建立的動(dòng)力學(xué)模型沒有計(jì)入太陽光壓攝動(dòng)，在后續(xù)的研究中有待進(jìn)一步研究探討，以提高模型的精度。