基于改進傅里葉變換的電子音樂信號降噪算法

趙晶晶 張曉娜

摘 ?要： 針對以往電子音樂信號降噪算法因未在降噪處理前分離無噪聲電子音樂信號以及噪聲信號，導致無法全面清除噪音，提出一種基于改進傅里葉變換的電子音樂信號降噪算法。該算法對電子音樂信號進行魯棒主成分分析，將電子音樂信號轉化為低秩矩陣以及稀疏大噪聲矩陣之和，通過核范數優化方法優化以上矩陣之和，有效分離無噪聲電子音樂信號以及噪聲信號，利用改進傅里葉變換算法即小波變換算法進行電子音樂信號降噪處理時，通過經典閾值方法選取最優閾值，依據該閾值選取閾值濾波法進行電子音樂信號的小波系數處理，去除噪聲信號的小波系數，通過小波逆變換濾波后的信號獲取降噪后電子音樂信號。實驗結果表明，該算法可以清晰地將電子音樂信號與噪聲信號分離，并有效去除噪聲信號，信號還原度高，且對10種電子音樂信號進行降噪能量損失量均低于2%。

關鍵詞： 電子音樂; 信號降噪; 傅里葉變換; 矩陣優化; 閾值選取; 小波系數處理

中圖分類號： TN911.7?34; TP391 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）07?0043?05

An electronic music signal denoising algorithm based on improved Fourier transform

ZHAO Jingjing， ZHANG Xiaona

（Shijiazhuang University， Shijiazhuang 050035， China）

Abstract： The previous electronic music signal noise reduction algorithm failed to separate the non?noise electronic music signal and noise signal before noise reduction， so the noise could not be completely removed. A kind of electronic music signal noise reduction algorithm based on the improved Fourier transform is put forward. By this algorithm， the robust principal component analysis for the electronic music signals is carried out， and the electronic music signal is converted into the sum of low rank matrix and sparse big noise matrix. Then， the sum of above the matrixes， the effectively?separated electronic music signal and noise signal are optimized via the nuclear matrix norm optimization method to without noise. When the electronic music signal noise reduction processing is performed by using the improved Fourier transform algorithm， that is， wavelet transform algorithm， the optimal threshold is selected with the classical threshold method. According to this threshold value， the threshold value filtering method is selected for wavelet coefficient processing of the electronic music signal to remove the wavelet coefficients of the noise signal. The denoised electronic music signal is obtained by means of the signal after wavelet inverse transformation filtering. The experimental results show that this algorithm can clearly separate electronic music signal from noise signal， effectively remove noise signal （the denoised signal has high reduction degree）， and make the energy loss less than 2% while 10 kinds of electronic music signals are denoised.

Keywords： electronic music; signal denoising; Fourier transform; matrix optimization; threshold value selection; wavelet coefficient processing

0 ?引 ?言

電子音樂是指由電子樂器創造，利用電子音樂技術制作的音樂。電子音樂以其獨特的音樂風格吸引了大批愛好音樂的人，隨著電子音樂的普及，人們越來越重視電子音樂的質量，電子音樂信號降噪近年來得到學者以及專家的極度重視[1]。電子音樂信號降噪是保留具有價值的音樂信號，消除噪聲對電子音樂信號的干擾。在遠距離場景進行電子音樂錄音時，噪聲與音樂信號距離較遠，因此電子音樂信號中存在大量高斯分布噪聲;而近距離場景下進行電子音樂錄音時，電子音樂信號中主要噪聲為稀疏大噪聲，稀疏大噪聲呈現時間稀疏性，主要特點為不確定性，持續時間通常在3 s左右，且噪聲強度與電子音樂強度幾乎相同。對電子音樂信號降噪處理時，如何避免破壞無噪聲電子音樂信號，是電子音樂降噪的重要部分。

目前應用于電子音樂信號降噪的算法主要為傳統傅里葉變換算法，該算法利用噪聲與電子音樂信號頻率差異進行降噪，對于處理具有固定頻率段的高斯噪聲效果較好[2]。電子音樂信號中噪聲主要為稀疏大噪聲，通過該算法進行降噪效果并不明顯，而小波變換算法是傅里葉變換的發展，是改進傅里葉變換的一種有效處理電子音樂信號中稀疏大噪聲的降噪算法。本文提出一種基于改進傅里葉變換的電子音樂信號降噪算法，將改進傅里葉變換算法即小波變換算法應用于電子音樂降噪中，首先對電子音樂信號進行魯棒主成分分析，通過分析檢測電子音樂信號中具體噪聲位置[3]，將電子音樂信號與噪聲信號進行有效分離，再對經過魯棒主成分分析后的電子音樂信號通過改進傅里葉變換算法進行有效降噪處理[4]。

1 ?電子音樂信號降噪算法

1.1 ?魯棒主成分分析

主成分分析是一種用于分析非隨機變量以及隨機向量的方法，可有效應用于分析電子音樂信號中稀疏大噪聲數據[5]。魯棒主成分分析的主要過程為：將電子音樂信號轉化為低秩矩陣以及稀疏大噪聲矩陣之和，利用核范數優化方法獲取以上矩陣和的解。通過魯棒主成分分析可有效分離無噪聲電子音樂信號以及噪聲信號[6]。

通過主成分線性組合代替原變量的方法為魯棒主成分分析法，設所錄制電子音樂信號矩陣為[M=K+N]，其中，[K]為無噪聲電子音樂信號矩陣，[N]為噪聲矩陣。設矩陣[N]符合高斯分布，可得：

[minK，NNFs.t. ? ?rankK≤r， ? ?M=K+N] （1）

求解式（1），獲取電子音樂信號矩陣最優解，其中矩陣[N]的Frobenius范數用[NF]表示。

電子音樂信號中含有的稀疏大噪聲與無噪聲音樂信號強度基本相同，因此將魯棒主成分分析法應用于電子音樂降噪中，將錄制電子音樂降噪問題轉化為雙目標優化問題，見式（2）：

[minK，NrankK，N0s.t. ? ?M=K+N] （2）

將非負參數[λ]代入式（2）中獲取無噪聲電子音樂信號矩陣[K]，式（2）可轉化為單目標優化問題，見式（3）：

[minK，NrankK+γN0s.t. ? ?M=K+N] （3）

核范數[K]為[rankK]的凸包，[N1]為[N0]的包絡，因此凸松弛式（3），可得：

[minK，NK?+λN1s.t. ? ?M=K+N] （4）

通過優化式（4）可獲取魯棒成分分析問題的解，利用優化后魯棒成分分析問題的解有效分離電子音樂信號中的稀疏大噪聲以及無噪聲電子音樂信號，通過改進傅里葉變換算法即小波變換算法對優化后的電子音樂信號進行降噪處理[7]。

1.2 ?小波變換算法

采用小波變換算法處理魯棒主成分分析后的電子音樂信號矩陣。小波變換問題是通過傅里葉變換進行改進的有效降噪算法。

小波變換算法具體過程如下：

設[Ψt∈L2R]，其中，[L2R]的傅里葉變換為[ψω]，[L2R]表示音樂信號平方可積的實數空間。[ψω]符合[Cψ=Rψω2ωdω<∞]條件時，則[Ψt]表示母小波或者基本小波。伸縮以及平移母函數[Ψt]后可獲取小波序列，小波序列在連續情況下公式如下：

[Ψa，bt=1aΨt-ba， ? ?a，b∈R;a≠0] （5）

式中：[a]與[b]分別表示伸縮因子以及平移因子，小波序列在離散情況下公式如下：

[Ψj，kt=2-j/2Ψ2-jt-k， ? ?j，k∈Z] （6）

連續小波變化公式如下：

[Wfa，b=f，Ψa，bt=a-1/2RftΨt-badt] （7）

式（7）的逆變換公式如下：

[ft=1CψR?R1a2Wfa，bΨt-badadb] （8）

式（8）中基本小波信號[Ψt]為解析信號時可能為復數信號。通過伸縮因子[a]伸縮基本小波，伸縮因子[a]與[Ψta]成正比。

經魯棒主成分分析處理后的電子音樂信號矩陣，[M=K+N]經小波變換后公式如下：

[w=θ+η] （9）

式中：[w=WM];[θ=WK];[η=WN];[W（·）]表示小波變換。

通過小波基令所有電子音樂信號能量集中在變換域內少數小波系數中，通常噪聲的小波系數值小于電子音樂信號的小波系數值，因此選擇合適的小波基即可對電子音樂信號噪聲進行有效去除，通過信號類別與特性選取最優小波基。本文選取閾值濾波法進行電子音樂信號的小波系數處理[8]，以閾值為標準保留或修正小波系數，可通過硬閾值濾波以及軟閾值濾波兩種方法處理電子音樂信號的小波系數。

硬閾值濾波：

[Th=fi， ? ? fi>λ0， ? ? else] （10）

在硬閾值濾波中，[fi]表示小波系數，將小波系數絕對值與閾值[λ]進行對比，對大于閾值[λ]以及小于閾值[λ]的小波系數分別進行保留以及歸0處理[9]。

軟閾值濾波：

[Th=sgnfifi-λ， ? ?fi>λ0， ? ? else] （11）

在軟閾值濾波中，將小波系數絕對值與閾值[λ]進行對比，對大于閾值[λ]以及小于閾值[λ]的小波系數分別進行壓縮保留以及歸0處理。

選取最優閾值以及閾值量化過程直接決定了電子音樂信號降噪質量[10]，利用經典閾值方法選取最優閾值公式如下：

[λ=σn2log2L] ? ? ? ? ? ?（12）

式中[σn]與[L]分別表示加性噪聲標準差以及小波系數總數量。

噪聲信號的小波系數利用小波降噪的閾值濾波去除，通過小波逆變換濾波后信號獲取降噪后電子音樂信號公式如下：

[fi=W-1TWfi] （13）

電子音樂信號降噪實質為在電子音樂信號[M=K+N]中，通過小波變換算法濾除[N]，使電子音樂信號轉變為[M=K]。通過小波變換算法對經過魯棒主成分分析的電子音樂信號進行降噪后，通過閾值處理信號小波分解系數，實現電子音樂信號重建，獲取濾除噪聲后的電子音樂信號。

2 ?仿真實驗

為檢測本文基于改進傅里葉變換的電子音樂信號降噪算法對電子音樂信號的降噪效果，采用本文算法對加入噪聲的經典電子音樂Animals進行降噪，檢測本文算法的降噪性能，并將本文算法與傳統傅里葉變換算法以及時域算法進行對比。原始電子音樂Animals信號波形圖如圖1所示。

在原始電子音樂信號中加入不規則的說話噪聲，噪聲來源于開源數據庫，加入噪聲后電子音樂信號波形圖如圖2所示。

分別采用三種算法對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪處理。采用本文算法對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪處理后結果如圖3所示。

通過圖3可以看出，采用本文算法進行降噪處理的電子音樂信號與原電子音樂信號基本一致，說明本文算法可以清晰地將電子音樂信號與噪聲信號分離，并有效去除噪聲信號，具有較高的還原度，說明本文算法是一種有效的降噪算法。

采用傳統傅里葉變換算法對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪處理后信號波形圖如圖4所示。

通過圖4實驗結果可以看出，采用傳統傅里葉變換算法對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪，降噪效果并不明顯，且部分原始電子音樂信號被誤去除，說明傳統傅里葉變換算法未能有效對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪。

采用時域算法對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪處理后波形圖如圖5所示。

通過圖5實驗結果可以看出，采用時域算法對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪，僅能去除少量噪聲，并未有效將加入的噪聲全部去除，說明時域算法對電子音樂信號降噪效果較差。

通過試聽采用三種算法進行降噪處理的電子音樂，試聽結果顯示，采用本文算法降噪處理的電子音樂音質與原始電子音樂音質基本相同，而采用傳統傅里葉變換算法以及時域算法進行降噪的電子音樂噪聲明顯，且部分原始電子音樂丟失。通過對比采用三種算法降噪后電子音樂信號波形圖以及試聽結果，可知本文算法不僅可有效去除電子音樂信號噪聲，且可恢復原始電子音樂聽覺效果。

為進一步檢測本文算法的降噪性能，選取信噪比以及音頻質量感知兩種指標評價三種降噪算法的降噪性能。其中，信噪比作為評價降噪性能的標準被廣泛應用于各種圖像以及音樂的降噪性能檢測中，電子音樂僅追求高信噪比容易導致聽覺效果變差，因此，利用信噪比和音頻質量感知兩種評價指標綜合評價三種算法對電子音樂信號的降噪效果。

信噪比是對電子音樂信號進行降噪處理后電子音樂信號與噪聲的比值，單位為dB，信噪比比值結果越高表示電子音樂信號中噪聲越少。

音頻質量感知是通過人耳主觀意識感知獲取信號的掩蔽閾值以及失真閾值，通過人工神經網絡方法將以上兩個閾值相結合獲取的綜合評價參數。音頻質量感知評價結果通常為負數，數值越大表示降噪后電子音樂信號與原始電子音樂信號差異越小，即降噪后電子音樂質量越好。

選取10種經典電子音樂，在10種電子音樂中分別加入喝彩聲以及摩托車聲兩種噪聲，采用三種算法分別對加入噪聲的電子音樂信號進行降噪，降噪結果見表1，表2。

通過表1和表2采用三種算法對加入不同噪聲的電子音樂信號降噪處理結果可以看出：采用本文算法對10種含有不同噪聲的電子音樂信號進行降噪后，信噪比明顯高于傳統傅里葉變換算法以及時域算法，音頻質量感知明顯高于傳統傅里葉變換算法以及時域算法，說明采用本文算法對電子音樂信號進行降噪，降噪后電子音樂信號中包含噪聲最少，且降噪后電子音樂質量最高，驗證了本文算法的降噪性能。

選取電子音樂信號能量損失量檢測三種算法降噪后電子音樂信號的信息丟失情況，電子音樂信號能量損失量越小表示丟失信息越少。三種算法對10種加入摩托車噪聲的電子音樂信號進行降噪后信號能量損失量如圖6所示。

通過圖6實驗結果可以看出，采用本文算法對電子音樂信號進行降噪的信號能量損失量最低，10種電子音樂的信號能量損失量均在2%以下，而采用傳統傅里葉變換算法以及時域算法對10種電子音樂進行降噪處理后的信號能量損失量明顯高于采用本文算法進行降噪后的電子音樂信號，說明采用本文算法進行降噪后電子音樂信號信息丟失情況較低，再次驗證了本文算法的降噪性能。

3 ?結 ?語

傳統傅里葉變換算法無法有效對電子音樂信號中含有的稀疏大噪聲進行降噪處理，本文采用改進傅里葉變換算法即小波變換算法對電子音樂信號進行降噪。先對原始電子音樂信號進行魯棒主成分分析，有效分離電子音樂信號以及噪聲信號，再利用小波變換算法對經過魯棒主成分分析后的電子音樂信號進行降噪處理。為檢測該算法的有效性，進行大量實驗，實驗結果表明，本文算法可有效對加入不同噪聲的電子音樂信號進行降噪，且經過降噪處理后的電子音樂音質較好，驗證了本文算法的降噪性能，說明本文算法可應用于實際錄音后未經處理的電子音樂信號降噪中。

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