廣義Gibson地基內部作用線源荷載的基本解

杜秦文，張紹騫

(長安大學公路學院，西安 710064)

荷載作用下地基的土體響應問題一直是巖土工程中具有重要研究意義的問題。在以往的研究中，中外學者已對均質彈性半空間地基進行了大量的實驗及解析研究[1-4]。然而，天然土體由于沉積作用往往表現出土體剪切模量隨深度變化的非均質性，且土體的非均質性對荷載作用下地基的變形也有著較大的影響。因此，采用能反映土體剪切模量隨深度連續變化的地基模型進行研究，將更加符合工程實際情況，在工程實踐中具有更好的應用價值。

為了考慮地基非均質性的影響，Gibson[5]研究了不可壓縮各向同性半空間表面加載的問題，并提出了能夠用簡單表達式描述土體剪切模量隨深度增加這一特性的非均質地基模型。其一是以G=nz,n>0來表示的地基表面剪切模量為零的“Gibson地基[6]”模型，研究結果與Winkler模型類似，表面沉降與施加在地面上的局部壓力強度成正比。研究人員[7-9]通過解析，數值或半解析的方法研究了這種非均質的問題。但考慮到土體的實際情況，上述地基表面剪切模量等于零的方程并不一定合理。因此，以G=G0+nz，n>0表示的地基表面剪切模量不為零的“廣義Gibson地基[10]”模型也由中外學者進行了大量的研究[11-16]。同時，部分學者還研究了剪切模量以指數或冪律增加的非均質地基模型[17-19]。

由于非均質地基力學行為的復雜性，以往對非均質地基的研究大部分只考慮了荷載作用于地基表面的情況，而在實際工程中，也常會遇到荷載作用于地基內部的情況，其內部荷載可以看作是通過樁或錨等結構傳遞到半空間區域的外部荷載。Rajapakse等[20-21]采用解析方法研究了廣義Gibson地基內部作用垂直荷載的靜力學問題，分析了土體非均質性、荷載埋深和不同加載形式對地基變形的影響。文獻[22-25]研究了地基內部作用簡諧荷載的動力響應問題。Selvadurai等[26-27]研究了土體剪切模量指數變化半空間的軸對稱內荷載問題。Cheng等[28]研究了橫觀各向同性多層體系在內荷載作用下的三維固結問題。

綜上所述，目前對非均質地基在荷載作用下的土體響應研究大都集中于荷載作用于地基表面或地基內部某一深度平面上，而沿深度分布的內源線荷載在工程中也是一種重要的荷載分布形式，相關研究成果卻很少。在前人工作的基礎上，采用Hankel積分變換方法，通過設定具體的邊界條件進行求解，并對所得結果沿深度方向積分，獲得了沿深度分布線荷載作用下地基土體位移基本解。并結合數值算例，研究了地基土體非均質性、荷載分布深度等對地基土體豎向位移的影響，為地下結構和樁基靜力分析提供參考。

1 控制方程及其通解

位移表示的物理方程為

(1)

不考慮體力時，平衡方程可化為

(2)

假定土體體積不可壓縮，即e=0，v=1/2，α=∞，則有：

(3)

此時αe成為未定型項，設：

f(r,z)=(1+2α)e=2αe

(4)

將式(1)代入式(2)，并利用式(4)化簡可得：

(5)

(6)

根據Hankel變換的性質有：

(7)

對式(3)、式(5)、式(6)進行Hankel變換并結合式(7)，化簡后可得：

(8)

(9)

經計算得式(9)通解為

(10)

利用式(10)并結合式(8)中第一式可得：

Cα1(q)]

(11)

式(11)中：α1(x)=-[e-2ξqEi(2ξq)+ln(ξq)]；α2(x)=-[e2ξqEi(-2ξq)+ln(ξq)]；α3(x)=e-2ξqEi(2ξq)-ln(ξq)；α4(x)=e2ξqEi(-2ξq)-ln(ξq)。

將式(10)、式(11)代入式(8)中第二式，化簡可得：

De-ξqf2(q)]

(12)

式(12)中：f1(q)=q-1[α3(q)-1]；f2(q)=

q-1[α4(q)-q]。

對式(1)中第三、四式進行Hankel變換，并將式(10)～式(12)代入，化簡得：

eξq[Bα5(q)-Cβ2(q)]

(13)

eξq[ξB-Cβ4(q)]

(14)

式(10)、式(11)、式(13)、式(14)即為一般軸對稱荷載作用下廣義Gibson地基的位移及應力分量在Hankel變換域中的表達式。4個關于ξ的任意函數A、B、C、D可根據特定的邊界條件確定。

2 邊值問題求解

如圖1所示，地基土體內部作用沿深度分布的軸對稱線荷載，其可等效為地基內部相同深度范圍內無數集中點荷載作用的累加。荷載埋置深度為h，以深度h為分界面將土體分為上下兩部分，上部為有限深度非均質地基，下部為半空間。荷載從分界面開始沿深度分布，地基表面所有應力分量均為零。在分界面上，上下兩部分剪應力及位移連續，且由于內部荷載的作用，其正應力σz發生突變，在數值上與荷載大小相等。由此可得經過Hankel變換后的邊界條件為

圖1 地基內部作用軸對稱線荷載

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

A1=C1k1e2ξq0+D1k2

(21)

B1=C1k3+D1k4e-2ξq0

(22)

D2=C1k7e2ξq1+D1[1+k8e-2ξ(q0-q1)]

(23)

A2=C1[(k3k5+k6)e2ξq1+k1e2ξq0]+

D1[k2+k4k5e-2ξ(q0-q1)]

(24)

(25)

(26)

式中：k1=(α50β40-β20ξ)/[(α50+α60)ξ]；k2=(α50β30-β10ξ)/[(α50+α60)ξ]；k3=(α60β40+β20ξ)/[(α50+α60)ξ]；k4=(α60β30+β10ξ)/[(α50+α60)×ξ]；k5=(α21+α41)/(α21-α41)；k6=(α11α41+α21×α31)/(α21-α41)；k7=(α31+2k3+α11)/(α41-α21)；k8=2k4/(α41-α21)；R=α61β31k3k5k8+α61β31×k4k5k7+β11k3k5k8ξ+β11k4k5k7ξ+α51β31k3k8+α51β31×k4k7-α51k4k6ξ+α61β31k6k8-α61β41k4k5-α61k4k6ξ-β11k3k8ξ-β11k4k7ξ+β11k6k8ξ-β21k4k5ξ-α51β41k4+β11β41k8-β21β31k8+β21k4ξ；αij=αi(qj),βij=βi(qj)(i=1,2，…,6，j=0,1)；q0=G(0)/n;q1=G(0)/n+h。

3 內源線荷載作用形式

沿深度豎向分布的土體內部線源荷載形式為P(r,h)，如果能表示成P(r,h)=φ(r)f(h)，則其在Hankel變換域中的形式為

(27)

軸對稱線源荷載可表示為

(28)

式(28)中：p為荷載分布集度；f(t)表示荷載沿深度的分布形式。一定深度范圍內，作用連續的集中荷載，其Hankel變換形式為

(29)

(30)

式(30)中：M1=eξ(z-h)(α3k4k5ξ-α3β31k8-α3k4ξ-β31k3k8+β31k4k7-k3k4ξ-k4k6ξ-β41k4)；M2=e-ξ(z+h)(-α4k3k5ξ+k1k4k5ξ-k2k3k5ξ+α4β31k7-α4k6ξ-β31k1k8+β31k2k7-k1k4ξ-k2k6ξ-α4β41-β41k2)。

對于分界面以下的地基土體，將B=C≡0，及A2和C2式(29)代入式(10)，經Hankel反變換并化簡，可以得到分界面以下地基土體豎向位移解為

(31)

式(31)中：M3=e-ξ(z-h)(-α4k3k5k8ξ+α4k4k5k7ξ-α4k4k7ξ-α4k6k8ξ-β31k3k5k8+β31k4k5k7-k3k4k5ξ-α4β41k8-β31k6k8-β41k4k5-k4k6ξ)。

根據式(29)可知，f(h)決定了荷載沿深度分布形式。討論3種f(h)形式：①沿深度一定范圍內均勻分布；②沿深度一定范圍內增加；③沿深度一定范圍內減小。

(32)

將式(32)代入式(30)、式(31)中可得：

(33)

(34)

(35)

式中：λ的大小決定f(h)的變化幅度，且λ>0，將式(35)代入式(30)、式(31)中可得：

(36)

(37)

(38)

式(38)中：λ>0，H2>H1。將式(38)代入式(30)、式(31)中，可得：

(39)

(40)

4 數值計算及分析

圖2 地表豎向位移

從圖2中可以看出內源荷載作用下，表征地基土體非均質性的參數m及荷載分布深度對地基表面豎向位移均有一定影響作用。相對荷載分布深度而言表征土體非均質性的參數m的變化對地表土體豎向位移的影響更大。隨著m的增大，相同荷載作用條件下，地基表面豎向位移幅值顯著減小；而荷載最大分布深度的增大則使地基表面位移幅值有一定程度的增大；且地基表面土體在荷載作用中心線上豎向位移幅值最大，隨著與荷載作用中心線距離的增大，地基表面豎向位移迅速衰減。

從決定三種內源線荷載分布形式的f(h)表達式可看出，三種沿深度分布的線荷載在z=H1深度處的荷載大小均相等，區別在于H1

5 解的退化驗證

(41)

退化所得解與文獻[5]中式(22)一致，驗證了本文的推導工作。同樣還可以做數值退化驗證，此解已由文獻[5，14，18]在論文中進行了對比驗證，所得解十分吻合。本文用類似的方法，對該解進行對比驗證，通過對比可以看出本文中的解和上述三個文獻中解也十分吻合，具體結果如表1所示。

表1 m=0.25時荷載中心下沿z軸的豎向位移

6 結論

運用Hankel積分變換方法求解了特定的邊值問題，得到了荷載作用于廣義Gibson地基內部地基土體豎向位移解，并對該解沿深度方向積分獲得三種沿深度豎向分布線荷載作用下的基本解，通過對沿深度均勻分布、增大分布、減小分布線荷載作用下地基表面土體豎向位移進行數值計算，討論了地基土體非均質性m、荷載最大分布深度等對地表位移的影響，所得結論如下。

(1)地基土體非均質性對地基表面豎向位移有較大影響，相同條件下，表征土體非均質性的參數m越小，地表豎向位移越大。土體非均質性的變化對地基土體在荷載作用下力學行為的影響作用，也正是此類非均質地基研究意義所在。

(2)地基土體內部荷載的最大分布深度相對于土體非均質性而言，對地基表面豎向位移的影響較小，且地基表面豎向位移主要受淺層荷載作用的影響。

(3)荷載分布深度對地表位移的影響主要體現在土體非均質性較小情況下，當荷載為沿深度減小分布時最為顯著。

(4)地基表面豎向位移幅值在荷載作用中心線上最大，隨距離荷載作用中心線距離的增大迅速減小。