萬變不離“教材”之宗

文 丁 云

教材既是中考命題的主要依據，又是中考題的基本來源。翻閱歷年的中考題，我們不難看到教材例題的身影。為此，回歸教材，重視典型例題的價值挖掘，將有限的例題擴展到無限的考題中去，就顯得尤為重要。

一、教材原題再現

（蘇科版教材九年級上冊第67頁例3）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E。DE與AC有怎樣的位置關系？為什么？

【解析】DE與AC互相垂直。由于切線過⊙O上的點D，因此連接OD，通過等腰三角形“等邊對等角”，由OD=OA，得到∠OAD=∠ODA。通過 AD 平分∠BAC，借由等量代換，得到∠CAD=∠ODA，從而OD∥AC。此時可以根據直線與圓相切的性質，由DE是⊙O的切線，得到 DE⊥OD，因此∠DEA=∠ODE=90°，于是DE⊥AC。

二、縱向延伸——“垂線”“角平分線”互換

例1如圖2，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD垂直于過點C的切線，垂足為D，CE垂直于AB，垂足為E。延長DA交⊙O于點F，連接FC，FC與AB相交于點G，連接OC。

（1）求證：CD=CE；

（2）若AE=GE，求證：△CEO是等腰直角三角形。

【解析】（1）如圖3，連接AC，根據切線的性質和已知得AD∥OC，得∠DAC=∠ACO。因為OC=OA，所以∠CAO=∠ACO，所以∠DAC=∠CAO。根據“AAS”證明△CDA≌△CEA，可得結論。

（2）證法一（等腰三角形性質）：根據△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形“三線合一”，圓的性質等得∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，所以∠AOC=2∠F=45°，所以△CEO是等腰直角三角形；

證法二（平角定義）：設∠F=x，則∠AOC=2∠F=2x，根據平角的定義得∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，則3x+3x+2x=180°，x=22.5°，所以∠AOC=2x=45°，所以△CEO是等腰直角三角形。

【點評】本題用“AD垂直于過點C的切線”替代了“弦AD平分∠BAC”，通過全等得到角之間的關系，具有一定的隱藏性。本題相等的角較多，我們要注意各角之間的關系，注意掌握數形結合思想的應用，由數至形。第二問在原題基礎上做了延伸，將等腰三角形和等腰直角三角形的判定與性質融入其中，將角平分線的條件隱藏在等腰三角形的“三線合一”中，讓題目更具趣味。

三、雙向延伸——增設條件

例2如圖4，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，連接AO并延長，交PB的延長線于點C，連接PO，交⊙O于點D。

（1）求證：PO平分∠APC；

（2）連接DB，若∠C=30°，求證：DB∥AC。

【解析】（1）如圖5，連接OB，因為OA⊥PA，OB⊥PB，根據切線長定理得OA=OB，所以PO平分∠APC。

（2）先根據有一個角是60°的等腰三角形證明△ODB是等邊三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到DB∥AC。

【點評】本題在教材原題的基礎上強化條件，增設了一條切線，表面上是增加了一組條件，其實質是將原題中已知“弦AD平分∠BAC”和求證“DE與AC互相垂直”進行條件與結論的互換，在求解中知識點也有所增補，用到切線長定理。第二問中解題的關鍵是判斷出△ODB是等邊三角形，由角之間的關系證明平行，本質上又回到了教材例題中所隱藏的平行。