厘清圓中概念 明晰圓中定理

文 吳 璟

畢達哥拉斯曾說：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”我們研究了這個完美的圖形后，會發現圓中概念和性質定理較多。下面，吳老師來幫助同學們厘清這些概念之間的區別和聯系，準確理解相關知識。

一、弧、弦、圓心角和圓周角之間的關系

對于弧、弦、圓心角、圓周角等概念的理解，除了要對概念本身進行剖析外，還要將相關的概念進行對比，確定相互的聯系和區別。

例1如圖1，點I是△ABC的內心，∠BIC=126°，則∠BAC=____ °。

【易混點】內心、外心混淆。當點I是△ABC外心時，∠BAC與∠BIC是圓周角與圓心角的關系，此時∠BIC=2∠BAC；當點I是△ABC內心時，要利用內心是三個內角角平分線的交點進行計算。

解：∵點I是△ABC的內心，

∴IB、IC是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB。

∵∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=54°，

∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）=108°，

∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=72°。

例2在同圓中，都是劣弧，且，則AB與2CD的大小關系是（ ）。

A.AB＞2CD B.AB＜2CD

C.AB=2CD D.不能確定

【易混點】在同圓或等圓中，兩條等弧所對的弦相等，從而誤認為這樣的倍數關系也是可以傳遞的。

解：取的中點為 E，連接 AE 和BE。

∴CD=AE=AB。

∵在△ABE中，AE+BE＞AB，

∴2CD＞AB。

故選B。

二、計算扇形的弧長和面積

求扇形的弧長和面積需要兩個基本要素：圓心角度數和半徑。所以解決此類問題的關鍵是找到弧所在圓的圓心，繼而確定圓心角度數和半徑即可。

【易混點】圓心定位錯誤，弄混圓心角或者半徑。本題所對的圓心角不是∠ACB。由于為180°，所以連接AB，則AB是所在圓的直徑。而AC=BC=2，∠ACB=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AB=2，故所在圓的半徑為1，圓心角為180°。則

【正解】π。

例4如圖4，正五邊形ABCDE的邊長為2，分別以點C、D為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧交于點F，則的長為_____。

【易混點】默認CF為角平分線。求弧長的關鍵是找出圓心角度數和半徑。本題的圓心角為∠BCF，半徑為BC=2，因此只需求出∠BCF即可。由正五邊形的內角和得∠BCD=108°，而△FCD是等邊三角形，所以∠FCD=60°，那么不難求出∠BCF。則