動態開放的四邊形

文 陳迎迎

近幾年的四邊形考題多趨向于開放型，即答案不固定或條件不完備，需要我們做出判斷加以說明，考查了我們對知識的靈活運用能力和綜合分析能力。下面我們就以部分中考真題為例，探討動態開放的四邊形。

考點一、條件變化判斷四邊形的形狀

例1（2018·吉林）在△ABC中，AB=AC，過AB上一點D作DE∥AC交BC于點E，以E為頂點，ED為一邊，作∠DEF=∠A，另一邊EF交AC于點F。

（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形；

（2）當點D為AB中點時，?ADEF的形狀為_______；

（3）延長圖1中的DE到點G，使EG=DE，連接 AE、AG、FG，得到圖 2，若 AD=AG，判斷四邊形AEGF的形狀，并說明理由。

【分析】（1）根據平行線的性質得到∠DEF=∠EFC，根據∠DEF=∠A，可得∠A=∠EFC，根據平行線的判定得出EF∥AB，判斷出四邊形ADEF為平行四邊形；（2）根據中位線的定理得到DC，進而得到AD=DE，根據菱形的定義證明即可；（3）根據等腰三角形的性質得到AE⊥DG，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可。

（1）證明：∵DE∥AC，

∴∠DEF=∠EFC。

∵∠DEF=∠A，∴∠A=∠EFC，

∴EF∥AB，

∴四邊形ADEF為平行四邊形。

（2）解：∵點D為AB中點，

∵DE∥AC，點D為AB中點，

∵AB=AC，∴AD=DE，

∴平行四邊形ADEF為菱形。

（3）解：四邊形AEGF為矩形。

理由：∵四邊形ADEF為平行四邊形，

∴AF=DE。

∵EG=DE，∴AF=EG。

又∵AF∥EG，∴四邊形AEGF是平行四邊形。

∵AD=AG，EG=DE，∴AE⊥DG，

∴四邊形AEGF為矩形。

考點二、尺規作圖判斷四邊形的形狀

例2（2016·江蘇鹽城）如圖3，已知△ABC中，∠ABC=90°。

（1）尺規作圖：按下列要求完成作圖（保留作圖痕跡，請標明字母）。

①作線段AC的垂直平分線l，交AC于點O；

②連接BO并延長，在BO的延長線上截取OD，使得OD=OB；

③連接DA、DC。

（2）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由。

【分析】（1）①利用線段垂直平分線的作法得出即可；②利用射線的作法得出D點位置；③連接DA、DC即可求解。

（2）利用直角三角形斜邊與其邊上中線的關系得出AO=CO=BO=DO，進而得出答案。

解：（1）如圖4所示。

（2）四邊形ABCD是矩形。

理由：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC邊上的中線，∴BC。

∵BO=DO，AO=CO，

∴AO=CO=BO=DO，

∴四邊形ABCD是矩形。

考點三、折疊后判斷四邊形的形狀

例3（2019·山東濱州）如圖5，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD交BE于點G，連接CG。

（1）求證：四邊形CEFG是菱形；

（2）若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積。

【分析】（1）翻折前后對應邊和對應角的相等為菱形的判定提供了條件，本題可得∠BEC=∠BEF，FE=CE；又由FG∥CD得∠FGE=∠CEB，FG=EF=EC，可得四邊形CEFG為菱形。

（2）根據勾股定理可求出AF=8，則DF=2，設EF為x，則DE=6-x。在Rt△DEF中，利用勾股定理即可求出EF，從而得出面積。

（1）證明：由題意可得，△BCE≌△BFE，

∴∠BEC=∠BEF，FE=CE。

∵FG∥CE，∴∠FGE=∠CEB，

∴∠FGE=∠FEG，

∴FG=FE，∴FG=EC，

∴四邊形CEFG是平行四邊形。

又∵CE=FE，

∴四邊形CEFG是菱形。

（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，

∴AF=8，∴DF=2。

設EF=x，則CE=x，DE=6-x，

∵∠FDE=90°，∴22+（6-x）2=x2，

考點四、四邊形中確定點的位置

例4（2019·江蘇連云港）如圖6，在△ABC中，AB=AC。將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，其中點E在邊BC上，DE與AC相交于點O。

（1）求證：△OEC為等腰三角形；

（2）連接AE、DC、AD，當點E在什么位置時，四邊形AECD為矩形？并說明理由。

【分析】（1）由平移得∠B=∠DEC，由AB=AC 可 得 ∠B=∠ACB，所 以 ∠ACB=∠DEC，得△OEC為等腰三角形。

（2）要判定E在什么位置，我們就要“執果索因”畫出矩形AECD，再結合圖形逆向推導出需要增加的條件，即可找出E為BC的中點。

（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB。

∵△ABC平移得到△DEF，

∴AB∥DE，∴∠B=∠DEC，

∴∠ACB=∠DEC，∴OE=OC，

∴△OEC為等腰三角形。

（2）解：當E為BC的中點時，四邊形AECD是矩形。

理由如下：

∵AB=AC，E為BC的中點，

∴AE⊥BC，BE=EC。

∵△ABC平移得到△DEF，

∴BE∥AD，BE=AD，

∴AD∥EC，AD=EC，

∴四邊形AECD是平行四邊形。

∵AE⊥BC，∴四邊形AECD是矩形。