數學思想在算法優(yōu)化中的應用

文/高向敏

（鎮(zhèn)江第一外國語學校 江蘇省鎮(zhèn)江市 212000）

1 算法優(yōu)化概述

通俗地來講，算法就是做某件事情或解決某一問題的方法、步驟、過程和程序，而算法優(yōu)化是指對算法的有關性能進行優(yōu)化。舉個例子，大家熟知的田忌賽馬的故事，在之前的比賽中，田忌總是以上等馬對上等馬，中等馬對中等馬，下等馬對下等馬，齊威王每一個等級的馬都要比田忌的強，所以田忌總是輸；后來孫臏給田忌出了個主意：比賽時，讓他以下等馬對齊威王的上等馬，再以上等馬對他的下等馬，最后以中等馬對他的下等馬。比賽結束，田忌以三局兩勝的戰(zhàn)績取得了勝利。同樣的馬匹，僅僅調換了比賽順序，就得到了反敗為勝的結果。從算法角度看，每場比賽的賽馬次序編排都是一種算法，而孫臏的策略就是一種經過優(yōu)化的算法。

同一問題可用不同算法解決，而一個算法的質量將影響到算法、程序直至軟件的工作效率。衡量算法性能的主要指標有時間復雜度、空間復雜度、正確性、健壯性等。就單純編程競賽來說，競賽要求每題的每個測試點數據應在1s內出運算結果，也就是基本語句的運算次數應該控制108以內，因此對于問題規(guī)模較大的題目，對算法進行合理優(yōu)化是必不可少的；就宏觀應用來說，假若將一個大的程序運用到實際生產生活中時，算法的執(zhí)行效率將直接影響了生產效率，特別是，大數據時代到來，算法要處理的數據數量級越來越大，處理問題的場景也愈加千變萬化，因此，為提升算法的效率，對算法進行優(yōu)化也是必不可少的環(huán)節(jié)。

2 數學思想在算法優(yōu)化中的作用

2.1 數學模型是算法優(yōu)化的基礎

人們使用計算機處理問題時，首先要對實際問題進行抽象，運用數學思想創(chuàng)建數學模型，進而設計出解決的算法，然后再進行編程、測試、調整，這是一個實際問題運用計算機得以解決的過程。從這一過程可以看出，創(chuàng)建數學模型是前提，數學模型能夠有效的把復雜的問題變簡單，化繁為簡，將一些復雜程度較高的、難以實現的編程問題，轉化成單一的、便于運算的數學結構。因此，在進行算法優(yōu)化分析時首要的就是要發(fā)揮數學理論知識的優(yōu)勢，構建數學模型，在此基礎上設計并優(yōu)化算法，求得問題的有效解決方式。數學建模不僅密切了數學、算法與計算機編程的關系，同時也直接影響了算法的正確性與性能。

2.2 數學算法是計算機算法優(yōu)化的重要途徑

當我們建立好數學模型后，將實際問題抽象化為單一簡單的數學結構的時候，數學算法的使用對于計算機編程而言是必不可少的，是實現計算機編程算法優(yōu)化的重要途徑。如早期的數學算法代表——歐幾里德算法，又名輾轉相除法，是為了求得最大公約數的一種遞回算法，每一步計算的輸出值就是下一步計算時的輸人值，這樣的算法在處理大數時效率很高，也是計算復雜性理論的開篇。再如秦九韶算法、更相減損術、中國剩余定理等等，這些數學算法對編程算法優(yōu)化都有著重大意義。除了諸如上述的經典數學算法之外，重要的數學方法如歸納法、演繹法等，或是程序設計者自己綜合運用數學知識，充分挖掘實際問題中蘊含的數量關系，所尋找的數學規(guī)律、推導的數學公式、得出的數學結論，都是算法優(yōu)化的重要途徑。在此基礎上設計的算法，往往使得原本難以解決的問題得以解決，原本已解決的問題得以高效解決。

圖1：各因子對應關系

圖2

圖3：行列值與所在圈數之間的關系圖

圖4

總之，數學思想是連接問題與算法的一座橋梁，有些問題利用這座橋可以更為方便快捷地往返于河兩岸，而還有一些問題，如果不利用這座橋可能根本無法到達河的對岸，因此，借助數學思想分析問題是進行算法優(yōu)化的重要途徑。

3 實例踐析數學思想在算法優(yōu)化中的應用策略

下面結合編程教學中的幾個具體實例，踐析數學思想在算法優(yōu)化中的應用策略。

3.1 低階應用——依據數學常識

求n以內的完全數。

表1：不同方法運行時間比較

表2

表3

完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有真因子（即除了自身以外的約數）的和，恰好等于它本身。第一個完全數是6（1+2+3=6），第二個完全數是28 (1+2+4+7+14=28)。若求n內的完全數，需要對2-n以內的每個數判斷是否是完全數（1不是完全數），因此本題關鍵在于如何判斷一個數i是否是完全數。對于這個問題可以用不同的數學方法來解決。

方法一：最直接的方法，從1到i-1每個數依次判斷其是否是i的真因子，若是則累加求和至sum，若sum=i,則說明i是完全數。

方法二：根據數學常識，對于某一整數i來說，其最大因子為i/2，在i/2～i-1范圍內沒有數據可以整除此數。據此，我們可以把遍歷范圍縮小至1～i/2，這樣程序效率可提高一倍。

方法三：進一步思考，若j是i的一個因子，則i/j一定也是i的因子，若已知1，2，4，5，10是100因子，相應地即可得出100，50，25，20，10也是其因子（如圖1所示），據此，我們可以把遍歷范圍縮小至1～即可。

方法三改進：sqrt函數一個求平方根的庫函數,函數調用有一定的時間損耗,其次,內部是浮點數運算,效率也不高，乘法的效率比除法要高的多,因此我們對循環(huán)結束條件又做了一部分改進（j*j<=i），程序效率會大大提高。

為了更加直觀對比各算法的運行效率，我們分別對其進行了n=10000,以及n=1000000的測試，程序運行時間對比如表1。

利用簡單的數學常識，縮小數據范圍，對程序的局部進行優(yōu)化，如對程序循環(huán)次數簡化等，從而達到提高程序工作效率的目的。

3.2 中階應用——尋找數學規(guī)律

一個n行n列的螺旋矩陣可由如下方法生成：從矩陣的左上角（第1行第1列）出發(fā)，初始時向右移動；如果前方是未曾經過的格子，則繼續(xù)前進，否則右轉；重復上述操作直至經過矩陣中所有格子。根據經過順序，在格子中依次填入 1,2,3,...,n2，便構成了一個螺旋矩陣。圖2是一個 n = 4 時的螺旋矩陣。現給出矩陣大小 n 以及i和j，請你求出該矩陣中第i行第j列的數是多少。

方法一：最直接解法，建立一個二維數組a依次存放各個矩陣數據，然后輸出a[i][j]的值即可。而當n=30000時，需要建立30000*30000的二維數組，結果會發(fā)生數據溢出且超出內存上限。

方法二：我們可采用類似貪吃蛇的方法，讓它在n*n個方格內自外向內逐格移動，控制其右轉的方向，直到到達i行j列位置，整個過程中移動步數即為求解值。

方法三：在上一個方法中，若遇到極端情況——當n=30000時候，求第15001行15000列的數是多少，需要移動次數為900000000，顯然太慢，因此我們需要進一步優(yōu)化。考慮到貪吃蛇總是從外圍一圈圈地向目的地前進，而每一圈剛好是一個正方形，我們可以先計算外圍各圈正方形的周長之和，再讓貪吃蛇從目的地所在圈的的左上角出發(fā)，計算其從出發(fā)地到目的地的長度就可以了。鑒于此，我們需要尋找如下幾個數學規(guī)律：

（1）第i行j列位于第幾圈（假設為第x圈）

（2）前x-1圈，每一圈有多個數字；

（3）第i行j列位于第x圈的第幾個。

由圖3得數學規(guī)律：第i行第j列的所在的圈數x一定是（i,j,n+1-i,n+1-j）這四個數中的最小值；第1圈有(n-1)*4個數字，第2圈有(n-3)*4個數字，……，則第k圈有(n-2*k+1)*4個數字；我們只需要從所在x圈的左上角（x,x）位置出發(fā)，走到目的地（i,j）即可，最多走一圈，各算法效率比較如表2所示。

建立數學模型，尋找各數據之間內在的數學關系，歸納數學規(guī)律，在此次基礎上優(yōu)化算法，往往大大提高算法性能。

3.3 高階應用——借助數學公式推導

如圖4，一條狹長的紙帶被均勻劃分出了n個格子，格子編號從1到n。每個格子上都染了一種顏色colori（用[1，m]當中的一個整數表示），并且寫了一個數字numi。

定義一種特殊的三元組：(x,y,z)，其中 x，y，z 都代表紙帶上格子的編號，這里的三元組要求滿足以下兩個條件：(1) x,y,z都是整數,x

方法一：最直接的解法，根據x,y,z的關系 y-x=z-y，雙重循環(huán)枚舉x,y，當滿足條件colorx=colorz時求得該三元組分數并累加起來。

方法二：方法一中如果n數值較大時，非常慢，因此需要充分挖掘數據之間的關系，本題我們可以借助數學公式推導：根據題意可知，三元組的分數僅與x,z有關，與y無關.假設編號為x1，x2，x3的元素彼此間都符合題目要求的2個條件，則它們必定奇偶性相同、顏色相同。我們假設同顏色元素個數k=3,則其三元組分數之和表示為：

因此，我們只需要找出每一種顏色下編號同為奇數三元組分數之和、編號同為偶數三元組分數之和即可。如表3所示。

充分挖掘問題中的數據關系，借助數學公式推導，得出結論，并在結論基礎上從整體架構、設計算法，從而提高算法性能，達到事半功倍的效果。

4 結束語

計算機的學習離不開數學理論與知識的學習和運用，數學算法是計算機編程的基礎，數學思想作為溝通問題與編程實現的一座橋梁，有著極其廣泛的應用。它不僅可以直接為解題提供思路，如果與其他算法或者思想相結合，還能夠起到很好的輔助作用。通過數學模型的建立，利用數學算法對編程邏輯進行分析設計，不斷優(yōu)化數學算法，降低其時間復雜度、空間復雜度。在你覺得“山窮水復疑無路”時，不妨用數學的角度重新審視問題，也許就會“柳暗花明又一村”。