利用橢圓曲線方法和GMP庫分解大整數

郭汝廷

1 引言

2 橢圓曲線因子分解方法介紹。

年 H.W .Lenstra 創造了橢圓曲線因子分解方法。該方法是在Pollard p-1 方法的基礎上發展而成。如果整數 N 有素因子 p ，p-1 是光滑數。用 p-1 方法就可以找到這個素因子。但當p 比較大時 p-1 光滑的概率比較小。所以該方法不易找到大的素因子（比如40位以上）。

N}F7TQ4_%HRS@T[T7F]1]IS點擊并拖拽以移動 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

的點集 36{TDICRKE2`3Z_OQ@WW{$K點擊并拖拽以移動，其中0H4R～2KJ948523$T2[29）6G點擊并拖拽以移動且$$ZU8NGY8（[5AKMI2}14@YH點擊并拖拽以移動此點集加上無窮遠點在定義加法運算后構成一個Abel 群。

給定橢圓曲線E上的兩個點{W[`DW6{3F（RX{R`HE3MO6U點擊并拖拽以移動和橢圓曲線}99T@4L9$CI4YPTKI（7E～`H點擊并拖拽以移動

JKC～%%7@～VMV～ASB`G}（YEE點擊并拖拽以移動用下面的公式計算：

7Y（T9QI%D56J[9V8NCGITKR點擊并拖拽以移動

9SY5BS4LQ1OZCF_N_1[JG）H點擊并拖拽以移動

ZIK6（QUM]KS[2BGRHUJOID6點擊并拖拽以移動

如果IHO{HTJJ___S3H）Z4KK][）I點擊并拖拽以移動為一素數，Helmut Hasse證明了群 G 的階介于FB9VAU6H]{88CT95JY_4$VH點擊并拖拽以移動和AQR{%W%GPEQ6Z）NX～UH{J9R點擊并拖拽以移動之間。通過改變a，b的值可以得到階不同的群。如果該群的階光滑，就可以找到素因子 p 。這樣對同樣大小的 p 利用不同的橢圓曲線可以得到階介于0K]P4PB1H6（KZH5X_～_$8ET點擊并拖拽以移動 和_WDH}JG6PH（QX{QU3250{]U點擊并拖拽以移動之間的多個群，而 p-1 方法只能限制在階為 p-1 的乘法群。Lenstra 的橢圓曲線因子分解方法算法如下：

輸入： 奇合數。

（1）選擇（E，P），ET5]}E$1DZU39H6E）]2K937點擊并拖拽以移動，BL%PB9ZJ%9ESYZ8G94PXWSA點擊并拖拽以移動，P是E在Z上的點;

（2）計算 {BVM（{9I@46IR48X9V[VZ$6點擊并拖拽以移動，若 7JDHZTA）J6}JFV[}$7Q]（82點擊并拖拽以移動 則輸出d;否則返回第一步;

（3）選擇 BJ]INPKPA9I{1DI（8WSEEMX點擊并拖拽以移動;

（4）計算 $7`F]K）X3）N9KUTP42U329L點擊并拖拽以移動其中P4Y[Z$V$17JF]）5%}1BVG3J點擊并拖拽以移動;

（5）計算kP （mod m）點擊并拖拽以移動若在計算過程中出現整數s對模m 的求逆運算無法繼續，則計算[PJV3_44R}B`SL6{（（8）5NK點擊并拖拽以移動若ULG54[OW`}9GRT[QBDO$N9M點擊并拖拽以移動 則輸出 d。否則返回第一步。由于求逆的運算比較耗時，Montgomery 用齊次坐標對上述算法進行了如下改進。

選擇橢圓曲線

Z（FP}6LXBY[2FY7`4435@{W點擊并拖拽以移動（2）

對于橢圓曲線（2）Montgomery 給出了如下的加法公式和倍點公式

GIK42HO$6$B～H$3RRG%XY5S點擊并拖拽以移動

利用上面的公式，計算點的加法需要進行6次乘法和4次加法運算;計算倍點需要進行5次乘法和4次加法。利用改進后的方法，Brent分解了第十個Fermat數。

3? GMP 大整數運算庫和因子分解實例

GMP大整數運算庫是一個開源庫。該庫提供了長整數和有理數以及高精度浮點的 C語言庫函數。數據運算精度僅受計算機物理內存的限制。該運算庫的源代碼在CentOS6.5操作系統上編譯后即可使用。利用該運算庫的 mpz_t 數據類型，可以開發基于橢圓曲線因子分解方法的C語言程序，也可以利用它提供的C++類mpz_class。利用該運算庫編寫的程序，很容易找到一個大合數30位以內的素因子。

例如用該方法選擇橢圓曲線可以分解梅森數

其中P₉₆是一個96位的素數。

4 結束語

（作者單位：山東大學信息化工作辦公室）