基于GM(1,1)模型的陜西省旅游人數(shù)預測

王南豐，沈李歡

（西安財經(jīng)大學 統(tǒng)計學院，陜西 西安 710000）

0 引言

旅游業(yè)作為綜合性產(chǎn)業(yè)之一，其健康可持續(xù)的發(fā)展能夠推動地區(qū)經(jīng)濟的快速增長。隨著經(jīng)濟的發(fā)展和國家節(jié)假日的調(diào)整，近年來我國旅游人數(shù)逐年上漲。旅游人數(shù)作為現(xiàn)代旅游業(yè)良好發(fā)展的重要衡量指標之一，若能對其進行科學合理地預測，就能夠把握地區(qū)旅游業(yè)未來發(fā)展的基本趨勢，從而預先制定相應的戰(zhàn)略和對策，以確保旅游業(yè)的可持續(xù)發(fā)展。

陜西省位于中國西北地區(qū)，獨特的地理環(huán)境和深厚的歷史文化積淀使其成為中國旅游資源最豐富的省份之一。近年來，陜西省旅游業(yè)發(fā)展進入新的階段，全省旅游業(yè)呈現(xiàn)出良好發(fā)展態(tài)勢。特別是在2018年，陜西省全年接待境內(nèi)外游客總計6.30億人，比上年增長20.5%，旅游總收入達到5994.66億元，增長了24.5%。由此可以看出，蓬勃發(fā)展的陜西旅游業(yè)，已經(jīng)成為地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的重要引擎。

鑒于以上分析，本論述基于2011年～2018年度陜西省旅游人數(shù)數(shù)據(jù)，通過GM（1，1）模型對陜西省未來5年的旅游人數(shù)進行科學預測，以期為陜西省旅游業(yè)的發(fā)展規(guī)劃提供一定的參考依據(jù)。預測結果顯示，陜西省未來5年的旅游人數(shù)分別為73015.9330萬人次、85716.9814萬人次、100627.4933萬人次、118131.8427萬人次和138681.275萬人次。通過比對預測數(shù)據(jù)和旅游人數(shù)原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，陜西省未來5年的旅游人數(shù)將呈現(xiàn)出逐年增長的趨勢。同時還發(fā)現(xiàn)，預測值與原始數(shù)據(jù)十分接近，進而說明使用GM（1，1）模型對陜西省旅游人數(shù)進行預測具有很高的可靠性。

1 理論與方法介紹

1.1 理論介紹

灰色系統(tǒng)理論是由鄧聚龍（2005）提出的。它是一種基于少量數(shù)據(jù)的新興研究方法，其主要作用是對人們?nèi)粘Ｉ睢⒐ぷ鞯确矫姹菊餍曰疑到y(tǒng)做數(shù)據(jù)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)預測、決策分析及最后對其進行控制的過程。其主要內(nèi)容是包括以灰色方程、灰色矩陣以及灰色代數(shù)系統(tǒng)為基礎生成的理論體系，以灰色序列為基礎生成的方法體系，以灰色關聯(lián)空間為依托關系生成的分析體系，以灰色模型為核心而生成的綜合理論體系。

灰色系統(tǒng)預測具體內(nèi)容指在研究與分析系統(tǒng)因子之間協(xié)調(diào)作用與互相影響的基礎上，建立系統(tǒng)主行為特征量和關聯(lián)因子的灰色動態(tài)模型群，進而通過求解模型對其進行預測。灰色系統(tǒng)預測主要分為區(qū)間預測、災變預測、系統(tǒng)預測、波形預測、數(shù)列預測等。當前使用最廣泛的灰色預測模型之一就是數(shù)列預測即一階微分GM（1，1）模型。GM（1，1）模型是指基于隨機原始序列，經(jīng)其按照時間進行累加后而形成新的時間序列所展現(xiàn)的規(guī)律，其規(guī)律可使用一階線性微分方程的解來逼近。

1.2 GM（1，1）模型的建立過程

第一步，確定原始數(shù)據(jù)。

設時間序列 X(0)中有n個觀察值，則將原始序列可記為：X(0)={X(0)(1),X(0)(2),...,X(0)(n)}

第二步，級別比檢驗。

原始數(shù)據(jù)確定后，需要對原始數(shù)據(jù)進行級別比的計算，判斷原始數(shù)據(jù)的級別比是否均落入可容覆蓋范圍內(nèi)，級別比的計算公式為λ(k)=X(0)(k-1)/X(0)(k)(k=2,3,...,n)，其中k為時刻，只有當計算所得級別比均在可容覆蓋范圍內(nèi)，就能對該數(shù)據(jù)使用灰色預測方法，進而對其建立GM（1，1）模型進行分析。否則，應先對原始數(shù)據(jù)進行變換處理，使其變換后數(shù)據(jù)的級別比處于可容覆蓋范圍內(nèi)，再對其進行GM（1，1）模型的建立。

第三步，建立GM（1，1）模型。

（1）計算累加生成列

由于所選取數(shù)據(jù)具有隨機性，不能對數(shù)據(jù)直接進行處理，所以對數(shù)列進行X(0)-AGO（累加），使之構成數(shù)列X(1)={X(1)(1),X(1)(2),...,X(1)(n)}。因此累加生成列為：

（2）參數(shù)估計

令Z(1)為X(1)緊鄰均值生成序列：

根據(jù)公式（1）和公式（2）可寫出GM(1,1)模型的灰微分方程是X(0)(k+1)+az(1)(k)=μ式中，a是發(fā)展系數(shù)，μ被叫做內(nèi)生控制灰數(shù)。設a?為待估參數(shù)向量，α?=(a,μ)'，求解可知 α?如公式（3）：

其中B和Yn表示如公式（4）：

（4）計算預測值

根據(jù)公式（5）的預測模型可初步計算出預測值。因為預測模型是在累加序列的基礎上完成的，因而要對得到的預測值進行累減還原，才可得到最終的預測值。其公式為：X(1)(k)=X(0)(k)-X(0)(k-1)。根據(jù)預測模型以及累減還原得到最終的預測值后應對其進行檢驗，判斷該預測值殘差檢驗、關聯(lián)度檢驗、后驗差檢驗是否都通過，如三者檢驗全都通過，則可以用所建模型對其進行預測；否則，應進行殘差修正，殘差修正完成后再建立GM(1,1)模型對其進行預測，因而GM(1,1)模型的最后一步是對其進行檢驗。

（5）模型檢驗

①殘差檢驗

累減生成序列是將原始序列的前后兩個數(shù)據(jù)進行相減。根據(jù)預測模型的公式計算X?(1)(i)，并對X?(1)(i)進行累減得到 X?(0)(i)，計算原始數(shù)據(jù)序列 X(0)(i)和 X?(0)(i)的絕對誤差序列以及相對誤差序列。觀察殘差檢驗結果，當計算的相對誤差值全部小于0.5%，則可說明該模型精度較高。

其中，絕對誤差序列為：

②關聯(lián)度檢驗

首先計算出X?(0)(i)和X(0)(i)之間的關聯(lián)系數(shù)，再計算兩者關聯(lián)度。據(jù)經(jīng)驗，當 ρ=0.5時，關聯(lián)度值大于0.6即可表明通過檢驗。當計算出在X?(0)(k)和X(0)(k)兩者之間關聯(lián)系數(shù)后，再計算關聯(lián)系數(shù)的均值，即該均值r叫做 X?(0)(k)序列和 X(0)(k)之間的關聯(lián)度。η(k)叫做預測序列和原始序列兩者的關聯(lián)系數(shù)。設預測序列和原始序列分別如下：

公式（8）中 | X?(0)(k)-X(0)(k)| 稱為第 k 個點 X(0)與 X?(0)絕之間的絕對誤差。其中，minmin| X?(0)(k)-X(0)(k)| 是兩級最小差，maxmax| X?(0)(k)-X(0)(k)|是兩級最大差。 ρ叫做分辨率，0＜ρ＜1，常取 ρ=0.5。通常情況下，由于數(shù)據(jù)單位的不一致將會導致結果存在誤差，為了消除數(shù)據(jù)間誤差，因而在計算關聯(lián)系數(shù)之前應先對數(shù)據(jù)進行標準化處理，本論述使用初值法對數(shù)據(jù)進行處理，即用每一序列所有數(shù)據(jù)依次除以該序列的第一個數(shù)據(jù)。

③后驗差檢驗

后驗差檢驗步驟，首先分別計算原始序列的標準差S1與絕對誤差序列的標準差S2，進而計算出二者比值為C=S2S1。后驗差檢驗的兩個重要指標分別是C和P。C值越小則說明S1比S2大，S1大說明原始數(shù)據(jù)離散程度大，S2小說明殘差離散程度小。指標C值越小越好，C值小就說明盡管原始數(shù)據(jù)很離散，但模型計算所得預測值與實際值之差的離散程度并不大。

P為小誤差概率。P越大則說明模型的擬合值或預測值分布也相對均勻。綜合評定預測模型的精度可根據(jù)指標C和P。模型的精度由C和P共同描述。通常把模型的精度分為以下四級，具體見表1所列。

表1 模型精度的具體數(shù)值

2 基于GM（1，1）模型的陜西省旅游人數(shù)的預測及分析

2.1 原始數(shù)據(jù)的選取及級比檢驗

本論述選取陜西省2011年～2018年旅游人數(shù)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，在原始數(shù)據(jù)基礎上建立GM（1，1）模型進行預測分析，所用數(shù)據(jù)均來源于《陜西省統(tǒng)計年鑒》和陜西省統(tǒng)計公報。使用GM（1，1）模型預測之前，首先應對數(shù)據(jù)進行級別比檢驗，若計算的級別比在可容覆蓋范圍內(nèi)，則可對其構建GM（1，1）模型進行預測分析。通過計算得知可容覆蓋范圍為Θ=(0.7788,1.2840)。 通 過 級 別 比 公 式 λ(k)=X(0)(k-1)/X(0)(k)計算陜西省2011年～2018年每年旅游人數(shù)的級別比λx(k)，計算結果見表2所列。觀察表2發(fā)現(xiàn)級別比全部落入可容覆蓋范圍內(nèi)，可對旅游人數(shù)直接建立GM(1,1)模型。

表2 2011年～2018年原始數(shù)據(jù)及級比檢驗

2.2 構建GM（1，1）模型

通過對表2級別比檢驗結果分析后發(fā)現(xiàn)，可以直接對其進行GM（1，1）模型構建。利用公式（1）和公式（2）可分別計算出累加序列X(1)(k)和緊鄰均值生成序列Z(1)，計算所得結果見表3所列。

表3 累加序列及緊鄰均值生成序列

通過觀察表3的結果并結合公式（4），可寫出矩陣B和Yn，見下所列。

通過對矩陣B和Yn進行計算并結合公式（3），得出參數(shù)向量α?如下。

通過公式（5）以及公式（8）可得出預測模型如公式（10）。根據(jù)公式（10）可計算出預測值見表4所列。得出預測值之后，對模型進行殘差檢驗、關聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗，并判斷模型是否均通過殘差、關聯(lián)度以及后驗差檢驗。

首先根據(jù)公式（6）和公式（7）計算出原始數(shù)據(jù)和預測值之間的絕對誤差和相對誤差，結果見表4所列。進而對其進行殘差檢驗。根據(jù)表4可看出，相對誤差中有部分值大于0.5%，并結合殘差檢驗的理論，說明該模型未通過殘差檢驗。

表4 2011年～2018年預測值、絕對誤差和相對誤差

對模型進行殘差檢驗之后，再對模型進行關聯(lián)度檢驗，通過公式（8）計算得出關聯(lián)系數(shù)見表5所列。由表5得出，關聯(lián)度等于0.5758，不滿足當 ρ=0.5時，r＞0.6的規(guī)則，因而該模型未通過關聯(lián)度檢驗。

表5 2011年～2018年關聯(lián)系數(shù)及關聯(lián)度

關聯(lián)度檢驗完成后，再對其進行后驗差檢驗。后驗差檢驗具體指標是用C值和P值進行檢驗。C值具體計算方法是利用Excel軟件分別計算已知殘差的標準差和原始數(shù)據(jù)的標準差，分別為Se2=287.0820和14104.7612，計算一致后驗差比值=0.0204。C值計算完成后，進而計算P值，P值具體計算是先計算S0和ek，公式S0=0.6745S1，ek= ||Δk-，當所得 ek都小于 S0時，P 值等于1。計算得S0=0.6745S1=9513.6614

綜上，C=0.0204＜0.35。觀察公式（11）得知，所有的ek均小于S0，所以P=1＞0.95。綜合C和P并檢驗結果，判斷該模型較好，通過后驗差檢驗。

綜上，通過殘差檢驗、關聯(lián)度檢驗以及后驗差檢驗的分析結果，得知該模型未通過殘差檢驗和關聯(lián)度檢驗，所以需要對模型進行修正。采用殘差對該模型進行修正，再對修正后的數(shù)據(jù)建立GM（1，1）模型對其進行預測。首先利用公式（1）和公式（6）計算出殘差序列及殘差累加序列見表6所列。

表6 殘差序列及殘差累加序列

其次根據(jù)公式（4）及表6計算結果計算矩陣B和Yn，得出矩陣 B和Yn。

再計算出參數(shù)向量α?如下：

最后根據(jù)公式（5）及公式（12）可得出經(jīng)過殘差修正后的模型。

根據(jù)公式（6）和公式（7）得出修正后殘差計算結果見表7所列。

表7 修正后的殘差計算表

根據(jù)表7可知，修正后的模型精度相對于表4而言具有顯著的提高，因而可以利用經(jīng)過殘差修正后的模型來對陜西省旅游人數(shù)進行預測。通過公式（13）計算得到的陜西省2011年～2023年度旅游人數(shù)預測值見表8所列，將表8中所顯示的陜西省2011年～2023年度旅游人數(shù)預測值與2011年～2018年度旅游人數(shù)的原始值進行比對，并描繪出陜西省旅游人數(shù)的原始值和預測值之間的關系，如圖1所示。

表8 陜西省2011年～2018年旅游人數(shù)的原始值及2011年～2023的預測值（單位：萬人）

圖1 旅游人數(shù)原始數(shù)據(jù)及預測數(shù)據(jù)

通過表8和圖1可以得出，陜西省未來五年（2019年～2023年）的旅游人數(shù)分別為73015.9331萬人、85716.9814萬人、100627.4933萬人、118131.8427萬人、138681.2750萬人，并且還發(fā)現(xiàn)陜西省未來五年旅游人數(shù)將呈現(xiàn)逐年增長的態(tài)勢。通過預測值和對陜西省2011年～2018年的原始值進行比對，發(fā)現(xiàn)預測值基本接近原始值，這也進一步說明了通過GM（1，1）模型預測陜西省未來五年旅游人數(shù)具有很高的可靠性。

3 結論分析與對策建議

3.1 結論分析

本論述基于灰色系統(tǒng)理論，構建GM（1，1）模型對陜西省未來五年的旅游人數(shù)進行預測，預測結果顯示，陜西省未來5年的旅游人數(shù)分別為73015.9330萬人次、85716.9814萬人次、100627.4933萬人次、118131.8427萬人次和138681.275萬人次。同時還發(fā)現(xiàn)，通過GM（1，1）模型預測的陜西省未來5年旅游人數(shù)呈現(xiàn)逐年遞增的態(tài)勢。此外，通過將GM（1，1）模型的估計值與陜西省2011年～2018年度旅游人數(shù)實際值進行比對發(fā)現(xiàn)，預測值和實際值較為接近，這說明本論述所構建的預測模型是可靠的，進而表明使用GM（1，1）模型對陜西省未來5年旅游人數(shù)進行預測具有一定的科學性。

3.2 對策建議

對旅游人數(shù)進行預測有利于對旅游業(yè)發(fā)展進行科學規(guī)劃，同時也有利于提高游客滿意度。基于研究結論并結合陜西省的旅游發(fā)展概況，本論述提出如下對策建議。

（1）以多元化視角構建陜西省旅游形象，制定科學合理的總體規(guī)劃。在未來五年旅游人數(shù)逐年增長的良好環(huán)境下，陜西省應以多元化視角構建旅游形象，制定科學合理的總體規(guī)劃。各景區(qū)應堅持可持續(xù)發(fā)展觀，以游客為本，以市場為導向，依靠科技進步，改變傳統(tǒng)旅游資源粗放式開發(fā)利用的狀況，科學制定旅游總體規(guī)劃，推動旅游資源的創(chuàng)新利用，實現(xiàn)旅游產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級。同時注重多元化和特色化，形成良好的生態(tài)旅游環(huán)境，凸顯生態(tài)旅游效應，促進陜西省社會經(jīng)濟協(xié)調(diào)發(fā)展。

（2）加快陜西省旅游基礎設施建設，完善旅游產(chǎn)業(yè)管理體制。基礎建設是促進旅游業(yè)發(fā)展根本要素，加強陜西省旅游通道建設及區(qū)域內(nèi)部旅游的運輸體系建設，優(yōu)化旅游景點周邊的設施布局，為游客提供方便舒適的旅游環(huán)境。同時加強旅游業(yè)與相關產(chǎn)業(yè)融合發(fā)展，完善旅游產(chǎn)業(yè)管理體制，加強旅游人才隊伍建設，提高旅游服務質(zhì)量。

（3）拓寬陜西省各個景區(qū)的旅游宣傳途徑，增強景點的服務能力。首先鼓勵景區(qū)創(chuàng)建自己的微信公眾號或微博公眾號等，經(jīng)常發(fā)一些與該景點有關的內(nèi)容，以吸引游客；其次加大對旅游從業(yè)人員的培訓力度，提高服務意識和質(zhì)量；最后運用新技術，提供低收費景點自助講解服務，降低單位游客旅游消費成本，提高游客的滿意度。