光柵衍射效應(yīng)MATLAB仿真的應(yīng)用

文/陳繼超 向文麗

（1.會(huì)澤縣樂業(yè)鎮(zhèn)中學(xué)校 云南省會(huì)澤縣 654223 2.楚雄師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 云南省楚雄彝族自治州雄市 675000）

中學(xué)物理衍射部分的知識(shí)是物理學(xué)習(xí)的重要章節(jié)，衍射部分的知識(shí)屬于波動(dòng)光學(xué)，比較抽象難懂，借助于平面光柵衍射實(shí)驗(yàn)可進(jìn)一步較形象地理解和掌握該知識(shí)點(diǎn)，其實(shí)驗(yàn)裝置較為簡單，但實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象卻受很多因素的影響，例如波長λ，縫數(shù)N，光柵常數(shù)d，以及縫寬b；看似容易的實(shí)驗(yàn)，但在實(shí)際操作時(shí)存在一定的難度和誤差，主要問題是：首先、平行光嚴(yán)格垂直入射光柵難以調(diào)節(jié)，存在一定的誤差；其次、由于光源發(fā)出的光在介質(zhì)中會(huì)發(fā)生散射，最終通過光柵的光強(qiáng)有一定程度的減弱，從而影響衍射條紋的接收和觀察；再次、一般實(shí)驗(yàn)室只有一定規(guī)格的光柵，光柵衍射只局限于單種規(guī)格光柵實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和規(guī)律，不同規(guī)格光柵衍射存在一定的實(shí)際困難；最后、由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)中存在一些雜散光干擾，當(dāng)雜散光匯聚在接收屏上會(huì)看到額外的鬼像，在這些區(qū)域會(huì)引起對比度的下降，不利于衍射條紋的觀察。基于這樣的實(shí)驗(yàn)缺陷，顧將抽象難懂的光學(xué)現(xiàn)象、規(guī)律通過計(jì)算機(jī)仿真，將實(shí)驗(yàn)生動(dòng)、形象地表現(xiàn)出來，使學(xué)生更易于接受，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而加深對衍射內(nèi)容及規(guī)律的理解，具有明顯的教學(xué)效果。

本文利用MATLAB 程序設(shè)計(jì)得到衍射光強(qiáng)分布圖和條紋分布圖，探索了縫數(shù)N、光柵常數(shù)d、縫寬b、波長λ 對衍射效應(yīng)的影響，如此，不僅可以克服實(shí)驗(yàn)驗(yàn)中物理儀器和其他偶然情況等因素給實(shí)驗(yàn)帶來的限制和誤差，還可以和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象對比，加深對光柵衍射特征及規(guī)律的理解。

1 衍射原理

衍射光柵是基于單縫衍射和多縫干涉效應(yīng)工作的周期性光波調(diào)制器件。基于夫瑯禾費(fèi)平面光柵衍射實(shí)驗(yàn)，波長為λ 的激光垂直照射等寬等間距的平行狹縫或刻痕，如圖1 所示，各縫的寬度為b,相鄰兩縫不透明部分的寬度為a，光柵常數(shù)d=a+b.衍射角為θ。

平面光柵衍射光強(qiáng)滿足：

圖1：平行光垂直入射光柵圖

當(dāng)平行光垂直入射光柵時(shí)，滿足下式：

式中λ 為單色光的波長，θ 為衍射角（衍射光與光柵平面法線之間的夾角），j 為衍射光譜的級(jí)次，取值：0，±1，±2…。

特別地，當(dāng)平行光垂直入射單縫時(shí)，即為下式：

式中λ 為單色光的波長，θ 為衍射角（衍射光與光柵平面法線之間的夾角），j 為衍射光譜的級(jí)次，取值：0，±1，±2…。

德布羅意關(guān)系式：

2 仿真參數(shù)的設(shè)置

在夫瑯禾費(fèi)平面光柵衍射實(shí)驗(yàn)理論的指導(dǎo)下進(jìn)行MATLAB 仿真，參數(shù)的設(shè)置及程序的設(shè)計(jì)如下：

參數(shù)的設(shè)置：在探究縫數(shù)N、光柵常數(shù)d、波長λ 及縫寬b 對衍射效應(yīng)的影響時(shí)，均采用控制變量法。

圖2：不同縫數(shù)下的衍射效應(yīng)圖

圖3：不同光柵常數(shù)下的衍射效應(yīng)圖

（1）縫數(shù)變化：λ=632.8nm，b=0.005mm，d=0.01mm，f=100mm 保持不變。

（2）改變光柵常數(shù)，保持λ=632.8nm，b=0.005mm，N=2，f=100mm 不變。

（3）縫寬b 變化，波長λ=628nm，f=100mm,d=0.01mm，N=2不變。

（4）波長變化，保持f=100mm;b=0.005mm;d=0.01mm;N=4不變。

主程序如下：

3 仿真結(jié)果及分析

MATLAB 將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成于一個(gè)易于使用的可視窗環(huán)境中，并且進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算，為眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，其在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言，從而得到不同縫數(shù)的仿真圖。為了保證圖形更清晰，文中將MATLAB設(shè)置為灰色。仿真結(jié)果得到的衍射光強(qiáng)分布圖（圖2-圖5），進(jìn)一步討論可知：

3.1 縫數(shù)對衍射效應(yīng)的影響

由MATLAB 程序設(shè)計(jì)了多縫衍射縫數(shù)N 分別為2、6、10、100。保持其他相關(guān)參數(shù)不變：λ=632.8nm，b=0.005mm，d=0.01mm，f=100mm。運(yùn)行程序的到圖2（a 相對光強(qiáng)和b 衍射條紋），從圖2 中（a、b）的衍射條紋看到，縫數(shù)越多，條紋越密集，主級(jí)大光強(qiáng)分布曲線也越尖銳，并且以主級(jí)大為中心，靠近主級(jí)大的兩個(gè)光強(qiáng)峰隨縫數(shù)的增強(qiáng)也變得尖銳，高度不變。在圖2（a）中，0 位置處均表示光強(qiáng)的主極大，其左右兩邊較突出的峰是次級(jí)大；在圖2（b）中，0 位置處均表示衍射圖樣的零級(jí)條紋，左右兩邊分別是其他級(jí)次的條紋。對圖形分析得到：

圖4：不同縫寬下的衍射效應(yīng)圖

圖5：不同波長下的衍射效應(yīng)圖

（1）多縫衍射圖樣出現(xiàn)一系列新的光強(qiáng)級(jí)大和級(jí)小，較大的亮線是主級(jí)大，較弱的亮線是次級(jí)大；

（2）主級(jí)大的位置和縫數(shù)無關(guān)，其寬度隨著縫數(shù)的增大反而減小，但光強(qiáng)與縫數(shù)的平方成正比；

（3）相鄰兩主極大間的次極大和次極小的數(shù)量與縫數(shù)N 有關(guān)，相鄰主級(jí)大有N-1 條暗紋，N-2 個(gè)次級(jí)大；

（4）光強(qiáng)分布中保留了單縫衍射因子，而單縫衍射因子僅影響強(qiáng)度在各級(jí)主級(jí)大間的分配。

（5）光屏上接收到的所有最大值和最小值條紋，其條紋位置分布取決于衍射角θ。

從MATLAB 仿真的多縫圖樣中可以看到主級(jí)大的亮線的寬度隨著縫數(shù)N 在減小，這在光柵光譜中有實(shí)際意義。在(1)式中包含了兩部分，即單縫衍射因子和縫間干涉因子,以下是對他們的討論：

實(shí)際的實(shí)驗(yàn)裝置，干涉和衍射同時(shí)存在，并且混雜在一起，此時(shí)干涉條紋的分布要受單元衍射因子的調(diào)制，而在光柵次數(shù)d 確定的情況下，衍射圖樣中主級(jí)大的位置就確定了，而單縫衍射因子僅僅影響光強(qiáng)在各級(jí)主級(jí)大間的分布，由于每一條狹縫衍射的作用,在多縫屏接收到的干涉明紋并不是等強(qiáng)度分布,而是受到了單縫衍射光強(qiáng)分布的調(diào)制,接收屏上的光強(qiáng)分布發(fā)生了重新分布。

利用MATLAB 程序設(shè)計(jì)，可使衍射光強(qiáng)的分布可視化，這對衍射部分知識(shí)的理解更容易，其衍射條紋更加清晰，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象更明顯，有利于總結(jié)衍射規(guī)律，教學(xué)效果好。

3.2 光柵常數(shù)對衍射效應(yīng)的影響

當(dāng)縫數(shù)N=2,波長λ=632.8nm，焦距f=100mm時(shí),保持縫寬b=0.005mm 不變，改變光柵常數(shù)d 依次為d=0.010 mm、0.020 mm、0.030 mm、0.040mm，其仿真結(jié)果如圖3（c、d）。從條紋和光強(qiáng)的現(xiàn)象圖中可以看到，光柵常數(shù)增大時(shí)，主級(jí)大出現(xiàn)的數(shù)目越多，出現(xiàn)的條紋越多且越細(xì)，但光強(qiáng)的峰高不變，峰的寬度減小，其中衍射的譜線逐漸變窄，銳度變得越來越好，并且在圖3（d）中的衍射條紋可明顯的看到，當(dāng)光柵常數(shù)（d）從0.010mm 開始計(jì)算，逐漸增大0.010mm 時(shí)，相鄰兩個(gè)衍射圖的衍射條紋總體相差三條，明條紋相差兩條，暗條紋相差一條；在波長λ 一定時(shí),d 越大,相鄰兩個(gè)主極大明紋靠的越近；在圖3（c）相對光強(qiáng)中也呈現(xiàn)相應(yīng)的變化。

3.3 縫寬對衍射效應(yīng)的影響

當(dāng)波長λ=628nm，焦距f=100mm，縫數(shù)N=2 時(shí)，保持光柵常數(shù)d=0.01mm 不變，改變縫寬b=0.005、0.007、0.009、0.011mm。其仿真結(jié)果如圖4（e、f）。從圖中的衍射現(xiàn)象看到，當(dāng)b 逐漸增大時(shí)，主極大的條紋亮度、光強(qiáng)和峰寬均不變，次級(jí)大的條紋亮度變暗、光強(qiáng)和峰寬均變化。從圖4（f）中的衍射條紋可明顯的看到，當(dāng)縫寬（b）從0.005mm 開始計(jì)算，逐漸增大0.002mm 時(shí)，零級(jí)條紋的亮度、寬度和位置不變，+1 級(jí)、-1 級(jí)的亮度逐漸變暗、寬度變窄和位置在改變；在圖4（e）相對光強(qiáng)中也呈現(xiàn)相應(yīng)的變化。縫寬為0.011mm 的衍射條紋和光強(qiáng)與縫寬為0.005、0.007、0.009mm 的衍射條紋和光強(qiáng)與縫寬存在差別，表現(xiàn)在：條紋多了兩條，峰多了兩個(gè)。這種變化在光柵光譜儀中，光柵光譜儀的分辨率受狹縫寬度的影響，因此研究縫寬對衍射效應(yīng)的影響是非常有必要的。

3.4 波長對衍射效應(yīng)的影響

保持f=100mm;b=0.005mm;d=0.01mm;N=4 不變，光源的波長分別為700nm、500nm、300nm、100nm。仿真結(jié)果如圖5（g、h）。從圖中的衍射現(xiàn)象看到，每一種波長都會(huì)產(chǎn)生與之對應(yīng)的最大值條紋，對于一級(jí)衍射，不同波長的光波的衍射角不同，衍射峰值光強(qiáng)的大小也不同。當(dāng)波長減小時(shí)，出現(xiàn)的條紋越多且越細(xì)，光強(qiáng)在各級(jí)次中也減小。由（7）式可知，Δθ 與λ 成正比，保持其他參數(shù)不變，僅改變?chǔ)耍溲苌錀l紋的變化特點(diǎn)、主極強(qiáng)的衍射角和條紋角間距均隨λ 的變長而變大。

從圖5 中看到，在波長在700-300nm 內(nèi)變化，衍射條紋有九條，相對光強(qiáng)圖中的峰均有九個(gè)；但在波長減小時(shí)，條紋的寬度隨著減小，零級(jí)條紋的位置不變，其他級(jí)的條紋位置變化較明顯；與波長λ=700nm、500nm 相比，波長為300nm 時(shí)衍射條紋和光強(qiáng)圖差別較大，表現(xiàn)在：六條條紋接近零級(jí)條紋，但在遠(yuǎn)離該區(qū)域的方向上，兩側(cè)明顯出現(xiàn)了有一定亮度的條紋；波長變?yōu)樽贤夤鈺r(shí)（λ=100nm），與波長λ=700nm、500、300nm 相比，條紋的數(shù)目明顯多于九條，條紋亮度依次變暗。由此可見，波長對衍射效應(yīng)的影響較復(fù)雜。

l905年愛因斯坦提出光子假說，認(rèn)為一束光是一束以光速運(yùn)動(dòng)的粒子流，該粒子即為光子，頻率為v 的光，每一個(gè)光子所具有的能量為hv，不可再分割，并依此建立起光電效應(yīng)方程，全面說明了光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)規(guī)律。許多實(shí)驗(yàn)都表明光既具有波動(dòng)性，又具有粒子性，從而逐步加深了人們對光的本性的認(rèn)識(shí)，即光具有波粒二象性。由德布羅意關(guān)系式（4）（5）可得：波長越長波動(dòng)性越顯著，波長越短，粒子性越顯著。在圖5 中可以看出相同的規(guī)律。

綜上所述，本文利用MATLA 程序設(shè)計(jì)得到衍射光強(qiáng)分布圖及條紋圖，在探索了縫數(shù)N、光柵常數(shù)d、波長λ 對衍射效應(yīng)的影響及缺級(jí)現(xiàn)象的分析，不僅可以克服實(shí)驗(yàn)中物理儀器和其他偶然情況等因素給實(shí)驗(yàn)帶來的限制和誤差，MATLA 程序設(shè)計(jì)得到衍射圖樣，其衍射現(xiàn)象清晰可見，圖形中的信息提供了豐富的內(nèi)容，通過計(jì)算機(jī)的仿真，可直觀而豐富的把光柵衍射的全部特征呈現(xiàn)出來，為理論的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ) 。對于波的衍射，理論上光是一種波，但在生活中很難看到光的衍射，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，通過仿真引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷物理探究過程，培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)解決物理問題的思維，以達(dá)到突破教學(xué)重難點(diǎn)的方法。

3 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)的MATLA 程序運(yùn)行后，得到的衍射條紋及光強(qiáng)分布圖，探索了縫數(shù)N、光柵常數(shù)d、波長λ 及縫寬b 對衍射效應(yīng)的影響及缺級(jí)現(xiàn)象的分析，是將夫瑯禾費(fèi)衍射理論進(jìn)一步拓展和升華。利用MATLAB 編程將一些難以觀察的現(xiàn)象展現(xiàn)出來，這加深了對此內(nèi)容的理解。利用條紋的清晰度來判斷光學(xué)導(dǎo)軌的調(diào)平，提供一種簡便的方法，豐富了衍射實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。