泡沫鋁本構行為研究進展1)

賈 然 趙桂平

(西安交通大學航天航空學院機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)

引言

多孔材料(cellular materials) 是一種由形成孔穴(cell,也稱胞孔) 的棱邊和壁面所組成的相互連接的網絡體,其相對密度一般小于0.3,孔隙率一般大于0.7[1].自然界中存在種類繁多的多孔材料,例如骨骼、蜂窩、軟木等,如圖1 所示.隨著生產工藝的進步,人們已經能夠生產各式各樣的多孔材料,如泡沫金屬[2]、泡沫陶瓷[3]、泡沫聚合物[4]、金屬蜂窩結構[5-6]、點陣結構[7]等,范圍覆蓋正泊松比及負泊松比[8].

圖1 自然界中的多孔材料[9]Fig.1 Cellular materials in nature[9]

作為泡沫金屬的重要分支,泡沫鋁是以鋁(或鋁合金) 為基材,由包含金屬和孔洞的復合結構所構成,如圖2 所示.從胞孔結構上看泡沫鋁可分為兩類[10-11]:開孔泡沫鋁、閉孔泡沫鋁.泡沫鋁兼具多孔材料和金屬材料的特點,是一種結構和功能一體化的新型材料.作為結構材料,泡沫鋁具有高比強度、高比剛度、高效吸能等特點;作為功能性材料,泡沫鋁具有隔聲、隔熱、阻燃、減震、電磁屏蔽等特性.

圖2 泡沫鋁材料[12]Fig.2 Aluminum foam[12]

與傳統的鋁或鋁合金等致密金屬材料相比,泡沫鋁具有明顯的不同特性,前者在塑性階段幾乎不可壓縮,因此單軸壓縮試樣在大應變時表現出體積守恒的橫向膨脹,而泡沫鋁具有明顯的體積可壓縮特性[13].存在這種差異的主要原因是泡沫鋁自身特殊的孔隙結構,因此泡沫鋁的材料特性及力學性能表征也主要圍繞其孔隙結構進行.一般來說,主要有以下幾個參數或特征:

(1)相對密度或孔隙率;

(2)孔徑大小及其不均勻性[14];

(3)胞孔形狀及其不規則度[15].

作為材料參數,相對密度、孔隙率的表達形式已為大家熟知.其中,孔隙率的計算公式

式中,θ 為材料孔隙率,Vo為材料總體積,Vp為材料中孔隙所占體積,Vs為材料中致密基材所占體積.相對密度與孔隙率之間的關系為

式中,ρr為材料相對密度,ρ?為材料表觀密度,ρs為材料致密基材密度.

1 泡沫鋁試驗研究進展

為明確各參數(孔隙率、相對密度、孔徑等)對泡沫鋁本構模型的影響,確定本構模型關鍵參數,進而建立準確可靠的本構模型,人們對泡沫鋁進行了單軸壓縮、單軸拉伸、扭轉、靜水壓縮、三軸比例壓縮、動態單軸壓縮、分離式霍普金森桿(SHPB)撞擊及三點彎曲等多種載荷條件下的試驗研究,如圖3及表1 所示.

總體來說,已有的試驗研究可按以下性質分類:

(1)加載方向:單軸加荷、雙軸加荷、三軸比例加荷以及靜水加荷;

(2)加載方式:壓縮、拉伸、剪切、彎曲、扭轉及簡單的復合加載;

(3)加載速率:靜態、準靜態、動態.

圖3 泡沫鋁試驗載荷種類示意[16]Fig.3 Types of aluminum foam test loads[16]

表1 泡沫鋁本構行為試驗研究列表Table 1 Experimental study on constitutive behavior of aluminum foams

在以泡沫鋁本構模型構建為導向的試驗研究中,人們進行最多也最成功的是單軸壓縮及拉伸試驗.Harte 等[17-18]在試驗中觀察到Alporas 和Duocel 兩種泡沫鋁的單軸拉伸屈服強度與單軸壓縮屈服強度近似相等,這對陳常青等[19-21]的本構模型構建產生了深遠影響,以上述為代表的本構方程的函數形狀在平均應力?有效應力平面上關于有效應力軸對稱.以Miller 等[13,22]為代表的學者則認為泡沫鋁拉伸、壓縮屈服強度的差異性不能忽略,因此提出了函數形狀在平均應力?有效應力平面上關于有效應力軸非對稱的本構方程.

由于泡沫鋁材料受壓時表現出良好的吸能特性,引起人們對其動態壓縮性能的關注,并開展了大量的沖擊載荷、爆炸載荷等動態加載試驗.在此過程中,大家對泡沫鋁的吸能機理有了深入的認識,也推進了泡沫鋁在相關領域內的應用.泡沫鋁動態性能試驗的加載設備也從傳統的材料試驗機發展到落錘試驗機、雙擺沖擊裝置[23]、分離式霍普金森桿(SHPB)[24]、高速動力加載系統[25]等,實現了各種應變率下的動態加載.在相關研究的基礎上,學者們提出了多種泡沫鋁高應變率一維本構模型[26-36].

在單軸拉、壓試驗的同時,三軸壓縮試驗也得到了進一步的發展.泡沫鋁三軸壓縮邊界條件主要通過兩種方式實現:(1)圍壓裝置,(2)三軸加載儀.

圍壓裝置可分為主動圍壓裝置[31]和被動圍壓裝置[37].前者通過液壓設備,提供大小可控的圍壓,如圖4(a)所示;后者采用圓形或者方形的套筒(鋼制或其他),通過限制泡沫鋁受壓時的橫向變形,被動的提供圍壓,如圖4(b)所示.

主動圍壓裝置所用試件需密封處理.Deshpand與Fleck[20]采用鋁墊片(厚度25 μm) 及橡膠薄膜包裹試件,然后用楔形結構密封,如圖5 所示,首次成功進行了三軸壓縮試驗,并提出了經典的自相似模型(self-similar model)及微分強化模型(differential hardening model).Ruan 等[38]利用主動圍壓裝置對泡沫鋁多軸加載下的初始屈服面進行測試,發現Deshpand 和Fleck 提出的自相似模型受塑性泊松比影響嚴重,認為獲得準確的塑性泊松比十分重要.被動圍壓裝置與SHPB 結合,可以實現泡沫鋁的動態三軸加載,如圖6 所示,王二恒等[39-40]采用這種方式,對Chen-Lu 本構進行了應用驗證.

圖4 圍壓裝置Fig.4 Confining pressure device

圖5 試件密封組裝[20]Fig.5 Sealed assembly of test pieces[20]

圖6 泡沫鋁動態三軸加載示意圖[39-40]Fig.6 Schematic of dynamic triaxial loading of aluminum foam[39-40]

相較于圍壓裝置,三軸加載儀通過復雜的傳動設計及液壓伺服控制,使泡沫鋁在三個方向獨立受壓,可以實現更加復雜的應力狀態,但是其傳動機構復雜,加載速度與行程受限.此外,部分三軸加載儀所用試件需要特殊處理.Shafiq 等[41]設計的三軸加載儀如圖7 所示.Combaz 等[42]利用三軸加載儀研究了開孔泡沫鋁拉伸和壓縮下的初始屈服面,并提出屈服面取決于第一、第二及第三應力張量不變量的觀點.

圖7 三軸加載儀(拉壓)[41]Fig.7 Triple loader(tension and compression)[41]

在泡沫鋁多軸加載的實驗研究中,其雙軸加載得到了較好的實現.Wu 等[43]采用如圖8 所示的MTS 雙軸試驗機對泡沫鋁進行了雙軸加載試驗,尤其是雙軸拉伸數據的采集,為泡沫鋁屈服面的研究及本構模型的驗證工作提供了重要依據.

為了對泡沫鋁的抗剪性能有深入的認識,專家們還對泡沫鋁進行了剪切、扭轉、拉伸?扭轉、壓縮?剪切及拉伸?剪切等試驗.Ashby 等[44]通過圖9所示原理的裝置,測試了泡沫金屬的剪切強度.Blazy等[45]基于拉伸裝置,增加扭轉機構,研發了拉伸?扭轉試驗裝置,對泡沫鋁進行了拉伸?扭轉試驗.Doyoyo 等[46]及Zhou 等[47]基于Arcan 裝置[48]的改進設備(圖10),對泡沫鋁進行了壓縮?剪切、拉伸?剪切試驗.通過對SHPB 裝置及落錘試驗機的改造,崔云霄等[49-50]實現了雙試件的沖擊壓剪加載,如圖11(a)所示; Sun 等[51]實現了單個試件的沖擊壓剪,如圖11(b)所示,葉福慶等[52]以此試驗裝置為參考,對泡沫鋁的動態壓剪性能進行了數值研究.

圖8 MTS 雙軸試驗機[43]Fig.8 MTS biaxial testing machine[43]

圖9 剪切試驗原理圖[44]Fig.9 Schematic of shear test[44]

圖10 改進的Arcan 裝置[53]Fig.10 Improved Arcan device[53]

圖11 沖擊壓剪試驗裝置示意圖Fig.11 Schematic diagram of impact compression shear test device

在對泡沫鋁力學性能的試驗研究中,采用合理的試驗方法,準確觀測其在各種邊界條件下的變形是一個關鍵問題.為了觀察到泡沫鋁在高速沖擊載荷下的變形過程,楊寶等[54]將高速攝影技術引入泡沫鋁SHPB 試驗中.由于泡沫鋁試件的外表面并不平整,接觸式測量方式(應變片或機械引伸計) 存在諸多困難.為了準確獲得泡沫鋁試驗過程的形貌特征及變形數據,程潔[55]、Schüler 等[56]將三維數字圖像技術(3D digital image correlation,3D DIC) 引入試驗研究中.此外,為了研究泡沫鋁變形時內部微結構的演化規律,汪敏等[57]將同步輻射X 射線計算機斷層掃描技術(synchrotron X-ray computed tomography,SXR-CT)引入到泡沫鋁的壓縮試驗中.

通過大量且系統的試驗研究,人們獲取了豐富的數據,對泡沫金屬變形機理及力學特性的認識逐漸加深.這為泡沫鋁本構模型的研究奠定了堅實基礎.

2 有限元數值分析研究進展

2.1 細觀模型研究現狀

泡沫鋁的另一個重要特點是其細觀組織結構尺度在亞毫米或毫米級別,容易辨識,因此建立合適的細觀模型,采用有限元軟件來研究泡沫鋁的力學性能,并服務于泡沫鋁本構模型的構建及驗證工作,是一種常用的方法.

在有限元數值分析中,學者們提出了多種代表性體積單元(representative volume element,RVE)[58],用來表征泡沫鋁復雜的幾何構型.總的來說,這些模型可以劃分為3 類[57]:球體幾何模型(geometric model)、結構模型(structural model)和離散模型(discrete model),如表2 所示[59].

表2 閉孔泡沫鋁有限元模型[59]Table 2 Finite element model of closed-cell aluminum foam[59]

球體幾何模型通常采用球或橢球形來表示泡沫鋁的孔結構,球形胞孔常采用規則分布[60-61],如簡單立方(primitive cubic)、體心立方(body centered cubic)及面心立方(face centered cubic); 橢球形胞孔一般會施加不用程度的隨機擾動,使胞孔的空間分布呈現不規則性,此外橢球形胞孔的尺寸也常表現出一定的不均勻性[62].幾何模型和高相對密度的球形胞孔泡沫鋁具有較高的相似度.

結構模型用殼(shell)單元或梁(beam)單元來構造胞孔的孔壁或棱,其模型構造形式有Kelvin 十四面體模型[63]、高斯隨機場模型[64]、十字形錐體模型[65]、十字形半球模型、切角立方體模型、球面立方模型[66]、橢球立方模型[67]、橢球金字塔模型[68]、球體三角形模型[69]及Voronoi 模型[14,70-71]等.在有限元軟件中,梁單元假定其長度遠大于另外兩維尺寸,殼單元假定其厚度遠小于另外兩維尺寸[72],因此,結構模型僅適用于低相對密度泡沫鋁的數值分析.

結構模型種類繁多,實際使用中常與幾何模型組合使用,產生了眾多混合模型.混合模型可適用于高相對密度及低相對密度泡沫鋁的數值分析[73].因此,其應用愈來愈廣泛.

離散模型(也稱逆向重構模型)基于Micro CT 斷層掃描技術構建,可更加真實地反應泡沫鋁(或其他多孔材料)內部胞孔的形狀及分布.離散模型的數據與試驗結果有良好的吻合度,但是其建模過程復雜(圖12),模型計算量巨大.隨著建模技術的不斷成熟,越來越多的研究人員將其運用到泡沫鋁(尤其是閉孔泡沫鋁)力學性能及本構模型的研究中.

2.2 數值分析研究現狀

相較于試驗研究,有限元數值分析在參數控制、加載方式及邊界條件的實現上,有巨大的優勢.泡沫鋁試件由于制備工藝的局限不可避免地存在分散性(或無序性)[1,10],包括胞孔形狀、孔壁厚度、孔徑及內部缺陷等在泡沫鋁試件中分布的無序性,使得試驗結果有很大的離散性,同時,試驗中無法清楚觀測到試件高速變形的過程.這些是泡沫鋁本構模型的試驗研究和驗證工作的主要困難之一.數值分析中,可以根據研究對象和目的,選取球體幾何模型(geometric model)、結構模型(structural model)或離散模型(discrete model)[58]等,合理設置和控制胞孔形狀、孔壁厚度、孔徑、孔隙率及內部缺陷等相關參數[9,14-15],實現參數的精準控制,進而減輕或消除泡沫鋁分散性的影響.在此基礎上,通過一定的技術手段,研究人員實現了對泡沫鋁各種加載速度(或應變率)、加載方式及邊界條件的數值分析,包括單軸加載、側面耦合單軸加載、雙軸加載、三軸比例加載、三軸靜水加載及其他特殊的邊界條件.對泡沫鋁的宏觀性能和細觀結構、孔壁材料性能之間的關系,包括楊氏模量、體積模量、屈服強度、塑性泊松比、屈服面及其強化規律等,有了更深入的認識.

圖12 閉孔泡沫鋁三維影像重構過程示例[59]Fig.12 Example of closed-cell foam aluminum 3D image reconstruction process[59]

Grenestedt 等[74]使用Kelvin 模型研究了孔壁厚度對閉孔泡沫材料彈性剛度的影響.Youssef 等[75]通過逆向重構模型研究了多孔材料壓縮過程中的初始組織和局部變形機理.Bardenhagen 等[76-77]采用物質點法模擬了開孔泡沫材料致密化的過程,并分析了其物理特性.Demiray 等[78]對開孔泡沫材料的初始及后繼屈服面進行了數值計算.劉耀東等[79]對多孔金屬速率敏感性進行了數值研究.宋延澤等[63]基于十四面體模型對閉孔泡沫材料的動態力學性能進行了有限元分析.Marcadon 與Feyel[80]采用空心球堆疊模型,討論了模型結構體系及其對本構方程的影響.Giorgi 等[81]對比分析了Kelvin 十四面體及不規則分布橢球兩種胞元結構對有限元計算結果的影響.

Machado 等[82]將無網格伽遼金算法(elementfree Galerkin method) 引入到泡沫材料的力學性能研究中,并將ABAQUS 中體積強化可壓縮本構模型的屈服面演化與ABAQUS 中各向同性強化可壓縮模型的非關聯流動法則組合應用,捕捉到了更高的變形和變形梯度.宮偉偉[83]將自相似模型引進到物質點法程序中,并加入了失效準則,用于模擬泡沫鋁的動態壓縮試驗.Zhang 等[84]基于3D Voronoi 技術,分析了閉孔泡沫金屬材料的倒塌與斷裂行為的細觀力學表現.張健等[59,85]采用逆向重構泡沫鋁模型,確定了三種本構模型的材料參數,并驗證了其在多軸載荷下屈服面演化的適用性.

張樂等[86]、王長峰等[87]及張健等[59,85]分別在Kelvin 模型、3D Voronoi 模型及泡沫金屬逆向重構模型的壓縮過程中觀察到泡沫鋁的塑性泊松比呈現倒S 形走勢,張健等[59,85-86]提出了平均塑性泊松比的概念.范志庚等[88]用三維隨機有限元模型模擬閉孔泡沫鋁,發現在中、低應變率下,泡沫鋁材料率相關性能主要取決于其基體材料的應變率敏感性,高應變率下,泡沫鋁材料率相關性能受基體材料的應變率敏感性以及微結構慣性聯合作用.

隨著研究的深入和建模技術的發展,采用離散模型進行泡沫鋁本構行為的數值分析研究逐漸成為一大研究趨勢.Jeon 等[89]采用離散模型對閉孔泡沫鋁的塑性破壞行為進行了研究,發現塑性應變局部帶的塑性鉸是引起泡沫鋁塑性破壞的主要原因.張健等[85](2015) 采用逆向重構模型,確定了3 個有代表性的泡沫鋁本構模型的本構參數,并對其在單軸壓縮和靜水壓縮下的模型屈服面準確性進行了評估.李侯貞強等[90]基于映射網格思想,提出一種建立閉孔泡沫鋁三維離散模型的簡化方法,實現了對泡沫鋁試件在準靜態和動態壓縮下的受力、變形與破壞過程更加詳細的模擬分析.雖然基于Micro-CT 斷層掃描技術的離散模型建模復雜,中間處理步驟繁多且往往需借助于多套大型商業軟件來實施,但是其可最大程度還原泡沫鋁的胞孔形態和拓撲結構特征,具有其他模型無法比擬的仿真程度,因而備受青睞.

通過商業化有限元軟件(包括ANSYS、ABAQUS、LS-DYNA 等)及非商業開源軟件提供的數據接口,人們開發了多種描述多孔材料性能的本構子程序,極大提高了分析效率并簡化了操作流程,同時也為泡沫鋁在工程項目中的應用帶來了方便,推動了眾多內置于有限元軟件的數值分析模型的誕生.Reyes等[91]通過增加單元刪除準則來模擬斷裂和失效,同時考慮材料質量的非均勻分布,并通過用戶子程序將其植入有限元軟件LS-DYNA 中.Shahbeyk 等[92]針對自相似模型編制了ABAQUS 的VUMAT 接口子程序,研究了泡沫金屬填充鋁管的壓潰性能.羅紹鴻[12]以自相似模型為基礎,增加材料破壞準則,利用ABAQUS 平臺開發了一套包含彈塑性分析和破壞特征描述的泡沫鋁VUMAT 程序.為描述高孔隙率泡沫鋁的應變率效應,寇玉亮等[94]建立了一種率相關的橫觀各向同性泡沫鋁本構模型,開發了基于ABAQUS 平臺的VUMAT 子程序,并采用一個單元和多個單元驗證了計算結果的收斂和穩定性.張健[59]基于各向同性可壓縮泡沫本構模型框架,采用特征應變、兩參數對稱屈服面、體積強化和非關聯流動法則,加入破壞準則,建立了閉孔泡沫鋁的唯象本構模型,并編寫了ABAQUS 的VUMAT 接口子程序.

采用有限元數值方法研究泡沫鋁材料本構關系也有其局限性.首先是數值分析計算精確性的問題.不同軟件、模型、邊界條件等眾多因素,都會對計算結果的精確度造成影響.其次,是計算效率問題.由于泡沫鋁材料本身結構的復雜性,為了得到可靠的分析結果,人們往往傾向于選用簡化程度較低的模型,進而導致其計算效率降低.為了提高計算效率,在數值分析中常采用質量縮放(mass scaling)、對稱性邊界條件等[95-96]技術手段.最后,雖然在有限元軟件中各種載荷邊界條件相對于試驗更容易實現,但是,泡沫鋁的三軸比例加載(加載比例為1:1:x)及非比例加載(加載比例為1:x:y)依舊存在大變形下的應力比例難以維持恒定的問題[59].

3 現有本構模型概述

泡沫鋁在宏觀上具有非線性大變形、體積可壓縮、拉壓不對稱和應變率相關等復雜特性.以大量的試驗研究、數值模擬及理論分析為基礎,人們建立了不同的本構模型來表征泡沫鋁的應力?應變關系,并確定了一些關鍵本構參數(楊氏模量、塑性泊松比、壓縮及拉伸屈服強度等) 與泡沫鋁材料參數之間的關系.其中,有些模型最初并非是針對泡沫鋁材料建立,但是通過相關的試驗研究和數值分析,發現其對泡沫鋁具有較好的適用性,因此被一些學者用于泡沫鋁力學性能及本構模型的研究中.

3.1 一維本構模型概述

一維本構模型主要用于分析泡沫鋁的動態壓縮行為及吸能性能.應力增強和變形局部化是泡沫鋁在動態壓縮下最明顯的兩個特征,基于此專家們提出了一系列的一維本構模型.

Reid 和Penguin[35]對木材在沖擊載荷下的力學性能進行研究后,提出了R-P-P-L (rigid-perfectly plastic-locking) 模型,Tan 等[33,42]基于該模型預估了泡沫鋁在工程設計中的一階近似動態響應,Main等[31,35]通過該模型定量表征了泡沫鋁在高應變率下的動態壓潰行為.R-P-P-L 模型核心參數動態塑性壓潰應力σd與密實應變εD的關系式為

式中,σqs為準靜態塑性壓潰應力,ρ0為材料初始表觀密度,Vi為初始沖擊速度.

Tan 等[30]認為泡沫鋁在壓縮吸能中經歷的塑性變形遠大于彈性變形,因而可以忽略其彈性變形,采用R-P-P(rigid-perfectly plastic)模型來表征其壓縮行為更簡便.

Lopatnikov 等[32,97-98]認為泡沫鋁在壓縮吸能中經歷的彈性變形不能忽略,采用E-P-P-R (elasticperfectly plastic-rigid) 模型和 E-P-R (elastic-plasticrigid)模型來研究泡沫鋁的動態力學行為,體現泡沫金屬彈性變形階段對低速沖擊響應的影響.E-P-P-R模型關鍵參數臨界應力,即名義應力?應變曲線中線彈性階段與準平臺階段(quasi-plateau region)的切線交點[32,35],其表達式為

式中,E0為彈性模量,εmax為最大理論應變,由泡沫金屬的相對密度ρr確定,即εmax=1 ?ρr,為泡沫金屬準靜態壓縮時的單位體積能.E-P-R 模型關鍵參數最大理論應力σmax與塑性模量EP的表達式分別為

式中,σcr為模型臨界應力,εcr為臨界應變.

Pattofatto 等[28,99]和Harrigan 等[100]分別用R-PLH (rigid-power law hardening) 模型和E-P-P-H(elastic-perfectly plastic-hardening) 模型研究泡沫金屬的動態力學行為.R-PLH 模型的表達式為

式中,σ0為初始壓潰應力,K為強度指標,n為應變硬化指數.

Zheng 等[101]提出用R-LHP-L(rigid-linearly hardening plastic-locking) 模型研究泡沫金屬在沖擊模式和過渡模式下的動態力學行為,成功預測并給出了泡沫金屬3 種變形模式(均勻模式、過渡模式和沖擊模式)臨界速度,為R-P-P-L 模型補充了解析解.

Wang 等[29]考慮應變率效應的影響,使用D-RLHP-L (dynamic-rigid-linear hardening plastic-locking)模型和D-R-P-P-L (dynamic-rigid-perfectly plastic-locking)模型研究了泡沫金屬桿內塑性波或沖擊波產生的臨界速度和能量守恒條件.

Zheng 等[26-27]分別用R-PH (rigid-plastic hardening)模型和D-R-PH(dynamic-rigid-plastic hardening)模型表征了泡沫金屬的準靜態應力?應變曲線和沖擊模式下的應力?應變曲線,得到了泡沫金屬完整的動態應力?應變狀態曲線,并且發現D-R-PH 模型能夠更好地預測沖擊速度足夠高時的沖擊波速.R-PH模型的表達式為

式中,σ0為初始壓潰應力,C為應變硬化參數.

3.2 一維本構模型總結

以是否忽略泡沫鋁在壓縮變形過程中的彈性變形為標準,可以將一維本構模型分為兩大類.R-P-P模型、R-P-P-L 模型及R-PLH 模型等忽略了泡沫鋁壓縮過程中的彈性變形階段,因而適用于高相對密度、高剛度的泡沫鋁材料;而低相對密度、低剛度的泡沫鋁材料的彈性階段相對較長,因此更宜選取E-P-P-R模型、E-P-R 模型或E-P-P-H 模型.

對于含有鎖定(locking) 的一維模型,其關鍵參數鎖定應變(即壓實應變) 的確定有多種方法.Gibson 和Ashby[1]將多孔材料應力?應變曲線中切線模量等于彈性模量的位置所確定的應變作為鎖定應變,并給出了鎖定應變與材料相對密度的線性關系.Reid 和Peng[35]將準靜態應力?應變曲線中平臺階段和密實階段切線的交點位置所對應的應變作為壓實應變.Tan 等[102]采用能量吸收效率法確定鎖定應變,這種方法一定程度上避免了人為選擇的隨意性,因而被廣泛應用.雖然已經有了一些確定鎖定應變的方法,但是,其不唯一性依舊是阻礙含有鎖定的一維模型應用的一個問題.

事實上,泡沫鋁應力?應變曲線密實階段是一個漸進的過程,基于這個認識,學者們提出了更加符合實際的一維模型,以考慮非線性塑性硬化行為,這是目前一維本構模型的一個主要發展方向.

一維模型中考慮應變率效應的模型占比較少,明確率效應對泡沫鋁一維本構模型的影響,將其引入一維本構模型中,也是一個十分重要的研究方向.Wang 等[29],Ding 等[26-27]在這方便的研究工作具有很好的參考意義.

3.3 三維本構模型概述

在工程上泡沫鋁越來越多地被用于各種多軸載荷的復雜工況.泡沫鋁自身復雜的結構,導致其多軸加載情況下變形機理更加復雜[103-104],由于建立細觀參數與宏觀力學性能之間的關系存在較多的困難,建立宏觀唯象本構模型就順理成章的成為泡沫鋁本構研究的重要途徑.目前,經過專家學者們的研究,已提出了多種本構關系的模型,其中部分模型經過修改內置于大型通用有限元分析(FEA)軟件LS-DYNA和ABAQUS 中[72,93,105-106],為泡沫鋁在軍事國防、航空航天及工業與民用領域的設計和應用提供理論和技術支撐.

(1)GAZT 模型

Gibson 等[1,107-109]從蜂窩材料雙軸加載出發,基于Gibson-Ashby 泡沫模型、梁變形分析和量綱分析,給出了如式(9)所示的屈服面函數

式中,σe為von Mises 等效應力,σm為靜水壓力(平均應力),σy為泡沫鋁單軸壓縮平臺應力,ρ?為泡沫鋁表觀密度,ρs為泡沫鋁基材料密度.GAZT 模型僅對初始屈服面進行了表征,沒有給出相應的強化及流動法則,但其依舊是泡沫鋁材料(及其他多孔材料)的經典本構模型之一.

GAZT 模型的屈服面在(σm,σe) 平面內為對稱拋物線,即認為泡沫材料單軸壓縮屈服強度與單軸拉伸屈服強度相等.Triantafillou 等[108]完成了模型的試驗驗證,并發現其較好地描述了泡沫材料多軸行為的主要特征.該模型基于規則模型得到,特別適合形狀規整且內部無缺陷的開孔泡沫材料,但對閉孔泡沫鋁的屈服面描述不夠準確.Andrews 等[110]比較了GAZT 模型對開孔及閉孔泡沫鋁的適用性,發現模型會高估閉孔泡沫鋁的楊氏模量和抗壓強度,但對于開孔泡沫鋁有很好的適用性.Miller[13]認為GAZT模型屈服面幾乎是不可壓縮的,單軸壓縮情況下會產生嚴重的側向變形,無法模擬泡沫金屬材料的貫入實驗.

圖13 Gibson-Ashby 模型Fig.13 Gibson-Ashby model

(2)Zhang 模型

Zhang 等[22,111]對泡沫材料多軸試驗測得的屈服點數據進行擬合,提出了一種中心不在原點的橢圓屈服模型,其屈服面函數為

其中,a,b與x0均為材料參數,a,b表示屈服面橢圓的長、短軸半軸的二次冪,x0表示橢圓中心位置,三者均可以通過試驗數據擬合得到.Peroni 等[16]發現該屈服面能很好地吻合多軸試驗的材料屈服數據.

Zhang 模型采用非關聯流動法則,即塑性流動勢函數φ 與屈服面函數f不相等,其塑性勢函數為

式(11)中,β 為控制體積塑性流動的材料參數.參數β 的表達式為

式(12)中,νpl為材料的塑性泊松比.

Zhang 模型的強化通過體積強化實現,并以塑性體積應變εvp為變量的材料參數x0(εvp),a(εvp) 和b(εvp) 來表征,通過改變式(10) 中的材料參數,使屈服面隨塑性體積應變的增大而增大.

張健[59]通過對閉孔泡沫鋁逆向重構模型進行有限元數值分析發現,Zhang 模型靜水壓縮下的屈服面演化與數值結果吻合較好,單軸壓縮和三軸等比加載(加載比例為1:1:x)的屈服點僅在應變較小時吻合較好.

(3)Miller 模型

Miller[13]基于連續介質思想、Drucker-Prager 準則[112]、關聯流動法則、率無關及各向同性硬化假設,引入大變形和對數應變張量,推導出一個增量形式的模型.Miller 認為泡沫金屬的屈服面必須與實驗觀察到的3 個特征相符,即存在可壓縮塑性變形,拉伸和壓縮屈服點存在差異及可壓縮至密實化的應力?應變曲線.Miller 模型的屈服面表達式為

式中,γ,α 和d為待定參數,通過試驗的應力、應變數據確定.由式(13) 可知,Miller 模型的屈服面是一個關于有效應力和平均應力的多項式,其形狀為(σm,σe)平面內的不對稱橢圓.式(13)中存在一個平均應力的一次冪,因而其屈服面可描述不同的拉伸和壓縮屈服行為.

Miller 模型采用關聯流動法則,即塑性流動勢函數φ 與屈服面函數f相等,模型強化法則的核心思想表達式為

當滿足式(15)時,Miller 屈服面退化為GAZT 屈服面

Ruan 等[113]發現Miller 模型在塑性泊松比vpl較大時會形成一個馬鞍形屈服面,與屈服面應是外凸面的要求不符.

(4)自相似模型(self-similar model)

Deshpande 和Fleck 依據開孔泡沫鋁Duocel (相對密度7%) 和閉孔泡沫鋁Alporas(相對密度8.4%,16%)的多軸壓縮試驗數據,提出了自相似模型(selfsimilat model)[20].自相似模型的屈服面表達式為

該模型為唯象模型.Deshpande 和Fleck 明確指出可將唯象理論引入到泡沫鋁的本構模型研究中,這對泡沫鋁本構模型的后續研究具有深遠的影響.

由式(16) 及式(17) 可知,自相似模型的屈服面在(σm,σe)平面為對稱橢圓.與Miller 模型相同,自相似模型同樣采用了關聯流動法則.

自相似模型的強化法則綜合考慮了泡沫鋁單軸壓縮及靜水壓縮對其后繼屈服面的影響,其表達式為

式中,Y0表示單軸壓縮的初始屈服應力,hσ(εu) 和hp(εvol) 分別表示單軸和靜水壓縮下的切線模量,用于表征泡沫鋁壓縮下的強化響應.

為了便于應用,自相似模型有一個簡化版.簡化版自相似模型(simplified version of the self-similar model) 的強化響應直接由單軸壓縮響應給出,其原理如式(20)所示

式中,H表示強化函數,為等效應變.

自相似模型及其簡化版的屈服面均以幾何自相似的方式演化,這與試驗觀察并不完全一致[31].與GAZT 模型一樣,自相似模型及其簡化版本同樣沒有考慮泡沫鋁單軸拉伸和壓縮的不對稱性.

(5)微分強化模型(differential hardening model)

為使屈服面的演化不受幾何自相似方式的約束,進而更準確地描述后繼屈服面的演化,Deshpande 和Fleck 還提出了更復雜同時也更為精確的微分強化模型(differential hardening model)[33].微分強化模型的屈服面表達式為

式中,S,P分別為單軸壓縮與靜水壓縮下的屈服強度.

微分強化模型的屈服面在(σm,σe) 平面同樣為對稱橢圓,其流動法則也采用了關聯的形式.

微分強化模型的特點在于其準確卻極其復雜的強化法則.該模型允許后繼屈服面形狀同時沿平均應力和有效應力兩個方向演化,因而能夠細致地描述金屬泡沫塑性屈服面演化的整個過程.其強化法則如式(22)所示

式中,hαβ為強化參數

由于其強化法則過于復雜,微分強化模型的實用性受到限制.

(6)Chen-Lu 模型

Chen 和Lu[19]基于彈性余能表達式,引入無量綱的特征應力和特征應變,結合相應的應力勢和屈服流動法則,提出了可適用于泡沫金屬塑性可壓縮和塑性不可壓縮材料的彈塑性本構模型理論框架.

Chen-Lu 模型的應力勢函數以特征應力及特征應變為參變量,因而不用區分彈性部分與塑性部分,也不需要任何初始屈服面的信息,從而規避了唯象本構模型中將彈性階段與塑性階段分離的做法.

特征應力 ˉσ、特征應變ˉε 的表達式及其關系如下

其中

Chen-Lu 模型沒有區分彈性和塑性,不存在塑性本構框架內的屈服面,因此定義類似“屈服面”的應力勢函數如下

Chen-Lu 模型采用關聯流動法則,通過單軸壓縮下的特征應力?特征應變曲線和靜水壓縮下的特征應力?特征應變曲線來表征后繼屈服面的演化.

王二恒等[39-40]將Chen-Lu 本構應用到泡沫金屬,對照比例加載和側向約束加載試驗結果和模型理論值,發現兩者走勢相同.此外,王二恒[40]還將其簡單推廣至動態加載條件下的應用.

(7)Lode 角模型

Wicklein 和Thoma[114]首次提出Lode 角參數影響泡沫金屬屈服面形狀的觀點,并根據Lode 角的取值范圍將屈服點數據分成三類:拉伸、剪切、壓縮.竺汝彬等[115]也發現Lode 角對泡沫鋁屈服面存在影響.但是,Wicklein 和Thoma、竺汝彬等均未提出包含Lode 角的屈服面函數.

Combaz 等[42,116]研究了3D 開孔泡沫金屬和泡沫塑料在雙軸、三軸加載工況下的屈服性能,認為常規的兩個變量(von Mises 等效應力和靜水壓力)不能充分表征多孔材料的屈服面,多孔材料的屈服面受到第三偏應力不變量的影響.由此,在拋物線和橢圓屈服函數的基礎上,引入Lode 角對von Mises 等效應力和靜水壓力進行修正.修正后的變量表達式如下

修正后的拋物線和橢圓屈服函數為

式(27)～式(29)中,a1,a2,A,B,A1,B1均為擬合參數,σc為單軸壓縮屈服強度,θ 為Lode 角.

這種修正的數據驗證不足,屈服函數是否合理有待商榷.

(8)Forest 模型

Forest 等[21]提出了一種基于可壓縮塑性框架的連續介質模型,主要基于以下3 點的考慮:(1)基于橢圓勢的可壓縮塑性模型; (2)由層析圖像導出的非均勻初始孔隙度圖; (3)將固有長度尺度納入連續體模型的正則化過程.該模型適用于應變局部帶化的模擬.模型的屈服面函數如下

式中,C,F為取決于材料的孔隙度的參數,R為強化函數.

Forest 模型的初始屈服面在(σm,σe)平面內為對稱橢圓,模型采用關聯流動法則,其強化函數如下

式中,R0、H為材料強化參數(文獻[34]中給出的值為R0=200 MPa,H=10 MPa),μ為剪切模量,εu為單軸壓縮真實軸向應變.

Badiche 等[117]和Dillard 等[118]在Forest 模型的基礎上引入各向異性和一個簡單的韌性損傷法則,進而能夠考慮拉伸載荷下帶孔鎳泡沫板裂紋擴展的各向異性.

3.4 三維本構模型總結

基于將泡沫鋁作為一種各向同性材料的假設,已經建立了多種體系成熟的本構模型.但早在1999年,Deshpande 和Fleck 就發現,當高相對密度泡沫鋁Alporas 單向壓縮至對數軸向應變0.70 時,隨后的橫向強度約為軸向強度的兩倍,表明泡沫金屬在較大塑性應變下呈現各向異性,而各向同性硬化本構模型不能表征這種各向異性的發展趨勢[20].對此,Gioux等[103]提出歸一化方法,其主要思路為將各向同性屈服函數的應力變量通過歸一化替代為無量綱變量,進而在保持屈服函數形式不變的前提下得到適合各向異性材料的屈服函數.Gioux 等[103]考慮泡沫鋁三個方向屈服強度的差異提出了如式(33)所示的歸一化等效應力和平均應力

其中,σpl1,σpl2,σpl3是泡沫鋁沿著3 個方向的單軸屈服強度.用歸一化變量代替變量σe,σm之后便得到適合各向異性材料的屈服準則.Doyoyo 等[46]采用類似方法歸一化應力第一不變量和偏應力第二不變量,基于各向同性的屈服函數,建立了適合各向異性的屈服準則.Alkhader 和Vural[119-120]基于彈性應變能密度,歸一化推導出無量綱彈性能密度,建立了針對2D 多孔材料的屈服準則,并進一步推導出三軸加載時橫觀各向同性泡沫材料屈服等效應力、等效應變以及屈服函數的表達式.

絕大多數模型均采用平均應力及Mises 有效應力作為本構模型表征參量.也有部分學者將Lode 角作為表征參量引入泡沫鋁本構模型中,構建了Lode角模型,但是僅有初始屈服面的方程,并沒有給出后繼屈服面演化方式[42,114-116].Combaz 等[42,116]基于開孔泡沫鋁的三軸拉伸與壓縮試驗,提出屈服面應取決于第一、第二及第三應力張量不變量的觀點.

現有模型,除Chen-Lu 模型[19]外,均采用了區分彈性階段和塑性階段的方法,這就產生了屈服判斷的問題[96].國內外學者基于各自的實驗和數值分析數據特征,提出的初始屈服判斷依據可分為兩大類.第一類是根據材料應力?應變或載荷?位移曲線,將某些特征應力狀態定義為初始屈服狀態.Deshpande和Fleck[121]雙軸和立方體加載時,將應力?應變曲線的彈性階段和塑性階段的交叉點定義為屈服強度;Doyoyo 等[46]壓縮/拉伸?剪切時,定義垂直加載方向載荷?位移曲線的彈性極限位置為屈服狀態.Chen等[122]基于2D 細觀結構雙軸加載,定義應力?應變曲線的峰值為屈服狀態.第二類是取特定數值的特征應變對應的狀態定義為初始屈服狀態.Deshpande和Fleck[20,123]三軸對稱壓縮時,定義0.3%殘余軸向應變對應的應力、應變狀態為初始屈服狀態.Combaz等[42,116]雙軸和多軸加載時,采用von Mises 等效應力?等效應變曲線,定義0.2%殘余等效應變為初始屈服狀態.Alkhader 和Vural[119]研究2D 多胞孔結構雙軸加載時,基于彈性應變能密度定義特征應力和特征應變,進而定義0.02%塑性特征應變對應的狀態為初始屈服狀態.但是,這兩類判斷方式,都存在一定的數據離散性問題.Wu 等[124]為改善泡沫鋁屈服面數據的離散性問題,結合試驗及3D Voronoi 模型數值分析,提出了在應變空間表征泡沫鋁屈服面的思路.張曉陽等[125]基于3D Voronoi 模型研究了閉孔泡沫鋁在三軸載荷作用下的屈服特性,為泡沫鋁本構模型研究中屈服面確定這一關鍵問題提供了思路.

與一維模型同樣,三維模型中考慮應變率效應的模型也占比較少,因此,將對泡沫鋁率效應的研究成果引入三維本構模型中,是一個十分重要的問題.就目前被廣泛應用的泡沫鋁本構模型來說,只有ABAQUS 軟件中的各向同性強化可壓縮泡沫模型(crushable foam model with isotropic hardening)和體積強化可壓縮泡沫模型(crushable foam model with volumetric hardening) 明確提出可以通過應力指數法則(overstress power law)和列表輸入屈服比(tabular input of yield ratio)兩種方式將率效應引入模型中[72,106].率敏感性是泡沫鋁本構行為研究中的核心科學問題之一,也是近年來研究的重點和熱點,但是由于泡沫鋁制備方法的多樣性和動態實驗技術的差異,迄今為止國內外學者的研究沒有得出一致的結論[91,126].甚至對于相同制備工藝(powder metallurgy technique)生產出的相同相對密度的泡沫鋁(IFAM)會得出相悖的應變率敏感性結論[127-129].但是,仍然有一些學者在這方面做出了努力,提出了一些率相關本構模型[94,130].

現有本構模型在流動法則的選取及強化法則的側重點上存在較大分歧,且均不能準確表征泡沫鋁后繼屈服面的演化.現有本構模型的塑性流動法則分為兩類:關聯流動法則及非關聯流動法則.非關聯流動法則使得材料剛度矩陣是非對稱的[131],因此當具有非關聯流動法則的本構模型應用于有限元分析時,應使用非對稱矩陣存儲器和求解策略[72,132].強化法則主要考慮材料單軸壓縮強化響應及靜水壓縮強化響應兩方面,不同本構模型對兩者的權重考慮不同.Deshpand 和Fleck[18]提出,非比例加載下,各向異性的發展可能成為重點且需要相應的硬化模型,隨動強化(kinematic hardening)是必要的,并建議作為將來的一個研究主題.

本構模型的驗證工作依舊是現階段的工作重點.驗證工主要由3 部分組成:基材料及本構模型參數的確定、初始屈服面的驗證及后繼屈服面演化的驗證.張健等[59,86]根據泡沫鋁單軸壓縮試驗及逆向重構模型的有限元分析,確定了基體材料參數及3 種模型(各向同性強化可壓縮本構模型[72],Chen-Lu 模型[19]及Zhang 模型[22,111]) 的本構參數.驗證結果發現,各向同性強化可壓縮本構模型[72]在單軸壓縮時的結果吻合良好,而靜水壓縮時只有初始屈服點吻合良好,試件在特征塑性應變為0.1 時,預測的靜水壓縮屈服應力和數值計算結果相比就會產生超過20%的偏差,而且隨著特征塑性應變的增大而增大,可見該模型屈服面在大變形時會嚴重低估閉孔泡沫鋁靜水壓縮的屈服應力.Chen-Lu 模型[19]在單軸壓縮時的結果吻合良好,靜水壓縮時初始屈服點吻合良好,而在特征塑性應變為0.4 時,預測的靜水壓縮屈服應力和數值計算結果相比偏差超過20%,該模型在大變形時略微低估閉孔泡沫鋁靜水壓縮的屈服應力.Zhang 模型[22,111]在靜水壓縮時的結果吻合很好,單軸壓縮和等比加載的屈服點在應變較小時吻合良好,在大應變時雖然有一些偏差,也都在屈服面附近,該模型的屈服面有較好的精度.此外,對于將塑性泊松比引入其中并處理為常數的本構模型,塑性泊松比在壓縮過程中的倒S 形走勢[59,86]也會對其后繼屈服面的演化造成顯著影響[92].

現有泡沫鋁本構模型眾多,適用性體系的建立至關重要.Hanssen 和Hopperstad 等[93]通過單軸壓縮、單軸拉伸、壓痕測試、對角加載及泡沫鋁填充梁的彎曲試驗等結果及有限元數值模擬結果的對比,建立了一個關于泡沫鋁和泡沫鋁填充結構力學行為的實驗數據庫,用于驗證各種加載條件下泡沫鋁本構模型的適用性,并且對已有的9 種泡沫鋁材料模型進行了討論和比較.為了說明數據庫的使用,也通過數值模擬與實驗數據的比較對LS-DYNA 軟件的4種模型進行了評估.張健等[59,86]研究了各向同性強化可壓縮本構模型[72],Chen-Lu 模型[19]及Zhang 模型[22,111]單軸壓縮及靜水壓縮下的適用性.

很多學者在已有本構模型的基礎上進行了補充、修正.王二恒等[39-40]以Chen-Lu 模型為框架,建立了泡沫鋁的準靜態本構模型,并推導了三軸等比例加載和環向受約束軸向加載下的宏觀應力?應變曲線.寇玉亮等[94]基于Tagarielli 等[133]提出的多孔材料橫觀各向同性率無關模型,在屈服函數中考慮應變率的因素,構建了一種泡沫鋁率相關本構模型并編寫了基于ABAQUS 平臺的VUMAT 子程序.羅紹鴻[12]以自相似模型為基礎,增加材料破壞準則,提出了一個包含彈塑性分析和破壞特征描述的泡沫金屬本構關系,并編寫了ABAQUS 平臺的VUMAT子程序.習會峰等[134]簡化六參數的Liu-Subhash 模型[135]為五參數,并將參數與溫度關聯,提出了一種考慮溫度效應的泡沫鋁靜態壓縮本構模型.王鵬飛等[130]基于Sherwood 和Sherwood 和Frost[136]提出的泡沫材料本構關系框架,對常溫下的應變率敏感系數進行了溫度項修正,得到一種泡沫鋁在一定密度范圍內包含溫度項、應變率項的本構方程.張健[59]基于各向同性可壓縮泡沫本構模型框架,加入破壞準則,編寫了基于ABAQUS 平臺的VUMAT 子程序.朱長峰[137]基于變化的橢圓率,提出了修正的Deshpand-Fleck 泡沫本構模型等等.對于自相似本構模型、Zhang 模型、Miller 模型及各向同性強化可壓縮泡沫模型等包含關鍵參數塑性泊松比νpl的確定也是一個重要的方向.泡沫鋁塑性泊松比的概念最早由Miller 引入[13],即軸對稱試驗中徑向塑性應變率與軸向塑性應變率之比.自相似本構模型、Zhang模型、Miller 模型及各向同性強化可壓縮泡沫模型等,在泡沫鋁的整個變形過程中均把νpl作為一個恒定值處理.但是,張樂等[87]、王長峰等[88]及張健等[59,86]分別在Kelvin 模型、3D Voronoi 模型及泡沫金屬逆向重構模型的壓縮過程中觀察到泡沫鋁的塑性泊松比呈現倒S 形走勢,因此一些研究者嘗試對此參數進行修正.張健、張樂等[59,86-87]提出了平均塑性泊松比的概念,Fang 等[138]將塑性泊松比作為應變的指數函數,提出了一種修正模型,并與LS-DYNA中的#63 模型、#75 模型與#154 模型進行了對比,發現這樣修正后,模型的數值穩定性和精度有了顯著提高.

迄今為止,描述泡沫鋁本構關系的模型已經為數不少,但仍然存在很多問題,其中一個重要的原因是泡沫鋁材料的可壓縮性以及材料微結構的不規則性和隨機性.此外,各因素之間的耦合作用,如率效應與溫度等[139],也有一定影響.因此,確定各種影響因素的權重對于泡沫鋁本構模型的后續研究具有重要的意義.

4 結語

(1)泡沫鋁本構模型試驗研究的重點主要在于加載條件的實現及有效數據的獲取兩方面.載荷條件實現方面,三軸比例加載及非比例加載的實現是本構模型試驗研究及驗證工作的關鍵[16,25,31,37-43].數據獲取方面,例如高速攝影技術、3D DIC 及SXR-CT 等新技術已成為獲取有效試驗數據的新方向[54-57].

(2) 在采用有限元數值模擬研究泡沫鋁本構模型的過程中,研究人員構建了種類豐富的泡沫鋁細觀模型[58-73],實現了復雜加載條件的技術突破[12,27,59,74-85,92,95-96,125],編寫了本構模型的用戶子程序[12,59,75,92-94],為泡沫鋁材料及其夾芯結構的數值分析及工程應用提供了理論基礎和技術支撐.

(3) 泡沫鋁本構模型種類繁多,其中,一維本構模型主要用于分析泡沫鋁的單軸動態壓縮行為及吸能特性[27,29-30,97-101],三維本構模型主要用于泡沫鋁多軸加載下的宏觀力學性能研究及工程設計與應用[13,19,103,107-110],了解各種本構模型的不同特點及應用的局限性,對于深入研究泡沫鋁的力學性能有重要意義.

(4)完善本構模型表征所需的特征參量[42,114-116],將各向異性或橫觀各項同性材料假定引入模型構建體系[20,94,103,132],明確靜水壓縮響應及單軸壓縮響應在材料強化中的權重[13,19-20,111],建立例如隨動強化般更加真實且準確反映泡沫鋁強化過程的強化準則[18],將應變率效應研究成果引入本構模型中等[94,130],均是現有泡沫鋁本構模型體系中的重要研究方向.

(5) 已有泡沫鋁本構模型的參數[59,86,114,116]確定,適用性驗證[16,20,39-40,108,110,113]及模型修正[12,39-40,94,103,128,135]等相關的試驗工作及理論分析是今后研究的重點,現有模型[10,13-14]后繼屈服面演化問題還有待進一步驗證及修正.