例談用數學方法處理高中物理問題

石震陽

[摘要]用數學方法處理物理問題的題目在全國卷和地方卷都有所出現。此類題目難度較大，綜合考查了學生的數學思維能力、物理思維能力和解決問題能力。求解物理問題離不開數學方法。

[關鍵詞]數學方法;物理問題;函數;圖形;歸納

[中圖分類號]

G633.7

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0048-02

物理和數學緊密相連，密不可分。學好物理需要扎實的數學基礎。處理物理計算題離不開數學方法和縝密的計算。多年的物理教學實踐證明，數學成績好的學生一般物理成績都不會差。物理成績好的學生，數學成績一定好。本文結合典型例題探討運用數學方法分析解決高中物理問題。

一、應用正、余弦定理和幾何圖形解決物理問題

正、余弦定理是數學中解三角形時常用的兩個定理，學生在解決物理問題時也經常遇到三角形的問題，正確運用正、余弦定理和幾何圖形解決物理問題，往往能收到事半功倍的效果。

[例1]（2019.山東日照市3月模擬）如圖1所示，兩個質量分別為、/3m、m的小網環A、B用不可伸長的細線連著，套在一個豎直固定的大網環上，大網環的圓心為O。系統平衡時，細線所對的網心角為90°，大網環和小網環之間的摩擦力及細線的質量忽略不計，重力加速度大小用g表示，下列判斷正確的是（

）。

A.小網環A、B受到大圓環的支持力之比是、/3：1

B.小網環A受到大圓環的支持力與豎直方向的夾角為15。

C.細線與水平方向的夾角為30°

D.細線的拉力大小為

解析：對A和B進行受力分析，根據平行四邊形定則作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于繩子的拉力的大小，設A、B所受的支持力與豎直方向的夾角分別為α和β，如圖2所示。

再題圖中，根據幾何知識可以知道，細線與水平方向的夾角為180°-（45°+30°）-90°=15°，故選項C錯誤。

思路分析：要正確分析小網環A、B的受力情況，首先作出重力和支持力的合力。在網上畫出A、B所受的支持力與豎直方向的夾角α、β是解題的關鍵。然后正確運用正弦定理解題。

二、應用三角函數分析物理問題

在處理物理矢量問題時，常常用三角函數知識來分析解決。三角函數不僅是高考數學的重要考點，也是處理物理矢量問題時不可缺少的解題方法。

[例2]（2019.山西臨汾市二輪復習模擬）如圖3所示是一旅行箱，它既可以在地面上推著行走，也可以在地面上拉著行走。已知該旅行箱的總質量為15kg，一旅客用斜向上的拉力拉著旅行箱在水平地面上做勻速直線運動，若拉力的最小值為90N，此時拉力與水平方向間的夾角為θ，重力加速度大小為g=10m/s₂，sin 37°=0.6，旅行箱受到地面的阻力與其受到地面的支持力成正比，比值為μ，則（

）。

A.μ= 0.5，θ=37°

B.μ= 0.5，θ=53°

C.μ= 0，75，θ=53°

D.μ= 0.75，θ=37°

解析：對旅行箱進行受力分析，如圖4所示。

根據平衡條件，水平方向，有：Fcosθ-F^f=0

豎直方向有：F^N+Fsinθ-G=0

其中：F^f=μF^N，

思路分析：用三角函數知識處理物理問題的情形比較多，本題主要通過角度的分析，處理旅行箱的受力情況。通過力的正交分解，并應用相關三角函數知識，使問題迎刃而解。

三、應用歸納法解決物理問題

在解決某些數學問題時，可以采用歸納法，即從個別的、特殊的事例出發，推出一般的、普遍的規律。數學歸納法對人的思維要求較高，高中物理的某些問題也離不開數學歸納法。

[例3]（2019.山東日照市3月模擬）如圖5所示，在平面直角坐標系xOy的第一、二象限內，存在以虛線OM為邊界的勻強電場和勻強磁場。勻強電場方向沿y軸負方向，勻強磁場方向垂直于xOy平面向里，虛線OM與x軸負方向成45。角。一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子從坐標原點O處以初速度v⁰沿x軸正方向運動，粒子每次到達x軸將反彈，第一次反彈無能量損失，以后每次反彈水平分速度不變、豎直分速度大小均減為反彈前的1/2，方向相反。電場強度大小等于mv⁰/16gd，磁感應強度大小等于mv⁰/gd求：（不計粒子重力，題中各物理量單位均為國際單位，計算結果可用分式表示）

（1）帶電粒子第三次經過OM時的坐標;

（2）帶電粒子第三次到達OM時經過的時間;

（3）帶電粒子從第二次進入電場開始，沿電場方向運動的總路程。

粒子運動軌跡如圖6所示，由圖可知，帶電粒子第三次經過OM時的坐標為（-2d，2d）;

（3）因粒子第二次進入電場做類平拋運動，故到達x軸時的水平分速度為v⁰。

第一次豎直分速度減半反彈，豎直分速度為：

第二次豎直分速度減半反彈，豎直分速度為：

思路分析：數學歸納法是高考數學主觀題常考知識點之一，也是處理物理問題常用方法之一。本題第三小問恰如其分地運用了數學歸納法。正確分析計算出第一次豎直分速度和高度就成功了一半。

高中物理中的極大值、極小值、臨界值、邊界值等物理問題常常需要用數學方法來解決。希望一線教師在教學中有針對性地加強這方面的訓練，提高學生應用數學方法解決物理問題的能力。

（責任編輯 易志毅）