兩套教材中“生活中的圓周運動”實例比較

陸學新

[摘要]“生活中的圓周運動”一節，人教版普通高中新課程實驗教科書選取“鐵路的彎道”“拱形橋”等作為例子，滬科版教科書選取“分析游樂場中的圓周運動”（重點是過山車）“研究物體轉彎時的向心力”（重點是自行車轉彎）等為例文章用生活中的數據比較這些實例，分析誰更貼近學生的生活實際，更容易激發學生的學習熱情。

[關鍵詞]自行車轉彎;鐵路的彎道;拱形橋;過山車;實例比較

[中圖分類號]

G633.7

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0040-02

在人教版普通高中新課程實驗教科書“生活中的網周運動”一節選取“鐵路的彎道”“拱形橋”等為實例，而滬科版則選取“游樂場中的網周運動”（重點是過山車）和“物體轉彎時的向心力”（重點是自行車轉彎）等為實例。

一、自行車轉彎與鐵路的彎道比較

1.自行車轉彎

在滬科版教科書“網周運動的案例分析”一節案例2“研究運動物體轉彎時的向心力”是以自行車轉彎為例來進行分析研究的。

通常情況下我們在騎自行車轉彎時，車和人會傾向彎道的內側，這是什么原因呢？

分析：設自行車轉彎時軌跡（作為網周的一部分）的半徑為R，人和自行車的總質量為m，自行車轉彎時速率為v。

自行車在轉彎處的受力分析如圖1所示，圖1中的F是地面對車的作用力（地面對車的支持力和靜摩擦力的共同作用效果），mg是重力，這兩個力的合力F^合就是自行車做圓周運動時的向心力，指向彎道處的同心。

請思考并分析：自行車轉彎時傾斜的角度與哪些因素有關？

設自行車與豎直方向的傾角為θ，則F合=mg tanθ，又F合= mv₂/R，聯立得tanθ=v₂/gR。可以看出，自行車轉彎時傾斜的角度θ與速度v和彎道半徑R有關，速度越大，半徑越小，傾斜的角度越大。

實際教學中，對人和自行車的整體進行研究時，還可以這樣分析，人和車受到重力mg，地面對車的支持力F^N地面對車的靜摩擦力F^f作用，地面對車的靜摩擦力F^f指向彎道網心，是人和車做圓周運動的向心力。由此思考并討論，下雨天轉彎時如何防止滑倒？

由F^f= mv₂/R知道，為防止滑倒，轉彎時速度要小，彎道半徑要大。

現在公路建設標準都很高，彎道處都建成外高內低的路面，按設計標準速度行駛轉彎，車受側向摩擦力影響很小，更安全。由于公路彎道是按汽車設計標準速度設計的，自行車經過時（速度小于沒計速度）需向上傾斜一些，不會垂直路面。

2.鐵路的彎道

人教版教科書“生活中的圓周運動”以“鐵路的彎道”為例進行分析。

火車轉彎時做網周運動，它具有向心加速度。火車的向心加速度是怎么產生的呢？原來，火車的車輪上有突出的輪緣（圖2），如果鐵路彎道的內外軌一樣高，外側車輪的輪緣就要擠壓外軌內側，使外軌發生彈性形變，外軌對輪緣的彈力就是火車轉彎的向心力，如圖3。但是，火車質量太大，使得火車轉彎時所需要的向心力也很大，輪緣與外軌間的相互作用力太大，導致鐵軌和車輪受損。如果在彎道處使外軌略高于內軌（圖4），則火車轉彎時鐵軌對火車的支持力F^N的方向不再是豎直的，而是斜向彎道內側，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉彎提供部分向心力。這就減輕了輪緣與外軌之間的擠壓。在修筑鐵路時，要根據彎道實際半徑和規定的行駛速度來確定內外軌的高度差，使火車轉彎時所需向心力幾乎完全由重力G和支持力F^N的合力來提供。 一般高鐵，設計時速越高，為滿足列車高速運行的需要，曲線半徑就應當越大。設計速度v=200 km/h= 55.6m/s時，最小曲線半徑一般是R=3500 m，由mg tanθ=mv₂/R求得鐵道的傾角θ的正切值tanθ=v₂/gR= 0.09，θ約為5.15°，標準軌道間距為1435mm，軌道內外高度差約0.1292m，傾斜并不顯著，乘坐時對于彎道處外高內低的感覺也不強烈，不是有意注意根本感覺不到。

高速鐵路是封閉的，少有的幾個道口也主要在直道上。盡管一般鐵路不封閉，但是大多數學生沒見過鐵路的彎道。

通過比較不難發現，自行車轉彎與火車轉彎相比，白行車轉彎是更貼近學生生活的“網周運動”。

二、拱形橋與過山車

1.拱形橋

汽車在經過公路上拱形橋（圖5）時的運動可以看作網周運動。質量為m的汽車在拱形橋上以速度v前進，設橋面最高點處的網弧半徑為R，下面分析汽車經過最高點時對橋的壓力。

以汽車為研究對象，分析汽車在拱橋最高點受到的力（圖6），重力G和橋的支持力F^N的合力提供汽車做網周運動的向心力F。有G- F^N=mv₂/R，得F^N=G-mv₂/R。由牛頓第三定律知，汽車對橋的壓力大小為F'_N=G -mv₂/R。

現實生活中，汽車運動到拱形橋最高點時，對橋面的壓力小了多少呢？顯著嗎？

本地有一座較陡的大橋，橋面中間弧形部分視為網周的一部分，長50m，高0.5m，由此求得其半徑約625m，該橋限速40km/h（約II m/s），由上面的分析，可以求得汽車以上述速度運動到橋面最高點時的壓力F'^N=m（g- v₂/R）=m（9.8-0.194），這與汽車在平地上運動時對地面的壓力mg相差很小。

2.過山車

滬科版教科書列舉了以下案例。

案例：過山車（圖7）能經過網形軌道頂部，車與人卻不會掉下來，為什么呢？

分析：為了更好地分析這個問題，我們先來做一個實驗：如圖8所示，讓一個小球從傾斜軌道的不同高度處滾下，觀察小球通過網形軌道時的運動情況。

通過實驗不難看出，如果小球從傾斜軌道滾下的起始高度較小，它到達網軌道底部時速度太小，就會在網形軌道的某處脫離軌道，只有當小球的速度足夠大時，才能安全通過網形軌道的頂端。

假設過山車和坐在其中的人的總質量是m，軌道半徑是R，車經過頂部時的速度是v值。由向心力公式F=mv₂/R可知，在軌道的頂端，過山車的速度v頂越大，人和車所需的向心力F也越大。

當過山車沿網周運動到軌道頂端時，人與車作為一個整體，所受到的向心力是重力mg跟軌道對車的彈力FN的合力，方向向下。因為重力mg總是存在的，那么，軌道對車的彈力F^N多大時，車和人才不至于掉下來呢？

當F^N=0時，過山車通過網形軌道頂端時的速度，稱為臨界速度v臨界。

當過山車通過網形軌道頂端時的速度恰為v臨界時，重力mg恰好等于過山車做網周運動所需要的向心力，即mg= mv₂/R，即 。這時，重力的作用只改變過山車的運動方向，車不會脫離軌道。

如果過山車通過軌道頂部的速度小于v臨界，所需的向心力小于車所受的重力，過山車有向下脫離軌道的趨勢。

如果過山車通過軌道頂部的速度大于v臨界，所需的向心力大于車所受的重力，其不足部分將由軌道對車的彈力供給，所以這時軌道對車的彈力不為零。車子不會掉下來。

對比汽車過拱橋和過山車，過山車應該更能讓學生體會到物理知識在生活中的應用，更能激發學生的學習熱情。

既然是“生活中的圓周運動”，若能選用貼近學生生活的實例，則學生的感受會更強烈，更能激發學生的學習熱情，更能加深學生對知識的理解。

[參考文獻]

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·物理（必修2）[M].3版.北京：人民教育出版社，2010.

[2]束炳如，何潤偉.普通高中課程標準實驗教科書·物理（共同必修2）[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

（責任編輯 南賓）