山重水復疑無路 “邊角互化”來幫助

吳凱 江麗莉 李嬌嬌

[摘要]解三角形的題目是歷年高考的重點內容，掌握好這一類題型的解法對于考生來講至關重要

[關鍵詞]邊角互化;正弦定理;余弦定理;解題策略

[中圖分類號]

G633. 6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0017-02

大家都知道，正弦定理和余弦定理是高中數學非常重要的兩個定理，屬于解三角形這一章節的教學內容，也是高考數學必考內容之一.但是對于很多高一學生來講，在如何合理使用正弦定理和余弦定理解題這問題上，會有很多疑慮，到底是要“邊化角”還是“角化邊”呢？如何選擇才能實現“邊角互化”從而快速解題呢？

[引例]在三角形△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，若bsin 2A= asin日，求角A. `

在解三角形中，既有邊又有角的表達式，我們統稱為邊角混合式.我們通常的方法就是利用正弦定理，實現“邊角互化”，即“邊化角”或“角化邊”.

由正弦定理可知a= 2RsinA，b=2RsinB，∴sin Bsin 2A=sinA sinB，又∵sinB>0∴sin 2A=sinA.即2sinAcosA=sinA，又∵sinA>0，∴cosA=1/2，即A=60°.

利用“邊化角”的方法，將表達式變成全角的模式，通過計算相應角度的三角函數值，從而確定其大小.

我們也可以利用二倍角公式可得2bsin AcosA=asinB，由正弦定理可知sinA=a/2R，smB=B/2R，即2bacosA=ab，則cosA=1/2，即A=60°.

這樣就可以利用“角化邊”達到化簡的目的，殊途同歸.

那么，是不是所有的題目都是可以采用兩種解法來解題呢？哪種方法更加簡單呢？

一、解題策略初探

[例1]在三角形△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，若sin₂B=2sinAsinC，且a=b，求cosB.

分析：若用角，根據三角形內角和關系可知sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，再代入平方，運算太大，不可行.若考慮a=b得A=B，即sin A=sin日，由sin₂B= 2sin Asin C可得sinB=2sin C，考慮角度關系不行.故我們考慮用邊，由正弦定理得b₂= 2ac，又a=b，則b=2c，再結合余弦定理，可得

此題明顯“角化邊”為宜，聯系余弦定理求cosB，正為所求，方便有效.

分析：本題的關系式有很多解決的可能性，但如何實現“邊角互化”，確實有很大的困難.

通過上述兩例我們發現，解法不能固化，有時用角，有時用邊.因此，我們需要根據已知條件“具體問題具體分析”，恰當選擇方法解題.

二、面向高考的解題策略研究

[例3]（2016年浙江高考第18題第1問）在三角形△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB.證明：A=2B.

做到這一步，很多學生的解題思路就可能被卡住了，雖然得到了一個關于三邊a，b，c的方程，但是對于要證明的結論而言好像并無必然聯系.這是最直接的想法，但是也是最沒有原則的想法.

對于②式的化簡顯然是相當煩瑣的，筆者不建議大家去嘗試化簡它的.

思路3由正弦定理“邊化角”，用角的關系來解決問題，解題的思路很自然，運算量也不大，連貫性好，這是正解.

本題主要利用正弦定理實現“邊化角”，然后利用兩角差的余弦公式轉化為角的關系求解.

從近年的高考真題來看，“邊化角”應該是占據主導型.我們可以這樣認為，角的關系是高中數學的核心內容，這也應該是考試的重點考查方向.

[參考文獻]

[l]曾敏“萬法歸宗”：例談三角形的邊角互化問題[J]數學學習與研究，2016（5）：134

[2]陳慶寶探究邊角互化在解三角形問題中的作用[J]數理化學習（高中版），2016（3）：39

（責任編輯 黃桂堅）