多面體外接球的求解策略

陳文旭

[摘要]多面體外接球的問題，逐漸成為近幾年高考的熱門考點為了強化多面體外接球問題的教學效果，需要對這類問題做一個詳細的分析，總結求解策略并推廣應用

[關鍵詞]多面體;外接球;求解策略

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0010-02

多面體外接球的問題比較抽象，空間想象能力一般的學生往往都找不到球心位置，無法建立必要的數量關系等式.高中數學人教版必修2教材，只是涉及球的概念、球表面積公式和體積公式，對多面體外接球的幾何性質涉及的內容很少.筆者對此類問題做一個補充，以讓學生會求解此類問題，并學會舉一反三.

一、公式法

對于規則的多面體，運用公式直接求多面體外接球的半徑.例如：

正方體外接球半徑： （a為正方體棱長）.

長方體外接球半徑： 別為長方體的長、寬、高）. 直棱柱外接球半徑： c底面多邊形外接網的半徑r，直棱柱的高h）.

[例1]-個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9/8，底面周長為3，則這個球的體積為

二、補形法

一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直（題目條件可能隱含，需要加以證明兩兩垂直），且其長度分別為a、b、c，則可將這個三棱錐補全為一個長方體.于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半徑為R，則有 （注意：當a=b=c時，補成正方體）.

[例2]已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（

）.

分析：本題考查學生的空間想象力，用補形法解決外接球問題.通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關系，進而補體成正方體解決.

三、確定球心位置法

若幾何體無法補形，可考慮根據多面體幾何性質，找出球心的位置，構造直角三角形，利用勾股定理求解.

[例3]設A、B、C、D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為 ，則三棱錐D- ABC體積的最大值為（

）.

分析：本題確定了球心的位置后，可判斷出當DM上平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大.由M為三角形ABC的重心，計算得到 ，再由前面所提到的公式 得到OM，進而解決問題.

[例4]正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（

）.

解：如圖3，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO¹上，記為O，PO=AO=R，PO¹=4，oo¹=4-R，

在Rt△AOO¹中， 由勾股定理R₂=2+（4-R）₂得R=9/4，

球的表面積 .

四、尋求軸截面圓法

尋找外接球的一個軸截面網，該網的半徑就是所求的外接球半徑，從而把立體幾何問題轉化成平面幾何問題.

[例5]中國古代數學經典《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉儒，如圖4為一個陽馬與一個鱉儒的組合體，已知PA上平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=2，ED=1，若鱉儒P-ADE的外接球的體積為9/2π，則陽馬P- ABCD的外接球的表面積等于

分析：由鱉儒定義可知，四個面都為直角三角形，軸截面網的直徑PE所對的網周角∠PDE、∠PAE都是直角，PE是鱉膈P-ADE外接球的軸截面網的直徑.同理，圓周角∠PDC、∠PBC、∠PAC都是直角，PC為陽馬P-ABCD外接球的直徑.

綜上所述，解決多面體與球的內接問題的關鍵是緊扣球心的位置，球心到多面體各頂點的距離等于球的半徑，或者尋找兩個不同的球截面，過截面的網心分別作面的垂線，這兩條垂線的交點即是球心.具體先看多面體是否可以補為長方體，若可以，則長方體的體對角線長即為外接球的直徑;若不可以，找球心的大致位置，構造直角三角形，利用勾股定理來求解.

[參考文獻]

[1]黃喜濱，江澤基于核心素養的空間幾何體外接球之探究[J]福建中學數學，2017（8）：15 -18

[2]武增明確定多面體外接球的球心的策略[J]中學數學雜志.2013（1）：36-37.

（責任編輯 黃桂堅）