一種實現Fornasini-Marchesini 模型的新方法的研究①

曹中泳 程 驊 吳徐冬子 劉 昶

(武漢科技大學信息科學與工程學院 武漢 430080)

0 引 言

在過去的幾十年中，多維系統吸引了極大的關注，這主要歸功于多維系統在各種工程領域的廣泛使用和潛在使用，如信號和圖像處理、熱工藝、醫療應用、無線傳感器網絡等[1-3]。

多維系統理論中一個基本問題是通過確定的多維狀態空間模型來實現給定的有理傳遞函數或傳遞矩陣，該模型通常是Roesser模型或Fornasini-Marchesini(F-M)模型。與傳統的1維(1-D)情況不同，通常n維(n≥2)濾波器或者系統的最小狀態空間實現很難獲得。因此研究可以得到低階n維狀態空間的實現新方法就顯得格外重要。此外，許多研究人員對Roesser狀態空間模型進行了廣泛和深入的研究，只有少數文獻闡述了關于F-M模型實現問題。比如，Alpay和Dubi[4]給出了直接構建一個n維(n≥2)F-M實現方法。但是，這種方法求得F-M模型實現矩陣階數卻非常高[5]。

本文針對Alpay和Dubi[4]的n維F-M模型的實現矩陣求解方法，提出一種新解法，該方法獲取實現矩陣的階更低并且更易于實現。將此算法運用到多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)雷達系統中，提高了雷達目標檢測[6-8]的效率以及反應靈敏度。

1 F-M狀態空間模型

對于n維MIMO線性離散系統，F-M狀態空間模型的描述如下[9-11]：

x(i1+1,i2+1,…,in+1)

=A1x(i1,i2+1,…,in+1)+…

+Anx(i1+1,…,in-1+1,in)

+B1u(i1,i2+1,…,in+1)+…

+Bnu(i1+1,…,in-1+1,in)

(1)

y(i1,…,in)=Cx(i1,…,in)+Du(i1,…,in)

(2)

其中，x(i1,…,in)∈Rr、u(i1,…,in)∈Rl、y(i1,…,in)∈Rm分別是局部狀態向量、輸入向量、輸出向量。A、B、C、D是實數矩陣，且A1,…,An∈Rr×r,B1,…,Bn∈Rr×l,C∈Rm×r,D∈Rm×l。

n維信號u(i1,…,in)的n維z變換的定義如下。

其中，z1,…,zn是單位延遲算子。

對式(1)進行n維z變換后可得：

將z1z2…zn整理可得：

X(z1,…,zn)=(A1z1+…+Anzn)X(z1,…,zn)

+(B1z1+…+Bnzn)U(z1,…,zn)

若將上述等式按X(z1,…,zn)整理可得：

X(z1,…,zn)=(I-A1z1-…-Anzn)

=(B1z1+…+Bnzn)U(z1,…,zn)

(3)

式(2)的n維z變換如下。

Y(z1,…,zn)=CX(z1,…,zn)+DU(z1,…,zn)

代入式(3)后可得如下所示傳遞矩陣：

(4)

(5)

其中，η=degm(z)=max{|γ|?γs.t.mγ≠0}。 若系統的傳遞函數h(z)=q(z)/m(z)，其中q(z)和m(z)是n維多項式，當m(0,…,0)≠0，則稱這個系統為因果系統[12]。……