基于分形理論的人工骨料比表面積計算方法
——以白鶴灘水電站為例

尹 岳 降，朱 子 晗，盧 文 波，于 永 軍，李 瑞 澤，陳 明

(1.中國水利水電第八工程局有限公司，湖南 長沙 410004； 2.武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，湖北 武漢 430072； 3.武漢大學 水工巖石力學教育部重點實驗室，湖北 武漢 430072)

近年來，隨著大型工業(yè)與民用建筑建設(shè)的興起，人工骨料被廣泛應(yīng)用于水利、港口、交通等巖土工程的建設(shè)中。黨的十九大召開以來，各生產(chǎn)企業(yè)對節(jié)能減排以及綠色環(huán)保的要求日益重視，許多高耗能行業(yè)都逐步開始著手于降低能耗，以達到綠色環(huán)保的要求。在人工骨料的開采中，隨著爆破破碎、運輸、機械破碎等能量的輸入，巖石的比表面積不斷增大，人工骨料開采加工的能耗和骨料的比表面積呈正相關(guān)。因此，準確地計算骨料的比表面積，研究整個流程骨料比表面積的變化規(guī)律，是控制整個生產(chǎn)過程能耗的關(guān)鍵。目前，骨料的比表面積常用軟件處理計算，但該方法計算過程復(fù)雜，且存在一定誤差。近些年，分形理論已經(jīng)逐步應(yīng)用到巖體爆破工程研究領(lǐng)域。利用分形理論可以對礦巖爆破塊度進行預(yù)測，從而對爆破參數(shù)進行優(yōu)化，解決了一些過去難以處理的實際問題和理論研究，利用分形理論計算骨料的比表面積具有重要的研究意義。

20世紀80年代以來，謝和平將分形幾何理論運用于巖土力學問題中[1]，其研究結(jié)果顯示：由形狀和大小各異的巖土體顆粒和孔隙組成的材料均存在自相似性，具有分形特性；劉松玉等人研究了我國黃土、膨脹土、紅土3類特殊土的粒度成分特征，發(fā)現(xiàn)3類特殊土的粒度分布具有分形結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上指出分形維數(shù)是描述黏性土粒度特征的一個合適指標[2]；徐永福等人建立了土體結(jié)構(gòu)的分型模型，并據(jù)此解釋了土體的力學行為[3]；石修松等人的研究表明[4]，破碎分形維數(shù)可以反映破碎后石料粒徑大小，分布的均勻程度。對于粗粒土，現(xiàn)有研究成果表明[5-6]，在不同粒度范圍內(nèi)，粗粒土均表現(xiàn)出一定的分形特征。分形維數(shù)作為分形理論的研究手段，已經(jīng)成為研究巖土材料的一個重要指標。

近年來，李功伯等人運用顆粒形狀分形維數(shù)的概念描述了顆粒形狀的不規(guī)則程度[7]，發(fā)現(xiàn)粉碎顆粒分形維數(shù)隨粒度減小而增大，根據(jù)分形理論可以得到和Hukki粉碎能耗表達式相同的結(jié)果；李國強，鄧學均等人也對級配骨料的分形效應(yīng)進行了研究[8]。但目前分形理論仍很少運用于人工骨料的比表面積計算。

本文基于分形理論，推導(dǎo)了利用分形幾何學公式計算人工骨料比表面積的方法，結(jié)合白鶴灘水電站旱谷地料場不同級配成品料的級配曲線，計算了不同級配成品料的比表面積，并與軟件分析計算結(jié)果進行比較。

1 基于分形理論的級配骨料比表面積計算

人工級配骨料存在著隨機性和不規(guī)則性，屬于分形理論可研究的對象。骨料經(jīng)過爆破開采、機械破碎、碾磨等工序后，碎石的表面就是一種分形[9]。其次，當不同尺寸的碎石按照一定的級配混合后，表征碎石特征尺寸的粒徑形成一種分布，這種粒徑的分布函數(shù)也是一種數(shù)學分形。因此，級配骨料的質(zhì)量分布函數(shù)、體積、空隙率、比表面積也是一種數(shù)學分形。通過這些分形現(xiàn)象和分形效應(yīng)之間的相互關(guān)系，可以得出級配骨料比表面積的計算方法。基于分形理論，常用且較為準確的骨料比表面積計算方法如下。

1.1 骨料粒徑分布的分形

骨料粒徑滿足：

F(x)=N(x)/N0

(1)

式中，F(xiàn)(x)為粒徑分布函數(shù)；N(x)為不大于粒徑x的骨料顆粒總量；N0為全部骨料顆粒總數(shù)，粒徑x用篩孔直徑來表示。

將式(1)微分處理可以得到：

dN(x)=N0dF(x)

(2)

級配骨料粒徑分布的分形表達式為

(3)

式中，xmax為骨料最大粒徑；D為骨料的分形維數(shù)值。

對式(3)微分處理可以得到：

(4)

式(4)即為級配骨料粒徑分布函數(shù)的分形表征。

1.2 骨料的分形級配

定義骨料的質(zhì)量分布函數(shù)[8]：

P(x)=M(x)/M0

(5)

式中，P(x)是級配骨料篩分通過率；M(x)為粒徑不大于x的骨料總質(zhì)量；M0為全部骨料的總質(zhì)量；同樣的，粒徑x用篩孔直徑來表示。

對式(5)微分處理可以得到：

dM(x)=M0dP(x)

(6)

骨料質(zhì)量和體積、密度之間滿足如下關(guān)系[10]：

dM(x)=ρV(x)dN(x)

(7)

式中，ρ為級配骨料的密度；V(x),dN(x)分別為區(qū)間(x，x+dx)中的骨料體積和骨料顆粒總數(shù)。

其中，

V(x)=kvx3

(8)

式中，kv是骨料體積因子。

聯(lián)立公式(2)～(8)，積分可得：

(9)

式中，c為積分常數(shù)。

根據(jù)篩分通過率的定義，可知道函數(shù)的邊界條件為[11]

(10)

式中，xmax為骨料最大粒徑；xmin為骨料最小粒徑。

聯(lián)立公式(9)～(10)可得：

(11)

式(11)就是骨料的分形級配表達式。對于不同的分形維數(shù)D值，即可得到不同的級配曲線[8]。同理，根據(jù)骨料不同的級配曲線，可以反推求骨料的分形維數(shù)。

由式(11)可知，當最小粒徑xmin=0時，lgP(x)=(3-D)lg(x/xmax)成立。為了方便計算，在計算時近似取最小粒徑xmin=0，當骨料級配知道的情況下，可以利用最小二乘法對每段篩孔孔徑的粒徑分布率做直線回歸擬合，直線的斜率為k，則可以得到每段篩孔孔徑的粒徑分布分形維數(shù)D=3-K[12]。

則整體骨料的粒徑分布分形維數(shù)為[13]

這里篩孔的孔徑不包括最大粒徑xmax和最小粒徑xmin。

1.3 骨料體積分形和孔隙率計算

當級配骨料混合后，由于它們的不規(guī)則性導(dǎo)致它們不能填滿所占據(jù)的三維空間，在它們之間存在空隙，按照分形的定義，這種空間填充能力的不足就是體積分形現(xiàn)象。

根據(jù)文獻[14]，可得級配骨料分形體積為

(12)

式中，V為級配骨料的分形體積；V0為級配骨料堆積的整形體積；Dv為體積分形維數(shù)。

將式(12)微分可得位于區(qū)間(x，x+dx)的分形體積為

dV=(x/xmax)3-DvdV0

(13)

而根據(jù)體積的定義有：

dV0=M0/ρdP

(14)

聯(lián)立公式(11)，(13)，(14)并在區(qū)間(x，x+dx)上積分得：

(15)

式中，V為級配骨料的分形體積；Dv為體積分形維數(shù)；ρ為骨料的自然堆積密度；M0為全部骨料的總質(zhì)量；D為骨料的分形維數(shù)值。

根據(jù)空隙率的定義，可得：

(16)

除了通過體積分形維數(shù)的計算，空隙率還可以通過實測得出：

(17)

式中，ρ為骨料的自然堆積密度，g/cm3；ρa為骨料的表觀密度，g/cm3。

1.4 骨料的比表面積計算

單個骨料的表面也存在分形現(xiàn)象，所以，對于單個骨料可得其分形表面積為

A=A0(δmin/x)2-Ds

(18)

式中，A為骨料的分形表面積；δmin為測量骨料分形面積時所用的最小尺碼長度，在計算時可以取δmin=xmin，即用骨料的最小粒徑作為測量的最小尺碼長度；A0為整形骨料的表面積，A0=ksx2；ks為整形骨料的表面形狀因子；Ds為骨料的表面分形維數(shù)。

同理，位于區(qū)間(x，x+dx)的骨料顆粒數(shù)目為

(19)

由此，可以得到位于(x，x+dx)區(qū)間的骨料總表面積為

ds=AdN(x)

(20)

聯(lián)立式(11)，(18)～(20)，并在區(qū)間(x，x+dx)上積分可以得到骨料的總表面積S，再由總比表面積Sm=S/M0得到：

(21)

式中，ks/kv是骨料表面形狀因子和體積因子的比值，主要反映骨料顆粒的形態(tài)，如球形、正方形、長方形、針片狀等。

對于級配骨料分形體積和分形表面的數(shù)學模型，文獻[8]通過對邊長為L的立方體的等分變形計算，得到了骨料體積分形維數(shù)和面積分形維數(shù)的關(guān)系式如下：

(22)

(23)

另外在計算K，n時，盡量使n靠近K3/2 取值。

2 人工骨料比表面積計算

巖體的爆破破碎本質(zhì)上是炸藥內(nèi)部的化學能轉(zhuǎn)化為巖石表面能的過程。在顆粒破碎的過程中，外荷載所做的功轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的表面能，顆粒的破壞產(chǎn)生了大量新的表面積。巖石在加工為成品料的過程中，先后經(jīng)過爆破破碎和機械破碎兩個過程，了解各個生產(chǎn)階段不同塊度巖石比表面積變化情況，對有效利用炸藥能量、減少能源浪費、提高經(jīng)濟效益有重要作用。

而巖石顆粒是不規(guī)則的，所以計算顆粒比表面積比較困難，目前常用的方法是采用圖像處理技術(shù)，應(yīng)用軟件對拍攝的顆粒圖片進行處理從而計算顆粒的比表面積。但這種方法比較繁瑣，且計算出的比表面積不能和顆粒級配產(chǎn)生聯(lián)系。

由于巖石顆粒擁有自相似性，故可以采用分形理論，結(jié)合白鶴灘水電站人工骨料成品料級配曲線對成品料表面積進行計算。由于缺少成品料的空隙率，所以假定成品料表面均為光滑即取表面分形位數(shù)Ds=2；同時假定成品料均為球體。將計算結(jié)果與軟件處理圖片所得計算結(jié)果進行比較分析。

2.1 成品料分形維數(shù)計算

我國在人工骨料料場、大型礦山開采中常以爆代破，建筑骨料礦石的爆破對爆破巖石塊度分布要求較高，巖體爆破破碎質(zhì)量對后續(xù)的鏟裝運輸、二次破碎、磨細效率和能量消耗等有重要影響。此外骨料生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的巖粉經(jīng)濟價值低，若作為棄料處理將帶來巨大的經(jīng)濟損失，且不利于保護環(huán)境。

為了研究不同塊度巖石對于下游骨料生產(chǎn)加工過程能量消耗的影響，統(tǒng)計巖石在機械破碎過程中比表面積和能量消耗的關(guān)系，降低骨料開采加工的總能耗，實現(xiàn)“綠色環(huán)保-節(jié)能高效”爆破開采，對白鶴灘水電站旱谷地料場進行了調(diào)研。

調(diào)研期間對成品料進行取樣拍照記錄。成品料級配分布比較均勻，WipFrag軟件識別成品料顆粒邊緣較準確，分別對每個級配成品料進行塊度圖像分析，得到4種級配成品料的級配分布曲線，并將其繪制在同一張圖，見圖1。

圖1 成品料粒徑分布曲線

從圖1中可以得到4種級配成品料的級配分布和各個級配成品料的最大、最小粒徑。通過式(11)的反函數(shù)可以求出每一段篩孔孔徑的粒徑分形維數(shù)。特大石(80～150 mm)的計算結(jié)果如表1所示。

表1 80～150mm成品料分形維數(shù)計算結(jié)果

根據(jù)式(12)和表1,可以分別計算出80～150,40～80，20～40，5～20 mm成品料的整體骨料粒徑分布分形維數(shù)，計算結(jié)果見表2。

表2 成品料分形維數(shù)

從表2可以看出級配骨料的粒徑越小，級配料的分形維數(shù)越大，說明級配骨料的粒徑對于骨料的分形維數(shù)有直接的影響。

取級配的平均粒徑(即50%篩分通過率粒徑)為橫坐標，分形維數(shù)為縱坐標繪制曲線圖擬合如圖2所示。

圖2 骨料平均粒徑與分形維數(shù)關(guān)系

2.2 成品料比表面積計算

根據(jù)白鶴灘水電站現(xiàn)場調(diào)研結(jié)果，按照料場篩分結(jié)果，到旱谷地料場成品料料場取80～150，40～80，20～40，5～20 mm 4種級配樣品，在室內(nèi)對樣品進行清洗，清除表面雜物。將成品料式樣放置在干凈的環(huán)境中充分晾干，放置合適比尺獲取多張高質(zhì)量圖片，優(yōu)選出清晰的照片，采用中值濾波法對分布和大小沒有特定規(guī)律的噪點進行去噪處理，選取最好的照片進行二值化處理。

根據(jù)體視學原理，等價橢圓長短軸之比是骨料粒形在平面內(nèi)投影的反映，周長是骨料表面積在平面內(nèi)的反映，面積是骨料體積在平面內(nèi)投影的反映，這些參數(shù)可由Image-Pro Plus軟件直接計算得出，并由此計算得出成品料比表面積,即為軟件計算得出的比表面積[15]。

根據(jù)表2計算得到的不同級配料的分形維數(shù)，并結(jié)合式(21)可以計算得到不同級配成品料的比表面積。各種級配的成品料比表面積計算結(jié)果如表3所示。

表3 成品料比表面積計算結(jié)果

2.3 分析與討論

根據(jù)表3結(jié)果，并利用分形理論計算得出的比表面積變化如圖3所示。

從圖3中可以看出:骨料粒徑越細，其比表面積越大，兩者成冪函數(shù)相關(guān)。通過分形維數(shù)公式計算，80～150 mm級配成品料比表面積為22.57；40～80 mm級配成品料比表面積為30.75；20～40 mm級配成品料比表面積為60.44；5～20 mm級配成品料比表面積為150.06。計算結(jié)果顯示骨料比表面積受級配骨料粒徑影響較大。

圖3 成品料比表面積變化

將通過分形公式計算得出的比表面積和軟件處理計算出的比表面積進行比較。發(fā)現(xiàn)兩者趨勢基本一致，但計算結(jié)果存在一定偏差。相對誤差基本在10%左右，但5～20 mm級配成品料的計算結(jié)果誤差較大，接近18%。誤差存在是由于計算模型的誤差和以及軟件處理的誤差。在計算中假定骨料的表面光滑，且為球形。理論上這些假定會使計算結(jié)果偏小，但是在實際計算結(jié)果基本都比軟件測量偏大，說明計算模型還存在一些誤差。

計算結(jié)果趨勢符合規(guī)律，且與軟件計算所得比表面積比較誤差均低于18%，處于正常誤差范圍，說明用分形理論計算人工骨料比表面積的方法可行。

3 結(jié) 論

通過對級配骨料的累計質(zhì)量百分比、質(zhì)量分布函數(shù)、空隙率、體積分形、面積分形的推導(dǎo)，得出了一種新的級配骨料比表面積計算方法，并利用該方法計算得到了白鶴灘水電站旱谷地料場人工骨料的比表面積，得到以下結(jié)論。

(1)確定各篩孔孔徑的粒徑分布的分形維數(shù)D(x)，可計算出級配骨料的分形維數(shù)D，結(jié)合實測空隙率計算得到骨料的體積分形維數(shù)Dv，從而計算得到面積分形維數(shù)Ds，最終可計算出級配骨料的比表面積。

分形理論模型在計算級配骨料的比表面積時，可以考慮不同粒徑的骨料之間的相互嵌擠的情況，還考慮了級配骨料的空隙率、體積等因素，所以計算結(jié)果較為準確，且計算較為方便。

(2)80～150 mm級配成品料比表面積為22.57；40～80 mm級配成品料比表面積為30.75；20～40 mm級配成品料比表面積為60.44；5～20 mm級配成品料比表面積為150.06。通過分形理論公式計算所得比表面積數(shù)值和軟件處理分析得出結(jié)果有相同的趨勢，且數(shù)值接近，說明用分形理論計算骨料比表面積的方法是可行的。

(3)兩者計算結(jié)果仍存在一些偏差，相對誤差均在10%左右，針對小石的比表面積兩種計算結(jié)果誤差較大，接近18%，但仍在工程可接受范圍內(nèi)。