基于ARIMA模型的國內生產總值預測

蔡淅韻

近年來，中國國內生產總值保持較快增長，經濟總量不斷擴大，發展取得顯著成就。國內生產總值（GDP），是指按照市場價格計算的一個國家或地區所有常住單位在一定時期內生產活動的最終成果，能夠反映經濟實力和市場規模。如何利用適當的模型對其進行時間序列分析和預測，對更好地研究國家經濟表現具有重要的經濟意義。為了更好地研究國家的經濟表現，本文選取季度GDP作為經濟指標，對該指標進行分析，建立了包含趨勢和季節成分的ARIMA模型并進行短期的季度預測。

1 基于ARIMA模型的GDP預測理論模型

對GDP進行短期預測時，季節性ARIMA模型能夠刻畫出數據變化特征和周期性特征。利用ARIMA模型建模首先需要對序列平穩性進行識別。一般來說，經濟運行的時間序列都不是平穩序列，則需要對數據進行差分處理。如果數據存在異方差需進行對數運算，直到處理后數據的自相關函數值、偏自相關函數值無顯著地異于0。在生活中，部分時間序列具有明顯周期性季節效應、趨勢效應和隨機波動。首先求出季節效應擬合St，并采用中心化的方法將該估計加以修正得到新的估計，最終通過差分處理消除趨勢效應的影響。根據時間序列模型的識別規則，建立相關的模型：若平穩序列的偏相關系數是截尾的，而自相關函數是拖尾的，可斷定序列適合AR模型；若平穩序列的偏相關系數是拖尾的，而自相關函數是截尾的，則可斷定序列適合MA模型；若平穩序列的偏相關系數和自相關函數均是拖尾的，則序列適合ARMA模型。

2 實例分析

本次建模中，所使用數據為1992—2018年的全國GDP季度數據，數據來源于中經網統計數據庫。利用1992—2016年共100個季度GDP數據作為訓練集設定模型參數，用2017—2018年的數據檢驗模型的擬合效果及誤差分析，比對預測值和實際值以驗證模型的可信度，最后預測2019—2021年。

2.1 數據波動性分析

由原序列xt的時序圖可以看出該序列有非零均值、有明顯的增長趨勢，說明該序列是非平穩且存在異方差；具有明顯的周期性，周期為4個季度，因此可以確定xt是帶有趨勢性和季節性的時間序列。自相關系數沒有隨著延遲期數的增加衰減到0的趨勢，因此可以認為是xt非平穩序列。由白噪音檢驗得知在顯著性水平為5%時，序列值之間蘊含相關關系，拒絕原序列xt是白噪音的假設。

接著對xt做對數變換消除異方差性，得到序列yt=ln(xt)，進一步觀察yt的時序圖發現該序列有明顯的增長趨勢，自相關系數沒有隨著延遲期數的增加衰減到0的趨勢，因此可以認為是yt非平穩序列。由白噪音檢驗得知在顯著性水平為5%時，P值均小于0.05，拒絕yt是白噪音的原假設，即yt不是白噪音，具有研究價值。

2.2 參數估計

自相關函數圖顯示Zt一階截尾性質明顯，通過BIC信息可判斷選用AR(4)模型。在Dickey-Fuller單位根檢驗中（表1），統計量的P值都明顯小于顯著性水平5%，可以進行接下來的參數分析。初次參數估計結果顯示截距項不顯著，去除后重新擬合的結果如表2。可知，在顯著性水平5%所有參數的P值都小于0.05，參數顯著不為零，因此通過顯著性檢驗。白噪音檢驗結果表明檢驗P值均遠大于0.05顯著性水平，接受序列為白噪音的原假設，可以認為殘差序列是白噪音，所以模型顯著。

表1 Dickey-Fuller單位根檢驗

表2 最小二乘法擬合結果

該序列模型為：

2.3 預測結果

根據擬合模型對2017—2018年的GDP季度數據進行預測，2017年第一季度預測值與實際值相對誤差率17.8%，第二季度相對誤差率4.3%，第三季度相對誤差率12.2%，第四季度相對誤差率12.3%；2018年第一季度相對誤差率21.7%，第二季度相對誤差率0.6%，第三季度相對誤差率19.7%，第四季度相對誤差率22%。估計標準誤差為0.036，AIC值為-370.795。2017年GDP擬合結果平均絕對百分比誤差(MAPE)為4.31%；2017—2018年GDP擬合結果平均絕對百分比誤差為7.33%；2018年GDP擬合結果平均絕對百分比誤差為10.36%。當MAPE值低于10%，則認為預測精度很高，屬于高精度預測類型，所以本模型擬合效果較好。可以看出預測值和實際值在4個季度內預測比較準確，隨著時間預測的延長，8個季度以上預測誤差相對增大。根據2017年及2018年觀測的實際值進一步修正模型后，得到2019—2021年12個季度GDP預測值見表3，預測走勢見圖2。從預測結果上看，國內生產總值仍然延續以往的增長規律，每年的第四季度都是一年中的最大值，這和往年的變化規律是一致的。

圖1 Zt 二階差分后時序圖

圖2 2019—2021年GDP預測走勢圖

表3 2019—2021年GDP預測值（億元）

3 結語

針對GDP進行短期預測，首先結合時間序列模型分析GDP數據特征，由于序列非平穩進行差分作平穩化處理，構建季節性ARIMA模型。以2017—2018年數據進行模型參數估計后的測試組，將預測的GDP數據與實際數據進行對比。結果顯示，季節性ARIMA模型作為GDP預測模型是可行的，擬合平均絕對百分比誤差MAPE等于7.33%，驗證了模型有良好的精度。隨著時間跨度的增加，該模型的預測值與真實值之間的誤差率逐漸增大。但盡管如此，如果在建立模型過程中根據觀測的實際值進一步修正模型對8個季度以后的預測，則可以得到精確度更高的預測值。因此從短期來看，ARIMA模型對GDP的預測具有一定的可信度，有一定的實用性。