巧構中線妙解幾何題

王保華

摘要：三角形是初中數學里最基本的幾何圖形，中線是三角形中重要的線段之一。在與中線有關的題構思巧妙，具有探索性，其目的在于考查學生的想象能力，培養學生的創造性，值得關注。

關鍵詞：中線? ?倍長中線

解法幾何題中有關三角形中線問題構思巧妙，解法多樣且靈活，技巧性強，具有探索性。本文結合實例就中線常見的輔助線歸納，試探索不同的三角形中線有關幾何圖形的解法，介紹一些常用方法和技巧。

一、三角形中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形

例1：如圖1，在△ABC中，已知點D、E、F分別為邊BC、AD、CE 的中點，且△ABC的面積是32，則圖中陰影部分面積等于________________

解：∵點D、E、F分別為邊BC，AD，CE的中點，∴S△ABD= 12S△ABC、S△BDE= 12S△ABD、S△CDE= 12S△ADC、S△BEF= 12S△BEC，∴S△BEF= 14S△ABC;∵△ABC的面積是32，∴S△BEF=8。

評注：本題主要考查了三角形面積問題，首先應該聯想到角形的中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形（等底同高），然后通過探索，找準中點，連好中線，解決問題。

2、有三角形中線時，常延長加倍中線 （倍長中線法）

“倍長中線”是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后連接相應的頂點，由對應角對應邊都對應相等，構造全等三角形，直接或間接用“倍長中線法”構造全等三角形和證明邊之間的關系。

例2.如圖2，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE在ΔACD和ΔEBD中AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD∴ΔBED≌ΔCAD，∴ EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。評注：此題容易進入誤區，用“邊邊角”這一錯誤的判定來證明。如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，把所要證的線段轉移到同一個三角形中，構造全等三角形，使題中分散的條件集中，進而解決問題。

三、直角三角形斜邊中線的性質

例3.如圖3，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。

證明：取AB的中點E，連結DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線， ∴DE=CE=? AB∵∠CDE=∠DCE?！逜B//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，? ?DE=CE∠1=∠2AE=BE∴ΔADE≌ΔBCE，∴ AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD。

評注：此題易忽略“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一重要性質，這兩條中線構成一個等腰三角形，考查了學生對知識的應用和遷移能力，具有很強的靈活性。

三角形的中線在中考幾何題中具有活力，巧妙利用中線一些基本圖形的數學模型及其結論，是解決三角形中點問題的一個著力點。培養學生運用變化的眼光去觀察圖形，抓住問題本質，深入分析，靈活運用所學知識解決。

參考文獻：

1.趙偉玲，三角形中線的魅力 [J]，中學生數學2019年10期

2.李海燕，“無中生有”巧構中線 [J]，初中生世界2014年31期

3.馮少華，倍長中線法及其應用 [J] ，初中生數學學習2002年26期