柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論的教與學問題研究

徐輝 鄭青峰

【摘要】經管類高校大一新生正處在中學到大學學習方式由“被動式、接受式、應試式、灌輸式”向“自主式、批判式、探索式、研究式、創新式”轉型的關鍵時期。“微積分”課程的學習在此階段的作用不容忽視，柯西中值定理是“微積分”課程體系中的重要內容之一，本文通過較充分的文獻檢索（1979—2020）及其梳理，基于該定理“中間點ξ”漸進性的討論及其教與學實踐過程中相關問題研究和嘗試，對于實現大一新生學習方式的轉型具有較好的示范作用。同時，對于學生后續課程與專業學習以及更好地適應大學階段學習、生活、工作等方面均具有重要的借鑒價值。

【關鍵詞】柯西中值定理;中間點ξ;漸進性;教與學;學習方式轉型

經管類高校文科生占比較大，對“微積分、線性代數、概率論與數理統計”等數學課程，心存“恐懼”之感，尤其是大一新生，正處在中學到大學由“被動式、接受式、應試式、灌輸式”向“自主式、批判式、探索式、研究式、創新式”轉型時期，表現出如學生認為大學教師授課內容多，理論概念抽象，對于多校區且校區分散的高校而言，個別校區可能出現學生自習時間無相關授課教師“陪伴”，課間、課后與授課教師交流機會有限等諸多大學教與學方式不適應現象，仍處于“中學狀態”，轉型困難。這樣，可能給學生的學習興趣、信心等方面帶來一定的“沖擊”，同時給授課教師的教學也帶來了某種程度的“無奈”。鑒于此，本文試圖以微積分課程體系中的重要內容之一的柯西中值定理“中間點ξ”漸進性進行討論的教與學問題研究，對以上“困境”的改善提出相應的思考并賦予教與學的實踐過程進行嘗試和總結，以期取得應有的教學效果。

柯西中值定理如下：

該定理只得出了“中間點ξ”在（a，b）內的存在性，但其具體“位置”不詳，由此授課教師引導同學們在此問題上對柯西中值定理提出相應的“質疑”，要求學生在課堂尤其是在課后查閱相關資料進行討論和思考，以此培養同學們“自主式、批判式、探索式、研究式、創新式”學習能力，盡可能改善他們的“中學狀態”，“華麗”

轉型成“大學狀態”。指導學生當我們給柯西中值定理附上一定條件后，可以研究其“中間點ξ”“位置”的漸進性，觸類旁通，對拉格朗日中值定理、積分中值定理等相關問題進行創新性思考和探索，提高學生的積極性、自主性、批判性等方面的學習能力。

一、文獻綜述

柯西中值定理作為微積分課程體系中的重要內容之一，近三十余年來倍受眾多學者廣泛關注。以“中值定理、中間點ξ、漸進性”等為關鍵詞在中國知網核心期刊（1979—2020）檢索相關文獻大概106篇左右，通過文獻梳理得知，已有研究可以概括為如下幾個方面：（1）研究柯西中值定理新的證明方法，例如，許子道，孫存金（1981）給出了關于柯西中值定理的矢量法證明，并且給出它在三維空間矢量分析中的一個推廣;吳國華（1987）在導出幾個引理的基礎上，不使用羅爾和拉格朗日中值定理，探討了一種新的柯西中值定理證明方法;陳蘊衡，郭正光（1991）提出了一種完全區別于一般數學分析教科書中有關微分中值定理的證明方法;（2）證明柯西中值定理“中間點ξ”漸進性及其推廣研究，例如，曾德廣（1994）對柯西中值定理中間點的漸進性展開了證明;楊晶（2018）研究了柯西中值定理的逆問題，并將其與“中間點”漸進性聯系到一起，對高階柯西中值定理進行了推廣;聶輝，張樹義（2019）對柯西中值定理“中間點”當x→+∞時漸近性態進行研究，建立了新的漸進估計;（3）研究新的教學方法，例如，高愛平（2018）以泰勒公式為例，設計了一種逐層分析、數形結合的教學方法;曾金平，李伯忍（2020）以拉格朗日中值定理為例，探討拉格朗日中值定理的教與學，力求學生正確理解并掌握該定理。

上述文獻梳理及其述評如下圖1和表1所示：

文獻分析顯示，眾多學者對柯西中值定理及其“中間點ξ”漸進性作了較充分的研究和思考，具有一定的學術研究價值和教學實踐創新價值。豐富了中值定理的內容，拓展了微積分教學的思路。對柯西中值定理“中間點ξ”漸進性問題也進行了深入討論，為“中間點ξ”“位置”的確定提供了參考。加深了學生對柯西中值定理的認識，拓寬了學生的視野。對柯西中值定理及其相關內容的教與學問題進行了重新思考和嘗試，對更新教育理念、改進教學方法發揮了重要作用。但存在某種程度上的研究局限性，已有學者研究文獻分析顯示，相關學者從數學學術價值角度研究微積分課程內容中的若干中值定理“中間點ξ”的漸進性，關于其漸進性及其理論證明居多，涉及創新型教學實踐的研究甚少。尤其是研究經管類院校學生學習方式轉型相對更少。

針對已有文獻研究的局限性，本文擬通過柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，對微積分課程“教與學”問題研究，旨在促進大一新生有效實現學習方式的成功轉型。對于學生后續微積分課程與專業課程的學習以及更好地適應大學階段學習、生活、工作等方面均具有重要的借鑒意義和參考價值。

二、“中間點ξ”漸進性的“教與學”

（一）設計“批判式、探索式”教學情境

柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論的教與學研究重點在于培養學生們的主動性，拋棄以往被動式接受教育的思想，開發學生的主動思考探究能力和批判性思維，因此在討論教學過程中營造一定的“批判式、探索式”教學氛圍是非常必要的。

高中時期，普遍是應試教育，學生缺乏創新意識、批判思維，只是被動式學習。這樣的思維模式難以適應大學的學習生活。因此，在學生進入大學一年級的關鍵時期要及時對學生進行引導，提高學生各方面的學習能力，轉換學生的思維模式。首先我們要設計“批判式、探索式”的教學情境，引發學生的主動性，再進一步引入柯西中值定理“中間點ξ”漸進性的相關討論。教學情境的設計目的在于激發學生的好奇心和探究欲望，探究性的提問與教學形影相隨，提問是讓學生通過積極的思維活動，尋找知識規律和解決問題的方法。通過提問，引導學生去探索思考，這樣可以培養學生積極思考的習慣，激發創新意識，從而進一步形成學生的批判性、研究性、探索性、創新性思維，達到教與學的目的。

（二）引導學生對“中間點ξ”漸進性問題進行探討

對經管類高校大一新生而言，“微積分”是一門極其重要的課程，微積分部分又是重中之重，這其中就包括重要的柯西中值定理。多數學生只知道中值位于a與b之間，但不知道“中間點ξ”的“位置”是如何的。在此，本文通過柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，引導學生探索性、批判性學習。

布盧姆基于學習、教學和評價，依據認知復雜程度，把認知過程分為六個類別：記憶、理解、應用、分析、評價和創造。當代教學理論將學習的業績分為“保持”和“遷移”，如果學習目標是“保持”教材內容，那么學生認知過程就是“記憶”;相反，“理解”“應用”、“分析”、“評價”與“創造”則與“遷移”相聯系。例如，在柯西中值定理教學過程中，其認知過程可以分為：（1）記憶：識記柯西中值定理;（2）理解：知道柯西中值定理的意義在于建立函數的改變量與函數導數（變化率）之間的聯系;（3）應用：能運用柯西中值定理解決實際問題;（4）（5）分析與評價：知道柯西中值定理與用微分近似計算函數公式的相同與區別，知道柯西中值定理由一階導數到高階導數的使用、由一次多項式到高次多項式、由一個函數到兩個函數的遞進關系，知道柯西中值定理的幾何意義;（5）創造：進行創造式思考，在對柯西中值定理有了比較系統地學習后，教師應對學生進一步探索式提問，引導學生對柯西中值定理的“中間點ξ”進行思考，帶領學生探究柯西中值定理“中間點ξ”漸進性，培養學生的批判性、研究性、探索性、創新性思維。

因此，教師需對學生進行引導，提出問題：詢問學生對柯西中值定理有什么新的發現、思考，甚至是疑問。以期待學生們能夠對“中間點ξ”的“位置”問題引發新的思考。

教師需進一步對學生進行提問式引導：提出是否需要使用一定的假設條件就可以研究“中間點ξ”的“位置”的問題。即在一定的假設條件下能否得出柯西中值定理“中間點ξ”具有一定的漸進性？

激發學生自主探索：提出假設條件進行證明。

教師再次引導：給出假設條件并給出定理一的證明，以啟發學生進一步探索。

學生自主探索：推導定理二，進一步廣義化得到定理三。

以上柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，從“教與學”兩方面思考可知，通過柯西中值定理的教學實踐，呈現了實現了大一新生從“中學狀態”向“大學狀態”學習方式轉型的一個較好案例，對后續微積分、線性代數、概率論與數理統計等數學課程的教學起到“拋磚引玉”的示范作用，具有較強的“普適性”。通過學生對柯西中值定理的學習實踐，一方面，讓大一新生初步體會到數學嚴謹的科學學術價值之美;另一方面，該定理“中間點ξ”漸進性討論的數學推導與演繹過程，對大一新生數學思維與演算能力的提升具有較大的促進作用。

（三）激發學生“延伸”思維的學習興趣

在得到“中間點ξ”的“位置”滿足一定條件下的漸進性后，教師可以進一步引導學生推導拉格朗之中值定理、積分中值定理的中值問題。比如：將以上定理中的F（X）變換為X即可得到拉格朗之中值定理中“中值ξ”的漸進性。

通多教師對學生一步步的引導，可以激發學生的批判性、研究性、探索性、創新性思維。學生在學習柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論后，會認識到學習不是古板的被動式接受，主動思考會帶來意想不到的驚喜。在研究了柯西中值定理“中間點ξ”的漸進性后，學生會有所感想，學生的思維就不僅僅停留在只有一個“中間點ξ”上，而是會進一步思考“中間點ξ”漸進性的問題。這對經管類高校大一新生而言是一個質的改變，已經開始從被動式學習走向主動式學習，當學生接觸到其他中值定理問題時，思維不在受到局限，而是會進一步的主動性思考。當學生培養了主動性思考的能力就已經適應了大學的學習生活。

在以后的學習、科研過程中，學生們面對的諸多公式、定理都已經比較完善，那么該如何有所學術性的突破，這就需要學生們的探索性、批判性思維，學生們通過對柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，學生所收獲的不僅僅是這一定理的討論結果，重要的是學生們培養出了一種主動性學習的思維，這對于學生們日后的學習、科研、工作最為重要，主動性思維幫助學生們發現新知識、開拓新領域。

三、“教與學”的啟示

（一）教師的啟示

教師首先要做的是更換教育理念，教育理念是對教育的根本看法，是教學設計的靈魂，它直接影響教師對教學問題的認識和判斷，進而影響教師的教學行為，最終影響教學效果。現代教育理念強調以人為本，重視受教育者的主體地位，始終“學”為中心，“教”圍繞“學”來開展，使學生由被動接受的客體轉型為積極主動的主體，使教育過程真正成為學生自主學習的過程。現代教育理念亦注重創造力培養，以啟發、引導和訓練學生的創新能力為基本目標，旨在培養學生的創造性思維。近三十余年來“微積分”課程的教學與改革，就是要把學生的主動性培養放在首位，把學生置于教學活動中心，努力實現初等數學與微積分課程的有效銜接，積極研究新的教與學方式，著力實踐以教師為引導、以學生為主體的教學方法運用，培養學生的批判精神、探究精神，全方位提高學生的學習能力。以柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論為載體，引導學生掌握數學知識、吸納數學思想、培養創新精神、增強自主學習能力，盡可能改善學生的“中學狀態”，“華麗”轉型成“大學狀態”。同時，也要增強學生對挫折的承受力、應變力、克服力，為培養學生的主動學習能力做好補充。

在經管類大學中想要將大學課堂的學習轉換為學生的自主性學習，在大一這個承上啟下的關鍵時期，教師就必須熟練掌握自己的教學技能，在備課時就將本節“柯西中值定理”需要學習的內容進行梳理，不僅僅只是定理的認識，要通過精心的設計將柯西中值定理中的“中值ξ”漸進性問題插入到教學環節當中，引導學生進行自主思考。比如，在以上定理的證明過程中，教師可以先提出質疑，中值該在何處？進一步給出假設，引導學生自主思考，進一步給出定理一的證明，學生將進一步發揮探究性思維獨立思考定理二以及廣義化的定理三，最終得出結論。