基于改進響應面的剛構-連續梁橋有限元模型修正

張梓喬， 雷建平

(武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢 430063)

0 引 言

近十年來,響應面法在模型修正方面的應用價值不斷提高,對比傳統有限元模型修正方法,響應面法以顯示函數形式表達了輸入變量與響應的關系,無需重復調用有限元模型,極大的提高了計算效率,同時基于統計分析指標進行從全局進行顯著性參數篩選,較靈敏度法僅根據某設計點的響應變化量來判斷參數的影響性更為科學。目前有部分學者基于擬合殘差對響應面進行改進[1],但不同響應面殘差大小及數量級會有所不同,部分樣本點雖然擬合殘差較大,響應面的擬合卻也已經足夠。為判斷樣本點中是否存在響應面擬合不足的異常點,并增強響應面在該點局部的擬合能力,本文基于內學生化殘差值尋找失擬樣本點,并在該點引入高斯徑向基函數重新構造響應面,結果表明,改進后響應面對所有樣本點擬合均良好,基于改進響應面修正后的模型滿足實際工程要求。

1 基于響應面的結構有限元模型修正理論

基于響應面的有限元模型修正基本原理:選取適當的因變量,在合理的結構參數范圍內,通過試驗設計方法選取有代表性的樣本,通過有限元軟件計算得到對應的結構響應數值;通過方差分析等方法,篩選與響應值顯著相關的參數;選取合適的響應面函數,對樣本進行響應面擬合并進行檢驗;以實測數據構造目標函數,用響應面模型替代原有數值模型進行參數優化,得到修正后的參數,最終代回有限元模型得到修正后模型。

1.1 試驗設計

常用的試驗設計方法有正交設計(OA)、最優設計(Opt)、均勻設計(UD)、中心復合設計(CCD)及Box-Behnken設計(BBD)。在擬合二階響應面時,CCD由于其良好的正交性及可旋轉性,應用最為廣泛。CCD在2k全因子設計的基礎上,增加2k個坐標軸點和n個中心點(有限元計算為確定性試驗,n取1),對于k個變量的設計共需要2k+2k+1個樣本點,當待修正參數過多時,該試驗方法工作量較大,不適合多參數的試驗設計。文中所采用的試驗設計方法為D-最優設計(Opt-D),其回歸模型表達式如下:

ya=β1f1(xa)+β2f2(xa)+…

+βmfm(xa)+εa,a∈(1,2,…,N)

(1)

式中:εa是服從N(0,σ2)的相互獨立的隨機變量;xa是設計空間內的樣本點;f1(xa),f2(xa),…,fm(xa)是設計空間內的連續函數;β1,β2,…βm為待估計參數,其值通常由β1,β2,…βm表示的密集橢球體體積最小值確定。從數理統計方面來看,Opt-D的目標為使響應面函數的設計參數樣本估計方差最小。該法是僅考慮方差而得出的一種準則,忽略了偏差的影響,但當參數限制在關注區域內時,該準則會顯出很大的優越性[2]。

1.2 參數顯著性檢驗

在數理統計中,方差分析是研究自變量是否對因變量有顯著性影響的一個重要工具,常用的有F檢驗法[3],其過程總結如下:首先計算出樣本數據中由試驗因素引起的偏差平方和SSE和由各個因素引起的偏差平方和SSA,然后分別除以各自的自由度得到均方殘差(mean-square error,MSE)及均方回歸(mean-square regression,MSR),最終求出F值,其計算公式如下:

(2)

式中:fA為因素的自由度;fE為試驗偏差的自由度。

在求出待檢驗參數的F值后,與臨界值Fα進行比較,其中α為置信區間,表示判斷錯誤的概率,常用的判斷標準為:當F≤0.01,則因素影響高度顯著;0.01

1.3 響應面擬合

常用的響應面擬合函數有以下幾種:多項式函數、徑向基函數、多元自適應回歸樣條、克里格(Kriging)模型。本文響應面以完備二次多項式為基礎,在異常點處引入高斯徑向基函數改進局部非線性能力。

完備二次多項式響應面函數表達式如下所示:

(3)

式中:xi、xj為待修正參數；k為待修正參數總數；β0、βi、βii、βij為各項待定系數。

徑向基函數通常定義為空間中的任意一點到某個中心之間的單調函數,其結構靈活、形式簡潔,對解決非線性問題有獨特的優勢,高斯徑向基函數形式為[4]:

(4)

響應面擬合后需對其精度進行檢驗,常用的響應面精度檢驗指標如下[5]:

(5)

(6)

復相關系數R2和相對均方誤差RMSE均屬于[0,1],且R2越接近1,擬合精度越高,RMSE越接近0,擬合誤差越小。統計學中通常采用內學生化殘差值來判斷擬合異常點,其計算公式如下:

(7)

式中:s為標準誤差,hii為帽子矩陣H主對角線元素。若某一點SRSEIDi超出[-3,3]區間時,可以97%置信度判定為異常點。

1.4 參數優化

有限元模型多目標參數優化問題可用如下數學形式表達[6]:

minF(x)=min(f1(x),f2(x),…,fn(x))

s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,m

(8)

式中:fi(x)為各變量初始目標函數;F(x)為轉換后的多目標函數;gi(x)為約束函數。

2 神定河大橋有限元模型修正

2.1 神定河大橋初始有限元模型

神定河大橋為66 m+3×120 m+66 m預應力混凝土變截面剛構-連續梁橋,單箱單室截面,橋面寬度為15m。下部結構連續梁處采用樁柱式墩,剛構部分采用雙薄壁墩,橋面鋪裝采用普通瀝青混凝土。設計荷載為公路-Ⅰ級,人群荷載為為2.65 kN/m3。箱梁采用C55混凝土,雙薄壁墩采用C40混凝土,質量密度均按2 600 kg/m3計。箱梁、橋墩均采用實體單元建立,橋面鋪裝部分僅考慮其附加質量,不考慮剛度貢獻[7],薄壁墩底部約束全部自由度,墩頂與箱梁固接,箱梁各處支座根據支座形式對相應節點施加豎向、橫向、縱向約束。

2.2 響應面模型建立

以靜載各工況撓度作為響應特征值,以各區段彈性模量作為待修正參數,取0.8倍初值作為低值、1.3倍初值作為高值,采用D-最優設計法進行試驗設計,代入有限元模型進行計算,A、C、E截面各3個測點,共得到50個樣本點。彈性模量分區示意圖如1所示。

圖1 參數修正區間分段圖

采用F檢驗法分析各待修正參數對靜力響應的顯著性影響,計算各待修正參數對各靜力響應的顯著性水平P值。為節省篇幅,后續僅列給出靜力響應面Y1的表達式及相關圖表，如圖2所示。

圖2 Y1參數顯著性檢驗圖

有圖2可知,Y1靜力響應面共有8個待修正參數,利用Design-Expert軟件將所有樣本點數據擬合原始二次響應面,函數形式如下式所示,擬合后內學生化殘差圖如圖3所示。

圖3 Y1樣本點內學生化殘差圖

Y1=-21.65311+3.08379E1+0.025070E2

+2.70203E3+0.027664E4+0.012308E8

-0.095298E1E3-0.22618E1E1-0.19576E3E3

(9)

由圖3可知,第50號樣本點內學生化殘差值超限,這表明二次響應面對該點的擬合能力存在缺陷,為改進該點局部非線性能力,引入高斯徑向基函數,利用MATLAB對各待定系數進行重新求解,最終靜力響應面Y1函數表達式如下式所示,改進前后內學生化殘差比較圖如圖4所示。

圖4 Y1響應面改進前后內學生化殘差比較圖

Y1′=-21.758 3+3.082 7E1+0.027 2E2+

2.748 2E3+0.029 9E4+0.014 1E8-

0.094 5E1E3-0.226 2E1E1 -0.202 2E3E3-

0.048 7e-[(E1-4.615)2+(E2-4.615)2+(E3-4.091)2+(E4-4.615)2+(E8-4.225)2]

(10)

由圖4可知,改進后響應面內學生化殘差值均落入[-3,3]區間內,對所有樣本點擬合均良好。Y1～Y3響應面改進前后檢驗指標見表1。

表1 Y1～Y3響應面改進前后檢驗指標比較表

2.3 參數修正

采用響應面模型替代有限元模型,基于靜力響應實測值構造目標函數,運用改進雙鏈量子遺傳算法對待修正參數進行優化求解,各區段彈性模量修正后值較初值都有一定增大,修正幅度最大為12.59%,較為符合工程實際,分析認為是預應力結構中配置了大量的預應力鋼筋及普通鋼筋,結構整體剛度有較大的增強。

將修正后的參數代回有限元模型重新計算各工況靜力響應,靜力響應最大誤差由12.32%降至3.67%,有限元計算值與實測值吻合較好。筆者用修正后的模型重新計算豎向前三階頻率,發現在區段7彈性模量(區段7的彈性模量對A、C、E的9個撓度測點基本無影響)及各區段質量密度均未修正的情況下,頻率最大誤差由9.12%降至3.99%,修正效果也較為理想,后期以修正后的彈性模量建立動力響應面修正區段7的彈性模量及各區段質量密度后,發現質量密度變化較小,修正后頻率最大誤差降至1.15%,動力修正后的頻率誤差整體較撓度誤差小,分析認為頻率測量誤差較撓度測量誤差小。

3 結 論

基于動靜力實測數值,采用改進響應面法對一座五跨剛構-連續梁橋進行了有限元模型修正,通過在異常點處引入高斯徑向基插值函數,有效地改善了局部的非線性擬合能力,以實測數據構造目標函數并進行參數優化,修正后的結果與實測值吻合較為良好,修正后的有限元模型對結構的損傷識別及狀況評估具有一定的意義。

完備二次響應面擬合精度已經較高,但最適宜二次響應面建立的中心復合設計應用于多參數試驗設計時,工作量十分巨大,若能在不嚴重影響其正交性及可旋轉性的基礎上適當減少樣本點,試驗設計的層次性及響應面的準確度能得到進一步改善。